考研数学线代真题—特征值与特征向量

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2、向量的定义，特征值与特征向量的相关性质，矩阵的相似，矩阵相似对角化的条件，实对称矩阵的性质，实对称矩阵的正交相似对角化。在复习时，考生首先应该理解特征值特征向量的定义，掌握其计算方法和常用的性质。在此基础之上，再理解矩阵的相似对角化及其条件。最后，对于实对称矩阵这一块要注意掌握它的特殊性质，再结合前面特征值特征向量以及矩阵相似对角化的相关知识。本章常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。常考题型一：特征值特征向量的定义与性质1.【20081 4分】设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，则的非零特征值为.2.【19991 3分

3、】设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是_3.【20091 4分】若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征为_4.【2005123 4分】设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是（ ）5.【19981 3分】设为阶矩阵，为的伴随矩阵，为阶单位矩阵.若有特征值，则必有特征值.6.【20031 10分】设矩阵，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为阶单位矩阵.7.【199913 8分】设矩阵，其行列式，又的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值.8.【20022 3分】矩阵的非零特征值是（ ）9.【20082 4分】设3阶矩阵的特征值为.

4、若行列式，则.10.【200823 10分】设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，（1）证明线性无关； （2）令，求.11.【20093 4分】设,，矩阵相似于，则_12.【20092 4分】设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则_13.【20131 4分】设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为_14.【20083 4分】设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则.15.【19993 3分】设为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则与有相同的特征值和特征向量与都相似于一个对角矩阵 对任意常数，与相似16.【19983 9分】设向量，都是非零向量，且满足条件.

5、记阶矩阵.求：（1）； （2）矩阵的特征值和特征向量.17.【20023 4分】设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（ ）18.【20152 4分】设阶矩阵的特征值为，其中为阶单位矩阵，则行列式_【小结】：1.设是矩阵属于特征值的特征向量，则还分别是矩阵属于特征值。这条性质在考试中用得非常多，它可以利用特征值特征向量的性质直接证明，它也可以直接这样概括：设，为任意多项式，则；当可逆时，还有2.设矩阵所有的特征值为（其中可以有一样的，也可以有虚数），则，。这两条性质也考查得比较多，运用适当时可以极大简化计算过程。3.设均为维列向量，则

6、的个特征值分别为。常考题型二：相似对角化（1）.相似对角化的条件19.【200412 9分】设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化.20.【19971 6分】已知是矩阵的一个特征向量，（1）试确定参数，及特征向量 所对应的特征值；（2）问是否相似于对角矩阵？说明理由21.【20021 8分】设为同阶方阵，（1）如果相似，试证的特征多项式相等；（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立；（3）当均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立 .22.【20023 13分】设为三阶实对称矩阵，且满足，已知的秩为（1）求的全部特征值；（2）当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三

7、阶单位矩阵。【小结】：1. 阶矩阵可相似对角化有个线性无关的特征向量所有特征值的重数等于其线性无关的特征向量的个数的所有特征值满足：的重数。2.特别地，当矩阵可相似对角化时，r（A）=A的非零特征值的个数。（2）及的计算23.【2010123 4分】设A为4阶实对称矩阵, 且A2+A=O , 若A的秩为3, 则A相似于（ ）24.【20032 10分】若矩阵相似于对角阵，试确定常数的值；并求可逆矩阵使25.【20043 13分】设阶矩阵 .(1) 求的特征值和特征向量;(2) 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.26.【20082 10分】设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，(I)

8、 证明线性无关；(II) 令，求27.【19983 7分】设矩阵，矩阵，其中为实数，为单位矩阵.求对角矩阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵.28.【2015123 11分】设矩阵相似于矩阵.(I) 求的值；(II) 求可逆矩阵，使为对角矩阵.常考题型三：实对称矩阵（1）.实对称矩阵的特殊性质29.【201212 4分】设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为_.30.【2013123 4分】矩阵与相似的充分必要条件为（A） （B）（C） （D）31.【2007123 11分】设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵. （I）验证是矩阵的特征向量，

9、并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵. 32.【19973 10分】设三阶实对称矩阵的特征值是；矩阵的属于特征值的特征向量分别是.（1）求的属于特征值的特征向量； （2）求矩阵.33.【19951 7分】设阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为,求【小结】：实对称矩阵的三大性质：1）.实对称矩阵的特征值均为实数；2）.实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交；3）.实对称矩阵必可正交相似对角化。（2）实对称矩阵的正交相似对角化34.【201023 11分】设 正交矩阵使得为对角矩阵, 若的第1列为,求, 35.【2006123 13分】设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方

10、程组的两个解.() 求的特征值与特征向量；() 求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵.36.【19963 8分】设矩阵（1）已知的一个特征值为，试求；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵.37.【20013 9分】设矩阵。已知线性方程组有解但不唯一，试求：（1）的值（2）正交矩阵，使为对角矩阵。38.【2011123 11分】为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且(I) 求的特征值与特征向量；(II) 求矩阵39.【20033 13分】设二次型，中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求的值；(2) 利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交

11、矩阵.常考题型四：综合应用40.【19921 7分】设阶矩阵有个特征向量，它们的特征值依次为， 又设，（1）将用线性表示，（2）并且求（为自然数）41.【20001 8分】某实验性生产线每年一月份机型熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新老非熟练工经过陪练及实践至年终考核有成为熟练工。设第年的熟练工和非熟练工所占的百分比分别为，记作向量。（1）求与的关系式并写成形式；（2）验证是的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求。42.【2014123 11分】证明阶矩阵与相似参考答案：常考题型一：特征值特征向量的定义与性质1.【2

12、0081 4分】【答案】 12.【19991 3分】【答案】3.【20091 4分】【答案】24.【2005123 4分】【答案】 B5.【19981 3分】【答案】6.【20031 10分】【答案】的特征值为的所有特征向量为，其中是不全为零的任意数.的所有特征向量为，其中为任意常数.7.【199913 8分】【答案】8. 【20022 3分】【答案】49. 【20082 4分】【答案】10. 【200823 10分】【答案】（2）.11. 【20093 4分】【答案】212.【20092 4分】【答案】13.【20131 4分】【答案】14. 【20083 4分】【答案】315. 【1999

13、3 3分】【答案】D16. 【19983 9分】【答案】（1）；（2）的特征值全为零，所有线性无关的特征向量为17.【20023 4分】【答案】B18.【20152 4分】【答案】常考题型二：相似对角化1.相似对角化的条件19.【20041 9分】【答案】当时， 可相似对角化 ; 当时， 不可相似对角化.20.【19971 8分】【答案】（1）;（2）不可以对角化21.【20021 8分】【答案】略22. 【20023 13分】【答案】（1）；（2）当时，为正定矩阵。2及的计算23.【2010123 4分】【答案】D24. 【20032 10分】【答案】， 25. 【20043 13分】【答案

14、】() 当时，的特征值为，属于的全部特征向量为(为任意不为零的常数)属于的全部特征向量为(是不全为零的常数)， 其中，当时，特征值为，任意非零列向量均为特征向量() 当时，有个线性无关的特征向量，令，则当时，对任意可逆矩阵, 均有 26.【20082 10分】【答案】27.【19983 7分】【答案】；当，且时， 为正定矩阵。28.【20151 11分】【答案】常考题型三：实对称矩阵1.实对称矩阵的特殊性质29.【201212 4分】【答案】30.【2013123 4分】【答案】31.【2007123 11分】【答案】（I）的全部特征值为的属于的特征向量，其中为不全为零的任意常数.的属于的特征向量为 ，其中不为零.（II）.32.【19973 10分】【答案】(1) (2)33.【19951 7分】【答案】.2实对称矩阵的正交相似对角化34.【201023 11分】【答案】 ， .35.【2006123 13分】【答案】A的特征值为0,0,3(1) 的全部特征向量为 ，其中不全为零；的全部特征向量为，不为零。（2）（3） ， 36.【19963 8分】【答案】(1)(2)37.【20013 13分】【答案】(1)(2)38.【2011123 11分】【