第十一章二重积分

1、1第十章第十章2第一节第一节 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质特点特点：平顶平顶.曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶曲顶.1 1、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、二重积分的概念一、二重积分的概念柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高3步骤如下：步骤如下：S : z = f (x,y)任意分割曲顶柱体的底，任意分割曲顶柱体的底，分割分割x0z yD i并取典型小区域，并取典型小区域，近似近似以平代曲以平代曲4iiiiyxfV ),(S : z = f (x,y)x0z yD i步骤如下：步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，任意分割曲顶柱体的底，分割分割并取典型小区域，并取典型小区域，近

2、似近似以平代曲以平代曲求和求和iiniifV ),(15S : z = f (x,y)x0z yD i步骤如下：步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，任意分割曲顶柱体的底，分割分割并取典型小区域，并取典型小区域，近似近似以平代曲以平代曲求和求和iiniifV ),(1iiiiyxfV ),(6S : z = f (x,y)x0z yD i步骤如下：步骤如下：分割分割近似近似求和求和极限极限iiniifV ),(lim107x0z yV.步骤如下：步骤如下：分割分割近似近似求和求和极限极限iiniifV ),(lim10曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积82 2、密度分布非均匀的平面薄片的质量、密度分布非均

3、匀的平面薄片的质量设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xOy面面上上的的闭闭区区域域 D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在 D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？ i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和近似等于薄片总质量，所有小块质量之和近似等于薄片总质量，.),(lim10iiniiM xyo93 3、二重积分的定义、二重积分的定义设设二二元元函函数数),(yxfz 是是有有界界闭闭区区域域D上上的的有有界界函函数数,

4、,若若将将D任任意意分分割割成成n个个小小闭闭区区域域n ,21, ,并并用用同同样样的的记记号号记记它它们们的的面面积积, ,任任取取iii ),(, ,作作和和 存存在在, ,则则称称函函数数),(yxf在在D上上可可积积, ,该该极极限限称称为为),(yxf在在D上上的的二二重重积积分分, ,记记作作 niiiif1),( , ,记记max1的的直直径径ini , ,若若极极限限 niiiif10),(lim .d),( Dyxf 10iiniiDfyxf ),(limd),(10即即当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续或或分分片片连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必

5、必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在. 114 4、二重积分的性质、二重积分的性质下面假定下面假定f( (x,y) ), ,g( (x,y) )在闭区域在闭区域D上连续上连续, ,A为为D的面积的面积. . 性质性质2 2 线性性质线性性质 DDDyxgyxfyxgyxf d),(d),(d),(),( DDyxfkyxkf d),(d),( ( (k为为常常数数) ). . 若若在在D上上1),( yxf, ,则则由由定定义义可可知知, ,AD d1， 这里这里A为为D的面积的面积. . 性质性质1 112若若0),( yxf, ,Dyx ),(, ,则则 d| ),(|d),(|

6、DDyxfyxf 性质性质4 4.0d),( Dyxf 设设21DDD , ,且且21, DD无无公公共共内内点点，则则有有 性质性质3 3 区域可加性区域可加性 .d),(d),(d),(21 DDDyxfyxfyxf 若若),(),(yxgyxf , ,Dyx ),(, ,则则 DDyxgyxf d),(d),(推论推论1 1推论推论2 213设设),(yxf在在有有界界闭闭区区域域D上上的的最最大大值值为为M, ,最最小小值值为为m, , D的的面面积积为为A, ,则则 性质性质5 5 估值定理估值定理MAyxfmAD d),(证证,),(Myxfm dd),(d DDDMyxfmMAy

7、xfmAD d),(所以所以于是于是14若若),(yxf在在D上上连连续续, ,则则存存在在一一点点D ),( , ,满满足足: : 性质性质6(6(二重积分的中值定理二重积分的中值定理) ) AfyxfD),(d),( 证证 由性质由性质5 5知知, , .d),(MAyxfmAD 由由于于0 A, ,得得 ，MyxfAmD d),(1由由闭闭区区域域上上连连续续函函数数的的介介值值定定理理, , 存存在在一一点点D ),( , ,使使 ，),(d),(1 fyxfAD 即得证。即得证。 DyxyxfAdd),(1称称为为),(yxf在在D上上的的平平均均值值。 15估估计计 DxyyxI1

8、62d22 的的值值， 区区域域面面积积2 , ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值 )0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故 4252 I . 5 . 04 . 0 I解解其其中中 D：20, 10 yx. 例例1 116判判断断 1|022dd)ln(yxyxyx的的符符号号. 当当1|0 yx时时, , 1) | (0222 yxyx故故 0)ln(22 yx; 又又当当 1| yx时时, ,0)ln(22 yx于于是是0dd)ln(1|022 yxyxyx. 解解例例2 217比比较较积积分分 Dyx d

9、)ln(与与 Dyx d)ln(2的的大大小小, 其其中中 D是是三三角角形形闭闭区区域域, 三三顶顶点点各各为为(1,0), (1,1), (2,0). 解解三三角角形形斜斜边边方方程程,2 yx在在 D内内有有 e21 yx, 故故 1)ln( yx, 于于是是 2)ln()ln(yxyx , 因此因此 Dyx d)ln( Dyx d)ln(2. oxy121D例例3 318练习：练习：P93 习题习题10.11.19第二节第二节 直角坐标系下二重积分的计算法直角坐标系下二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的表示一、直角坐标系下二重积分的表示 在在直角坐标系直角坐标系下用平下用平行于坐

10、标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDyxyxfyxfdd),(d),( yxddd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为20二、二、X 型区域与型区域与 Y 型区域型区域X 型区域型区域积分区域积分区域 D 由连续曲线由连续曲线)(xfy , ,)(xgy 以及直以及直线线)(,babxax 所围成，所围成， xyoab)(xfy )(xgy D21二、二、X 型区域与型区域与 Y 型区域型区域如果积分区域为如果积分区域为D ：.dyc ，)()(yxy Y 型区域型区域dcxyo)(yx )(yx D22三、直角坐标系下二重积分的计算法三、直

11、角坐标系下二重积分的计算法0 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)y.dyc ，)()(yxy 230 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)y问题：问题：Q( y)是什么图形？是什么图形？ yyyxfz),(是曲边梯形是曲边梯形 !)(yQ )(yQ )( )( d),(yyxyxf I dcyyQd)(.dyc ，)()(yxy 三、直角坐标系下二重积分的计算法三、直角坐标系下二重积分的计算法24 dcyyyxyxfIdd),()( ) (0 xz yx= (y)ycdDz=f (x,y)x= (y) )(yQ )( )( d),(yyxyxf I d

12、cyyQd)(.dyc ，)()(yxy 三、直角坐标系下二重积分的计算法三、直角坐标系下二重积分的计算法25 dcyyyxyxfIdd),()( ) (一般记为一般记为 )( ) d),(ddd),(yydcDxyxfyyxyxf (d)(yx xyoD)( yx c26D: x1(y) x x2(y) c y dI = )()(21d),(yxyxxyxf0y x x 2(y)x1 (y)cdyD计算二重积分的两种积分次序计算二重积分的两种积分次序 DyxyxfIdd),(27D: x1(y) x x2(y) c y dI = )()(21d),(yxyxxyxf0y x x 2(y)x1

13、 (y)cdy先先 x 后后 y dcyd计算二重积分的两种积分次序计算二重积分的两种积分次序 DyxyxfIdd),(D28D: x1(y) x x2(y) c y dI = )()(21d),(yxyxxyxf0y x x 2(y)x1 (y)cdy计算二重积分的两种积分次序计算二重积分的两种积分次序 DyxyxfIdd),(先先 x 后后 y dcydD: y1(x) y y2(x) a x b0y xI =ab y1(x) y2(x)DxD )()(21d),(xyxyyyxf29D: x1(y) x x2(y) c y dI = )()(21d),(yxyxxyxf0y x x 2(

14、y)x1 (y)cdy计算二重积分的两种积分次序计算二重积分的两种积分次序D DyxyxfIdd),(先先 x 后后 y dcydD: y1(x) y y2(x) a x b0y xI =ab y1(x) y2(x)x )()(21d),(xyxyyyxfDD baxd先先 y 后后x 3024将将yxyxfdd ),(D 化为累次积分化为累次积分,其中其中 D 由直线由直线4 , 2 , 2 , yyxyxy围成。围成。解法解法1先画出积分区域先画出积分区域 D，将将 D 向向 y 轴投影，轴投影，先先 x 后后 y , ,yxyxfDdd ),( .d ),( xyxf 42d y例例1

15、1xy 2 xyxyoDyx 2 yxy2 y31246xy 2 xy24xyo1D2D解法解法2先先 y 后后 x, , 将将 D 向向 x 轴投影轴投影,21DDD yxyxfyxyxfyxyxfDDDdd ),(dd ),(dd ),(21 yyxfxd ),(2 42dx.d ),(42yyxfx 64dx 32计算计算， d Dxy其中其中 D 由直线由直线, 1 , yxy解解 先画出积分区域先画出积分区域 D ，先先 y 后后 x, , 将将 D 向向 x 轴投影，轴投影， d Dxyyxyxd 1 21dx 2112d 21 xyxx例例2 2.89 xy 2 xxyo1212

16、1 y 212d )1( 21xxx围成围成。2 x33求求 Dyxyxdd)(2，其中，其中 D 是由抛物线是由抛物线2xy 和和2yx 所围平面闭区域所围平面闭区域. 解解 Dyxyxdd)(2 1022d)(dxxyyxxxxxxxxd)(21)(42102 .14033 例例3 3先求两曲线的交点先求两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(2xy xyoxy 211先对先对 y 积分，积分， xy 34求求 Dyyxxdde22,其其中中 D是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. yyde2无无法法用用初初等等函函数数表表示示, 解解积积分

17、分次次序序应应先先x后后y, Dyyxxdde22 yyxxy0210dde2yyyde311032 2102de612yyy . )e21(61 例例4 4xyo11yx 35解解 2212dddyyDxxyyxy .845 例例5 5先先 x 后后 y , ,yyyyd)2(212152 )1, 1( xy 2xyo2 xy)2, 4(两曲线的交点两曲线的交点)1, 1()2 , 4( 计计算算 Dxy d，其其中中 D 是是由由抛抛物物线线xy 2及及 直直线线2 xy所所围围成成的的闭闭区区域域。 36解解例例5 5)1, 1( xy 2xyo2 xy)2, 4(两曲线的交点两曲线的交

18、点)1, 1()2 , 4( 计计算算 Dxy d，其其中中 D 是是由由抛抛物物线线xy 2及及 直直线线2 xy所所围围成成的的闭闭区区域域。 Dxy d选择积分次序的原则：选择积分次序的原则： 若选择先若选择先 y 后后 x , , xxyxyxdd10,dd241 xxyxyx(1)积分容易；积分容易； (2)尽量尽量少分块少分块或不分或不分块块. . 麻烦。麻烦。37 改变积分改变积分的次序的次序. . xyyxfx1010d),(d例例6 6xyo11xy 1解解积分区域为积分区域为 . 10,10 :xxyD . 10,10 :yyxD xyyxfx1010d ),( d.d )

19、,( d1010 yxyxfy将将 D 向向 y 轴投影轴投影, 改写为改写为yx 138解解设设，原式原式 21d),(d),(DDyxfyxf . 10 ,20 :21xxxyD . 21 ,20 :2xxyD则则1Dxy 22D xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2例例7 7交换下面积分的次序：交换下面积分的次序：xyo12139设设21DDD 将将 D 向向 y 轴投影轴投影, . 10,211 :2yyxyD d ),(D yxf原原式式.d),(d102112 yyxyxfy1Dxy 22Dxyo121,22xxy ,1)1(22 yx,112yx 40

20、利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算设积分区域设积分区域D关于关于y 轴对称，轴对称，;0d),( Dyxf yx),(yxP )(xfy ox- -x),(yxP(1) 若若f( (x, ,y) )关于关于 x 是奇函数，则有是奇函数，则有(2) 若若f( (x, ,y) )关于关于 x 是偶函数，是偶函数，则有则有其中其中 是是D的右半区域。的右半区域。1D,d),(2d),(1DD yxfyxf41设积分区域设积分区域D关于关于x 轴对称，轴对称，(1) 若若f( (x, ,y) )关于关于 y 是奇函数，则有是奇函数，则有(2) 若若f( (x, ,y) )关于关于

21、 y 是偶函数，是偶函数，,d),(2d),(1DD yxfyxf则有则有其中其中 是是D的上半区域。的上半区域。1Dyxo1D;0d),( Dyxf 注意注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性。奇偶性。利用对称性简化二重积分的计算利用对称性简化二重积分的计算42例例8 8 设有平面区域设有平面区域,),(ayxaxayxD ,0),(1ayxaxyxD 则则 Dyxyxxy_dd)sincos(. . ( (A A) ) 1ddsincos2Dyxyx ( (B B) ) 1dd2Dyxxy ( (C C) ) 1dd)sincos(4Dy

22、xyxxy ( (D D) ) 0 解解如如图图将将D分分为为4 4 部部分分4321,DDDD, ,则则: : Dyxyxxydd)sincos(oxy1D2D3D4D43( (A A) ) 1ddsincos2Dyxyx ( (B B) ) 1dd2Dyxxy ( (C C) ) 1dd)sincos(4Dyxyxxy ( (D D) ) 0 解解oxy1D2D3D4D如如图图将将D分分为为4 4 部部分分4321,DDDD, ,则则: : Dyxyxxydd)sincos( 2121ddsincosddDDDDyxyxyxxy 4343ddsincosddDDDDyxyxyxxy000,

23、ddsincos21 Dyxyx选选( (A).A).44例例9 9 求二重积分求二重积分 Dyxyxdd)(22， 解解oxy1D区域区域D分别对称于分别对称于x轴和轴和y轴，轴， 被被积积函函数数22yxf 对对 y或或 x都都是是偶偶函函数数， 其其中中1| : yxD. . 故故所所求求积积分分是是被被积积函函数数在在区区域域1D上上积积分分的的四四倍倍，即即 Dyxyxdd)(22 101022d)(d4xyyxx 1032d)1(31)1(4xxxx.32 45练习：练习：P100 习题习题10.21.46第三节第三节 极坐标系下二重积分的计算法极坐标系下二重积分的计算法在下述两种

24、情况下在下述两种情况下, ,往往利用极坐标来计算二重积分：往往利用极坐标来计算二重积分： 1)1)当积分区域当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时为圆域、环域或扇形域等时, , D的的边界用极坐标表示较为简单；边界用极坐标表示较为简单； 2)2)被积函数具有被积函数具有 等形式时等形式时, ,用极坐标用极坐标积分较为容易积分较为容易. . )(22yxf axyoxyo2147AoDi irr iirrr ii i iiiiiirrr 2221)(21iiirr DDrrrrfyxyxf dd)sin,cos(dd),(所以面积元素为所以面积元素为 dddrr iiiiirrr 2)(21一、极

25、坐标系下二重积分的表示一、极坐标系下二重积分的表示48 )()(21d)sin,cos(d rrrrf Drrrrf dd)sin,cos(区域特征如图区域特征如图, )()(21 r D)(1 r)(2 rAO二、二重积分化为极坐标下累次积分的公式二、二重积分化为极坐标下累次积分的公式49a计计算算yxDyxdde22 ，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为 a 的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解,20: D arrr020ded2 ar0)e21(22 例例1 1在极坐标系下在极坐标系下, ,. )e1(2a xyoyxDyxdde22 .0ar 50 D

26、xyI darctan, ,其其中中D是是由由圆圆周周422 yx, , 122 yx及及直直线线0 y, ,xy 所所围围成成的的在在第第一一象象限限内内的的闭闭区区域域. . 例例2 2解解 Dxy darctan 2140ddrr .6432 xyo2151求求 DyxI d)4(, ,其其中中2| ),(22yyxyxD . . 例例3 3解解 sin200d)sincos4(drrrrI d)sin38cossin38sin8(4302 204202dsin316dsin16 2214331622116 转化为极坐标，转化为极坐标，.3 xyo2yyx222 sin2 r52解解 s

27、in2020d)sin4(d2rrrI d)sin38sin8(24202 204202dsin316dsin16 2214331622116 利用对称性化简，利用对称性化简，.3 xyo2求求 DyxI d)4(, ,其其中中2| ),(22yyxyxD . . 例例3 353注注：若若2| ),(22xyxyxD 为为 xyo2 cos2022d)sin,cos(drrrrfyxyxfDdd),( xyx222 cos2 r54xyo922 yx3例例4 4解解.d)6(d 290222230 xyyxyxxI计计算算直接做麻烦直接做麻烦, , 化为极坐标化为极坐标, , 20302d)6

28、(d rrrrI)948127(2 .89 55写写出出积积分分 Dyxyxfdd),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域 例例5 5,11| ),(2xyxyxD 10 x1 yx122 yx11xyo解解.d)sin,cos(d201 cossin1 rrrrf所以所以 21110d),(dxxyyxfx,1 yx1sincos rr1 r, cossin1 r, 在极坐标系下在极坐标系下, , 圆方程为圆方程为 直线方程为直线方程为56其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD. 解解 Dyxyxyxdd)sin(2222 210dsind

29、42rrrr . 4 1dd)sin(42222Dyxyxyx ,dd)sin(2222 Dyxyxyx 计算二重积分计算二重积分例例6 6由区域的对称性和函数的奇偶性，由区域的对称性和函数的奇偶性，可只考虑第一象限部分，可只考虑第一象限部分，xyo211D21)cos1(24r 57计计算算 Dy d，其其中中D是是由由直直线线2 x,0 y, 2 y以以及及曲曲线线22yyx 所所围围成成的的平平面面区区域域. 解法解法1 1例例7 722yyx Dyxydd,dddd11 DDDyxyyxy 2002dddd1yyxyxyDD,4 yyx2 22 1ddDyxy sin20dsind2r

30、rrxyo2 21DD sin2 r58,dddddd11 DDDDyxyyxyyxy,4dd1 DDyxy 1ddDyxy sin20dsind2rrr 2dsin384 t 令令 204dsin38 tt2214338 ,2 所以所以.24dd Dyxy59xyo2 21DD计计算算 Dy d，其其中中D是是由由直直线线2 x,0 y, 2 y以以及及曲曲线线22yyx 所所围围成成的的平平面面区区域域. 解法解法2 2例例7 7用直角坐标系，用直角坐标系，先对先对 x 积分，积分， 22220ddddyyDxyyyxy,d2d220220 yyyyyy,4d220 yy60,d2d2dd

31、20220 yyyyyyyxyD,4d220 yy 202d2yyyy 202d)1(1yyy sin 1ty 令令 22dcos)sin1(2 ttt 202dcos2 tt2212 ,2 所以所以.24dd Dyxy61求求Poisson积积分分： xxde2. . 记记 xIxde2, 则则 yxIyxdede222 所所以以 xxde2. 另另外外, 00dedede222xxxxxx 0de22xx, 所以所以 2de02 xx. 例例8 8解解 222de)(Ryx ararr020dedlim2 ， )e1(lim2aa xxde22 2 62练习：练习：P107 习题习题10.

32、31.63第四节第四节 二重积分在几何和物理中的应用举例二重积分在几何和物理中的应用举例一、曲顶柱体的体积一、曲顶柱体的体积 求顶为求顶为224yxz , ,底为区域底为区域xyxD2:22 , , 0 x, ,0 y的曲顶柱体体积。的曲顶柱体体积。 例例1 1Oxyzxyoxyx222 2解解 DyxV d422 cos20220d4drrr 203d)cos1(38 .91634)322(38 ( (用极坐标用极坐标) )64求求由由旋旋转转抛抛物物面面22yxz ，抛抛物物柱柱面面yx ，平平面面0 z，0 x及及1 y所所围围成成的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 例例2 2解解yx 1

33、1xyo平面投影区域为平面投影区域为 10,0| ),( yyxyxD所求立体体积为所求立体体积为 DyxV d)(22 yxyxy02210d)(d 102523d)31(yyy.10544 65设平面薄片占有闭区域设平面薄片占有闭区域 D，),(yx 为为 D 上质上质量连续分布的函数密度，则该薄片的量连续分布的函数密度，则该薄片的质量质量 M 可用可用二二重积分表示为重积分表示为 DyxM d),( 二、平面薄板的质量二、平面薄板的质量 66yx 12xyoyx 2设设平平面面薄薄片片所所占占的的闭闭区区域域由由直直线线xyyx ,2和和 x 轴轴围围成成，它它的的面面密密度度为为22)

34、,(yxyx ，求求该该薄薄片片的的质质量量 例例3 3解解平面投影区域为平面投影区域为 10,2| ),( yyxyyxD该薄片的质量为该薄片的质量为 DyxM d)(22 yyxyxy22210d)(d 10233d)22()2(31yyyyy.34 67aaxyo求求圆圆心心在在原原点点，半半径径为为 a0( a为为常常数数） ，面面密密度度为为22),(yxyx 的的平平面面圆圆薄薄板板的的质质量量 例例4 4解解由对称性由对称性 用极坐标用极坐标 DyxM d)(22 1d)(422Dyx arrr0220dd4 .214a 1D68设设 xOy 平平面面上上有有 n 个个质质点点，

35、它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21. 则则该该质质点点系系的的质质心心的的坐坐标标为为 三、平面薄板的质心三、平面薄板的质心， niiniiiymxmMMx11.11 niiniiixmymMMyxyo69xyo,d),(1 DyxxMx 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有 xOy面面上上的的闭闭区区域域 D, 在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在 D 上上连连续续，则则平平面面薄薄片片的的质质心心坐坐标标为为 ,d),(1 DyxyMy 其其中中物物体体的的质质量量为为

36、 DyxM d),(. . 70当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,d1 DxAx ， DyAy d1其其中中 DA d为为区区域域D的的面面积积. . xyo71求求位位于于两两圆圆 sin2 和和 sin4 之之间间的的均均匀匀薄薄片片的的质质心心. . 由由对对称称性性可可知知, ,0 x, , 因因此此 3737 y, 即即所所求求质质心心坐坐标标为为 )37, 0(. 例例5 5解解， 34 A DDy ddsind sin4sin220ddsin 04dsin356 204dsin3112 221433112 ， 7 xyo 72 设设 xOy 平平面面上上

37、有有 n 个个质质点点,它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21,则则该该质质点点系系对对于于 x 轴轴和和 y 轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 四、平面薄板的转动惯量四、平面薄板的转动惯量,12 niiixymI niiiyxmI12xyo73xyo,d),(2 DxyxyI .d),(2 DyyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片, 占占有有 xOy面面上上的的闭闭区区域域 D, 在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx , 假假定定),(yx 在在 D上上连连续续, 平平面面薄薄片片对对于于 x轴轴

38、和和 y轴轴的的转转动动惯惯量量为为 薄片对于薄片对于 x 轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于 y 轴的转动惯量轴的转动惯量74解解baoyxyxxIDydd2 babyxxy0)1(02dd ， ba3121 yxyIDxdd2 .1213 ab 例例6 6 设一均匀的直角三角形薄板设一均匀的直角三角形薄板, 两直角边长分别为两直角边长分别为a、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量求这三角形对其中任一直角边的转动惯量. 设三角形的两直角边分别设三角形的两直角边分别在在 x 轴和轴和 y 轴上，如图轴上，如图, 对对 y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 同理：对同理：对 y 轴的转动惯

39、量为轴的转动惯量为 其中其中 为薄板的密度。为薄板的密度。75设设由由xyln , ,0 y及及e x所所围围的的均均匀匀薄薄板板( (面面密密度度等等于于1) ), ,求求此此薄薄片片绕绕哪哪一一条条垂垂直直于于x轴轴的的直直线线旋旋转转时时转转动动惯惯量量最最小小? ? 设设薄薄板板绕绕直直线线tx 旋旋转转, ,则则转转动动惯惯量量为为 令令 0)1e (212)(2 ttI, , 得得惟惟一一驻驻点点 ) 1e (412 t, 例例7 7解解 DtxtI d)()(2 xytxxln02e1d)(d e12dln)(xxtx e13)(dln31txx，91e92)1e (21322

40、ttxyo1et76又又 02)( tI, 所以所以)1e (412 t为最小值点为最小值点, , 即薄片绕直线即薄片绕直线)1e (412 x 旋转时转动惯量最小旋转时转动惯量最小. . 事事实实上上, ,薄薄片片的的质质心心横横坐坐标标恰恰为为 ) 1e (412 x, , Dx d xyxxln0e1dd )1e (412 , DA d xyxln0e1dd1 , 所所以以 )1e (412 x. 令令 0)1e (212)(2 ttI, , 得得惟惟一一驻驻点点 ) 1e (412 t, 计算如下：计算如下：xyo1etx 77薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力 设设有

41、有一一平平面面薄薄片片，占占有有 xOy面面上上的的闭闭区区域域 D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在 D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a. ,zyxFFFF ,d)(),(23222 DxayxyxxGF,d)(),(23222 DyayxyxyGF.d)(),(23222 DzayxyxGaFG 为引力常数为引力常数.五、平面薄板对质点的引力五、平面薄板对质点的引力oyzxF78求求面面密密度度为为常常量量 、半半径径为为 R 的的

42、均均匀匀圆圆形形薄薄片片：222Ryx ，0 z对对位位于于 z 轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a 解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFF d)(123222 DzayxGaFoyzxF例例8 8rrarGaRd)(1d0222023 .)11(222aaRGa 79练习：练习：P115 习题习题10.41.80END8182比较下列积分的大小：比较下列积分的大小： Dyx d)(2与与 Dyx d)(3其中其中D:2)1()2(22 yx1 yxoyx(3,0)(1,0).D在区域在区域 D内，显然有内，显然有, 1

43、yx故在故在D内内,)()(32yxyx .d)(d)( 32 DDyxyx 解解83(1)(1) Dyx dsin)1(, ,其中其中 D 是顶点分别为是顶点分别为)0 , 0(、)0 , 1(、)2 , 1(和和)1 , 0(的梯形闭区域；的梯形闭区域； 解解 1 0 1 0 dsind)1(xyyxx原原式式 1 0 1 0 d)1cos()1(d)1(xxxxx 1 0 10d)1sin( )1sin()1(23xxxx2sin22cos1sin1cos23 oxy1D1 xy1计算下列二重积分：计算下列二重积分：84( (2 2) ) Dyx d)(22, ,其其中中D是是闭闭区区域

44、域: :xysin0 , , x0； 解解 xyyxxsin 0 22 0 d)(d 原原式式 0 32d)sin31sin(xxxxxxxxdcos)cos1(31dcos 0 2 0 2 9402 85( (3 3) ) d222 DyxR, , 其其中中D是是Rxyx 22所所围围成成的的闭闭区区域域； 解解xyR cosRr 用极坐标计算用极坐标计算, , dd22rrrRD 原原式式rrrRRddcos 0 222 2 2 2 33d1)sin(3 R3dsin3232 0 33RR .)43(913R 86xy( (4 4) ) d)963(2 yxyD, ,其其中中D是是闭闭区区

45、域域: : 222Ryx ； 解解( (用极坐标计算用极坐标计算) )对称性可简化计算：对称性可简化计算： Dy d)9(2原式原式 Rrrr 0 222 0 d)9sin(d d)29sin4(222 0 4RR .9424RR 87解解交换下列二次积分的次序：交换下列二次积分的次序：(1)(1) 4 0 )4(21 4 d),(dyyxyxfyxyoyx 4,4 2xy )4(21 yx,42 xy2 24交换积分次序后交换积分次序后, ,.d),(d0 24 42 2 xxyyxfx原原式式88解解(2)(2) 3 1 3 0 1 0 2 0 d),(dd),(d-yyxyxfyxyxf

46、y xyO3 yxxy213)1 ,2(D .d),(d2 0 3 2 xxyyxfx原原式式89xyo2(1,1)解解(3)(3) 1 0 11 2d),(dxxyyxfx 1 0 0 2d),(dyxyxfy原原式式211xy 2yx 22 yyx 22yyx .d),(d2 1 2 0 2 yyxyxfy90 xyoaa证证证明：证明：将等式左端的二次积分改变积分次序将等式左端的二次积分改变积分次序, , aaxxamyxfx 0 )(d)(ed左左式式.d)(e)( 0 )( axamxxfxa.d)(e )(d)(ed 0 0 0 )()( ayaxamxamxxfxaxxfy91.

47、d)()(11d)()(d12 banxanbayyfybnyyfyxx证证 xanbayyfyxxd)()(d2 babynyyxnyfd)(11)(1.d)()(111 banyyfybnDxy bbaa交换积分次序交换积分次序, , bynbaxyfyxyd)()(d2证明：证明：92把把积积分分 Dyxyxfdd),(表表为为极极坐坐标标形形式式的的二二次次积积分分, ,其其中中积积分分区区域域D是是11, 1),(2 xyxyxD. . 解解xyO11D2D3D 需需将将D分分成成三三块块: :1D、2D和和3D, , 2xy 的的极极坐坐标标方方程程是是 sectan r, , 1

48、 y的的极极坐坐标标方方程程是是 csc r, , Dyxyxfdd),( 4 0 sectan 0 dd )sin,cos(d rrrrf 43 4 csc 0 dd )sin,cos(d rrrrf.dd )sin,cos(d 43 sectan 0 rrrrf93例例1 1解解围围成成由由其其中中计计算算2,1,.d22 xxyxyDyxD d22 Dyx 2112d)(xyxxx 213d)(xxx.49 xyo21xy xy1 xxyyxx12221dd94例例2 2解解. 10, 11:.d|2 yxDxyD其其中中计计算算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图

49、 d|2 Dxy 1211021122d)(dd)(dxxyxyxyyxx.1511 d)(d)(32122 DDDxyyx95，计计算算： DyxI d)(sin12，)cos()(sin12yxyx 2 xyy=xo2Dx+y=/2解解1D例例3 3.2, 0,所所围围区区域域是是由由其其中中 xyxyD 21d)cos(d)cos(DDyxyxI 21DDD 4 4 24242d)cos(dd)cos(d0 xxyyyyxxxyxy.12 96解解 xxyde不不能能用用初初等等函函数数表表示示, 先先改改变变积积分分次次序序. 121d)ee (xxx.e21e83 2xy xy .dedded121212141 yyxyyxyxyxyI例例4 4 计算积分计算积分 xxxyyx221ded1原原式式97)0( .d),(d22202 ayyxfxIax