![常系数高阶线性齐次方程的解法_第1页](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2022-3/11/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e21932/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e219321.gif)
![常系数高阶线性齐次方程的解法_第2页](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2022-3/11/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e21932/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e219322.gif)
![常系数高阶线性齐次方程的解法_第3页](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2022-3/11/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e21932/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e219323.gif)
![常系数高阶线性齐次方程的解法_第4页](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2022-3/11/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e21932/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e219324.gif)
![常系数高阶线性齐次方程的解法_第5页](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2022-3/11/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e21932/7a9bee3c-a0d1-4548-95d8-db97a2e219325.gif)
下载本文档
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法(How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients)教学内容 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法. 教学重难点 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程(或 欧拉方程)特征方程来获得原微分方程基本解组; 难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组. 教学方法 预习1、2;讲授3考核
2、目标 1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系. 1. 认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法.例45. 考察微分方程,由分离变量法可得其通解为. 现考察常系数齐次线性微分方程. 大胆假定方程具有形如的解,将其代入原方程得到,. 注意到,因此是方程的解. 我们称代数方程为微分方程的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程 ?)由特征方程 解出,相应地得到原微分方程的两个解,. 下面验证线性无关:(这里
3、行列式叫做范德蒙行列式,参见高等代数 P79例2)因此,构成了原微分方程一个基本解组,原方程的通解为. 例46. Solve the differential equation . Solution The associated characteristic equation is . By applying the quadratic formula, we get two different roots:。Thus, the general solution to the differential equation is .注解47. 一般的n阶齐次线性方程的特征方程具有n个不同实根情形下
4、基本解组参见教材P137 表达式 (4.22). 作业44. Solve the following differential equations (1) ; (2) . 例48. 求解和,其中. 解:原方程的特征方程为,解得. 于是,我们得到原方程的一个非零解. 我们知道二阶齐次线性微分方程的基本解组含有两个线性无关的解函数,如何求出另一个与之线性无关的解函数呢? 考察方程,其特征方程为,得特征值为. 此处很容易求出方程两个线性无关的解函数. 因此,通解为.考察方程,令,代入方程得到,注意到为方程的解,于是,因而. 解得,相应地,原方程的两个解为. 下证线性无关. 考察,即,注意到,于是上式
5、两边同除得到,这是等式成立只能是. 因此,为原方程的基本解组,因此通解为. 注解49. 一般的n阶齐次线性方程的特征方程具有重根情形下的基本解组参见教材P140的表达式(4.26). 例50. Find the general solution of differential equation .Solution The associated characteristic equation is . This algebraic equation only has one single solution . So fundamental solutions of differential eq
6、uation are . The general solution of the differential equation is . 作业45. Find particular solution of differential equation satisfying . 例49. 求解方程. 解:相应的特征方程为,运用二次根式公式得到. 问:此时方程的基本解组是什么?2. 复值函数和复值解(complex value function and complex value solution)(1) 复数:,分别称为复数z的实部(Real part)和虚部(Imaginary part), 称为
7、复数z的共轭复数(conjugate of z). 复数相等:设,则. 复数乘法:. 复数除法:. (2) 复值函数:若,其中都是实函数,则称为定义在a, b上的复值函数,分别称为z(t)的实部和虚部,称为z(t)的共轭函数. (3) 复值函数的极限、连续性、可导性、可积性都是由其实部函数和虚部函数来确定的,具体来说,若都是连续(可导、可积)函数,则称复值函数z(t)连续(可导、可积). (4) 复指数函数及其性质:设,定义,称之为复数z的指数. 特别地Eulers formula: . 复指数函数的性质:;,其中为复数. (5) 复值解:考察方程,将代入方程得到,因此,z(t)代入方程等式成
8、立,于是z(t)称之为方程的复值解. (6) 实系数齐次线性微分方程复值解成对出现:(i) 考察实系数代数方程,若为方程的解,则的共轭也是代数方程的解. (自己试着证明!)(ii) 考察实系数齐次线性微分系统,若为微分方程的解,则z(t)的共轭也是微分方程的解;进一步由Superposition Principle知,都是方程的实函数解. 例49. 求解方程. 解:相应的特征方程为,运用二次求根公式得到. 由复指数函数性质可验证为微分方程的解(由上面的结论知,z(t)的共轭也是解),因此,都是微分方程的解. 下证线性无关,考察,两边同除以得到,对上述等式两边关于t求导得到另一等式,且上述两等式
9、等价,因此由和克莱姆法则知,. (换言之,函数Wronski行列式不为零,因而它们线性无关)因此,原方程的通解为. 例50. Solve the differential equation .Solution The associated characteristic equation is . According to the quadratic formula, we get the solutions of the above algebraic equation . So 为原方程的一个复值解,因此,为微分方程的基本解组,原微分方程的通解为,为任意实数. 例51. 求解方程(1) ; (2) .解:(1) 特征方程为,解得,. 于是得到方程的解为,于是得到基本解组为.原方程的通解为,其中为任意常数
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 【正版授权】 ISO 18280:2005 EN Plastics - Epoxy resins - Test methods
- 【正版授权】 ISO 18275:2005 EN Welding consumables - Covered electrodes for manual metal arc welding of high-strength steels - Classification
- 【正版授权】 ISO 18265:2003 EN Metallic materials - Conversion of hardness values
- 【正版授权】 ISO 18195:2019 EN Method for the justification of fire partitioning in water cooled nuclear power plants (NPP)
- 门诊管理制度
- 【正版授权】 ISO 18113-1:2022 EN In vitro diagnostic medical devices - Information supplied by the manufacturer (labelling) - Part 1: Terms,definitions,and general requirements
- Unit 6 Work quietly!(Part A Lets talk) (教案)2023-2024学年英语五年级下册
- 橱柜家具加盟合同范本
- 外卖订餐服务合同范本
- 健全职业教育体系(3篇模板)
- 铁路消防管理办法
- 半自动钻床设计
- 香港朗文英语考点5A
- 新版六年级下册道法知识点汇总
- 工程竣工验收报告及五方验收表
- 国家开放大学电大《经济法学》期末题库和答案
- 餐饮场所消防安全培训课件
- 推动多学科协作(MDT) 促进肿瘤规范化治疗课件
- 转轮除湿机组技术资料全
- 危重新生儿救治中心工作制度
- 《应用化学基础》试卷
评论
0/150
提交评论