考研数学高等数学强化资料-二重积分

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2、分设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。在每个闭区域上任取一点，并计算和式。如果各小闭区域的最大直径趋于零时，的极限存在，则称该极限值为在区域上的二重积分，记作。2.几何意义二元函数的图像是三维空间中的一个曲面，当时，表示以为底，以该曲面为曲顶的曲顶柱体的体积。二基本性质1.线性性设为任意实数，则有2.关于区域的可加性设可分为与，其中与不相交且，则有3常数的积分，其中为区域的面积。4.比较定理如果在上恒有成立，则有推论1：设分别是函数在区域上的最大值与最小值，是区域的面积，则有。推论2（二重积分中值定理）：设函数在闭区域上连续，是区域的面

3、积，则在区域上至少存在一点使得。三二重积分的计算方法1.直角坐标系1）步骤：画出积分区域草图；选择积分次序；确定积分上下限，做定积分计算。2）确定积分次序时遵循两原则：尽可能地避免分类讨论；尽可能地使第一步的积分简单。3）定限方法（以先对积分的情况为例）：）画一条与轴平行的直线，观察这条直线与积分区域边界的两交点（如图），下交点为下限，上交点为上限，即。）使得直线与积分区域有交点的的范围便是积分变量的上下限，即2.极坐标1）转换公式2）适用情形：积分区域为圆或与圆相关（扇形，环形等）；被积函数可写成或被积函数中多次出现。3）定限方法）从原点出发画一条射线，观察这条射线与积分区域相交的部分，其中

4、与原点距离最近的点与原点的距离即为的下限，与原点距离最远的点与原点的距离即为的上限。）使得射线与积分区域相交点的角度范围便是积分变量的上下限，即3.利用对称性1）如果积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的奇函数，则积分值为零；如果积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的偶函数，则积分值等于第一二象限积分的两倍。2）如果积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的奇函数，则积分值为零；如果积分区域关于轴对称，且被积函数是关于变量的偶函数，则积分值等于第一四象限积分的两倍。3）特别地，如果积分区域关于两个坐标轴都对称，被积函数关于两个变量都是偶函数，则积分值等于第一象限内的积分的四倍。4）轮换

5、对称性：如果设将积分区域的变量交换之后的区域为，则有。特别地，当关于直线对称时，此时则有 考点精讲一选择合适的积分次序【例1】：求，其中由围成。答案：【例2】：计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域。答案：【例 3】：计算二重积分，其中D为曲线、和轴所围区域。答案：【例4】：计算二重积分，其中积分区域答案：【例5】：计算二重积分,其中是由直线,所围成的平面区域.答案：小结：确定积分次序的两个基本的原则：一是便于定限（避免分类讨论）；二是尽可能地让第一步的积分简单。【例6】：计算二重积分，其中积分区域是以点为顶点的三角形。答案：【例7】：计算二重积分，其中积分区域是由直线以及抛物线所

6、围成的区域。答案：小结：如果被积函数为等无法积分的函数，则直接对另一个变量积分。二极坐标【例8】：计算二重积分，其中积分区域。答案：【例9】：计算二重积分，其中积分区域。答案：【例10】：计算重积分，其中。答案：【例11】：计算重积分，其中由围成。答案：【例12】：计算重积分，其中。答案：三交换积分次序【例13】：交换下列积分次序（1）（2）答案：（1）（2）小结：交换积分次序的一般步骤：先通过积分上下限还原出积分区域，再按照要求的积分次序定限即可。【例14】：计算下列积分（1）（2）答案：（1） （2）【例15】：答案：【例16】：将下列积分化为直角坐标下的累次积分（1）（2）答案：（1）（2）【例17】计算二重积分,其中.答案：四对称性1.奇偶性【例18】：计算二重积分,其中.答案：【例19】：设二元函数。二重积分，其中。答案：【例20】：计算二重积分，其中由围成。答案：2.轮换对称性【例21】：设且连续，试计算.答案：【例22】：设，试计算. 答案：【例23】：设，