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文档简介
1、§3 平面曲线的弧长与曲率教学目标:掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容:平面曲线的弧长与曲率的计算公式(1) 基本要求:掌握平面曲线的弧长计算公式(2) 较高要求:掌握平面曲线的曲率计算公式教学建议:(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式(2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式教学过程:一、曲线弧长的概念设平面曲线,在其上从到依次取分点得曲线的一个分割: 用线段联结相邻的点得:。记 分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1 对于平面曲线的无论怎样的分割,若极限 存在,则称曲线是可求长的,并称为曲线的弧长。二、参数形曲线的弧长的计算公式定义2 设平面曲线若与在上
2、连续可微,且与不同时为零,则称为一条光滑曲线。定理1 设平面曲线为一光滑曲线,则是可求长的,且弧长为 证: 对作任意分割: ,并设分别对应与,且于是与对应地得到区间的一个分割在上应用微分中值定理得 从而有 由为一光滑曲线知,与是等价的。又由在上连续从而可积,因此由定义1,只需证明 (*)记则有 由三角不等式易证 又因在上连续,从而一致连续,故当时,只要,就有 于是有 由此及(*)式知,所证公式成立。例1、求摆线一拱的弧长。解: 由公式 得 =三、直角坐标形曲线的弧长的计算公式若曲线:,则当在上连续可微时,此曲线为一光滑曲线,它的弧长公式为 例2、求悬链线从到一段的弧长。解: 由公式得 四、极坐标形曲线的弧长的计算公式设曲线:将其化为参数形: 当在上连续,且与不同时为零时,此极坐标曲线是一光滑曲线,其弧长的计算公式为 例3、求心形线的周长。解: 由公式得 注意:若定理1中公式的上限改为变量,则有
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