八上一章二章教案

1、第一章 勾股定理一、内容特点：一、在知识与方法上和三角形、四边形等探索图形性质活动密切相关；作为学习实数的一个重要基础；进一步培养学生推理论证的一个题材。内容定位：经历探索过程；掌握勾股定理及逆定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，能运用它们解决一些简单问题；发展合情推理能力，体会形数结合的思想。    二、教材设计思路 1    整体设计思路：内容展开的两个方面（相互联系）：基础知识勾股定理和逆定理；方法通过计算面积的方法探索勾股定理；用拼图的方法验证勾股定理。 2具体过程：在方格纸上计算图形面积；归纳并检验（度量）得到的猜想；用拼

2、图的方法验证勾股定理；确认直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）。 第一节：经历勾股定理的发现、验证和应用过程（在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理，用拼图的方法验证勾股定理），试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系。第二节：了解勾股定理的逆定理（作为直角三角形的判别条件）以历史上古埃及人做直角的方法引入“直角三角形的三边长如果满足a2+b2=c2，是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据做出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。 第三节：通过实例展现勾股定理的应用（限于学生

3、已有的知识，有关应用中涉及的数均为完全平方数）。本章更多的关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算上的复杂。在学生学习了无理数之后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题.三、一些实施建议1注重使学生经历探索勾股定理等过程； 2注重创设丰富的现实情境，体现勾股定理及其逆定理的广泛应用。3尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值；4注意渗透形数结合的思想。第一章 勾股定理1.探索勾股定理第一课时一. 教学目标(一)知识目标1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理.2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象(二)能力目标1.在学生充分观察、归纳、猜

4、想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想2.在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力(三)情感目标1.培养学生积极参与、合作交流的意识2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气二. 教学重点探索和验证勾股定理三. 教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理四. 教学方法交流探索猜想.在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系五. 教具准备.学生每人课前准备若干张方格纸.六. 教学过程教师活动学生活动、

5、问题情境，引入新课出示学案组，完成我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征.在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？这节课，我们就来继续研究直角三角形.、 观察教材、图，完成教材提出的问题并将结果填入下表，讨论正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1图2图图、议一议：通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流.；作几个直角三角形检验一下.例如，作一个分别以5厘米、12厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还

6、成立吗？ 师点拔得出勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.、读一读(课本P5)、例题：在ABC中，C=90°(1)若a=8，b=6，则c=_；(2)若 c=20，b=12，则a=_；(3)若ab=34，c=10，则a=_，b=_.点拔：在ABC中，C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.典型示范一个，其它学生完成、练习：学案组、想一想：（教材4）引导学生利用勾股定理，进一步了解勾股定理来源于生活，作用于生活，让学生体会到勾股定理是形

7、与数的结合.、课时小结这节课你学习了什么，有什么收获。先由学生自己总结，然后师生共同完成.、作业：课本P6，习题6.1.回顾完成问题，激发求知欲学生观察、计算、猜想、讨论，互相交流让学生先独立思考，然后填写上面的表格.最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形C的求法讨论、归纳、交流特例计算验证认知勾股定理读一读勾股世界，认知勾股定理的历史思考掌握方法，在教师的示范下，完成其它题目完成学案组利用勾股定理解决实际问题，了解勾股定理来源于生活，作用于生活先由学生自己总结，然后师生共同完成探索勾股定理（第一课时）学案l 学习目标观察、归纳、猜想、探索得出直角三角形两

8、直角边与斜边的关系勾股定理l 方法与规律勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系：. 当已知直角三角形的任意两边，利用这个定理就可以求得第三边。常用的变式：。l 练习题组练习一：(1)三角形按角分类，可分为_、_、_.(2)对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三角形呢？(3)有两个直角三角形，如果有两条边对应相等，那么这两个直角三角形一定全等吗？练习二： .求图和图中字母所代表的正方形的面积。 、求图中直角三角形的未知边的长度。 、如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点

9、间的距离是_.图l 达标检测1. 若直角三角形的三条边分别为a、b、c，则有_. 2. 直角三角形的一条直角边长为cm，斜边长为.cm, 求另一条直角边的长。l 收获 探索勾股定理第一课时背景材料勾股定理千古第一定理在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2.其中a，b是直角边长，c为斜边长.我国的算术周髀算经中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”.在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理，是因为现代的数学和科学的来源于西方，而西方的数学和科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得

10、的几何原本，而其中许多定理再往前追溯，就落在毕达哥拉斯的头上.不管怎么说，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量.人类远征太空的梦想正在实现.当年，周公憧憬“天可阶而升”的幻想竟变成了现实.今天，人们普遍认为，与世外文明生物对话的日子虽很遥远，但却势在必行.很难想像，他们是什么模样，智能高低如何，总不能按照几千年来人们创造神的形象那样，谁也未曾见过神，于是，神就被模塑得与人一样.可是，人类的智慧毕竟贫乏，无法确定“世外人”的分

11、辨能力，只好将“地球人”的意识强加给“世外人”.因此，为了寻找与“世外人”接触的可能性，人类已向太空发射一批物件，其中包括：地球人的男、女形象，各种物质和元素符号，有代表性的乐曲数学家华罗庚提出一种新颖的独特设想：最好带两个图形去，一个“数”，一个“数形关系”.他提供的“数”如上图(左)，这是“洛书”，相传大禹治水时，洛水中爬出一只神龟，背负着这幅象征吉祥的图，它构成了一个“幻方”，纵、横和对角线的数字和都为15.“数形关系”则如上图(右)，这分明是一幅人们所熟悉的“勾股弦关系”图.这两个图形说明数学的基础扎根于它们之中，不论在我们居住的地球上，或是某个神秘的天体上，绝无例外.为什么说勾股定理

12、如此重要，是千古第一定理呢？除以上所述外，更重要的在于：(1)勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象数与形第一定理；(2)勾股定理导致无理数的发现.这就是所谓的第一次数学危机.(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学；(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式.第一章勾股定理探索勾股定理第二课时l 教学目标(一)教学知识点1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股解决一些实际问题.(二

13、)能力训练要求1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.(三)情感与价值观要求利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献.借助对学生进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣.教学重点勾股定理的证明及其应用.教学难点勾股定理的证明.教学方法教师引导和学生自主探索相结合的方法.在用拼图的方法验证勾股定理的过程中.教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题.教具准备每个学

14、生准备一张硬纸板；剪纸刀教学过程教师活动学生活动、创设问题情景，引入新课完成学案组点拔：用拼图的方法推证数学中的结论非常直观.这节课我们就利用拼图的方法进一步验证勾股定理、拼一拼(1)在一张硬纸板上画4个如右图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来.鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼图推证方法说明勾股定理、例题：例1飞机在空中水平飞行，

15、某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？教师注意分析引导，典型示范，把实际问题转化为几何问题、练习： 学案组、小结 这节课你学会了什么，有什么收获。、作业1.课本P9，习题6.2.2.收集关于勾股定理的证明方法.完成学案组通过学案组题，初步了解拼图验证勾股定理的方法动手操作，大胆的拼摆，小组内交流，联系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼图推证方法说明勾股定理通过教师点拔形成

16、数与形的结合思考把实际应用问题，经过分析转化为已知两边求直角三角形第三边的问题 尝试用学过的知识来解决.完成学案组小结自己的收获，交流探索勾股定理（第二课时）l 学习目标勾股定理的验证与应用l 方法与规律例 如图，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A的距离是多少？思路分析：这是一道以光的反射为背景的实际应用题，要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识.，从中可以看出数学是学习物理的基础。由题意知ABA是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA=2×6=12米，AB=5米；在RtAAB中，AB2=AA2+AB2=1

17、22+52=169=132米所以AB=13米，即B点到物体A的像A的距离为13米.l 练习题组组：观察图两个正方形，回答下列问题：（） 这两个正方形的边长相等，都等于；（）图（甲）的正方形由两个小正方形和两个长方形构成，它的面积可表示为；（）图（乙）的正方形由四个直角三角形和一个正方形构成，它的面积可表示为；（）由于这两个正方形的边长相等，因此它们的面积相等，于是得，化简得，这就是勾股定理。组、某飞机控制塔位于海平面上，某一时刻控制员发现飞机的飞行高度千米，与控制塔的水平距离为千米，求此时控制塔与飞机的直线距离。、有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一

18、艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后两船相距多少海里.？、 如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.l 达标检测、 已知：如图，在中，ACB=90，AB=50cm, BC=30cm, CDAB, D为垂足，求CD的长。l 收获 探索勾股定理第二课时背景材料勾股定理的推广如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广.比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直经的半圆，结论仍

19、然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和(如下图).证明如下：因为c2=a2+b2.等式两边同乘，得c2=a2+b2即()2=()2+()2所以如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为下图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”.这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”. 探索勾股定理第二课时背景材料原本一书中勾股定理的证明我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种.现存的最古老的证明，载于欧几里得的原本一书中，它随原本在世界广泛流传而流传，成为二千年来几何学教科书中通用证法.如下图，在RtABC各边上向外作正方形AB

20、ED，BCGK，CAFH.连结CD，FB.因为AF=AC，AB=AD，FAB=CAD=90°+CAB，所以FABCAD，作CLAD.因为SFAB=FA·FH.(FH为FAB的AF边上的高).而S正方形CAFH=FA·FH.所以S正方形CAFH= 2SFAB. 又因为SCAD=AD·DL(DL为AD边上的高)，而S长方形ADLM=AD·DL，所以S长方形ADLM= 2SCAD；综上所述，可得S正方形CAFH=S长方形ADLM.同理可证S正方形BCGK=S长方形BELM，所以S正方形ABED=S长方形ADLM+S长方形BELM=S正方形CAFH+

21、S正方形BCGK，即AB2=AC2+BC2.其实，欧几里得原本中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图.即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图.第一章勾股定理2.能得到直角三角形吗教学目标(一)教学知识点1.掌握直角三角形的判别条件.2.熟记一些勾股数.3.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用.(二)能力训练要求1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.2.通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神.(三)情感与价值观要求1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望.2.通过对勾股定理逆定

22、理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣，克服困难的勇气；体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性.教学重点直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。教学难点用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.教学方法引导启发法.教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通过已知数据作出三角形，并用测量的方法、探索、归纳用三角形三边关系判定直角三角形的条件.教具准备一根有13个等距的结的绳子.教学过程教师活动学生活动、创设问题情境，引入新课 出示学案练习一，要求学生完成点拔：通过做组题，我们发现一个直角三角形的两直角边a，b，

23、斜边c具有一定的数量关系时，也可以判断三角形是否是直角三角形。这节课我们就来研究怎样才能得到直角三角形。、演示古代埃及人作直角我这儿有一根绳子，上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段.下面我让一个同学同时握住绳子的第(1)个和第(13)个结，再让两个同学分别握住绳子的第(4)个结和第(8)个结，(如图所示)拉紧绳子，大家观察可以发现什么？、做一做：下面四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7.(1)这四组数都满足a2+b2=c2吗？(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？让学生亲自动手作三

24、角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流，从而获得一个三角形是直角三角形三边的条件点拔：在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？从“做一做”中你能猜想到什么结论呢？、证明古埃及作直角的道理已知：在ABC中AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.求证：c=90°证明：作ABC，使C=90°，BC=a，AC=b，那么AB2=a2+b2(为什么？).由已知条件a2+b2=c2，可得AB2=c2，即AB=c.(AB0，c0)在ABC和ABC中有BC=a=BC，CA=b=CA，AB=c=AB，则ABCABC.所以C=C=90°.通过证明我

25、们明白了古埃及人那样做的道理.实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”. 介绍“三四五放线法”（见背景材料）建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？、勾股数组：如果三角形三条边满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.那么满足条件的勾股数有多少组呢？它们是如何形成的？我们的先人数学家刘徽和希腊数学家曾相继提出了表示所有勾股整数组的方法.、读一读课本P11，阅读“读一读”勾股数组与费马大定理.、证明求勾股数组的方法的合理性求证：m2n2，m2+n2，2mn(mn，m，n是

26、正整数)是直角三角形的三条边长.师生共析，完成证明过程 找几组勾股数组、例题：教材10例 教师分析，点拔，学生完成、练习 学案练习二 及时反馈矫正、小结： 这节课你学会了什么，有什么收获10、作业：课本P12，习题6.3；通过动手画图，证明直角三角形全等，完成学案组题，认识到判定直角三角形还有新的方法，形成求知欲望。三生演示，其他学生观察、思考、回答发现：得到一个直角三角形，并且第（）个结处是直角计算学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流学生进行猜想，进一步理清思路：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.掌握勾股定理的逆定理的证明方

27、法，明确古埃及作直角的道理了解勾股定理的逆定理在实际的应用，掌握“三四五放线法”的道理掌握勾股数组的概念，能指出几组不同的勾股数组了解数学史与教师一起完成证明过程掌握找勾股数组的方法在教师的点拔下完成例题完成组题小结自己的收获能得到直角三角形吗 学案l 学习目标会用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形l 方法与规律如果给出三角形的三边的长，判定这个三角形是不是直角三角形，就是通过代数运算方法进行的，是典型的数与形的结合实例。实际操作时，先确定最大边（如c），然后验证与是否相等，若相等，则三角形是直角三角形，边长c所对的角是直角；若，则三角形不是直角三角形。l 练习题组练习一：如图1：

28、ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足关系：a2+b2=c2.请作一个三角形ABC,使C=90°,BC=a,AC=b.(1)ABC是否全等于ABC？为什么？（2）C是否等于C？（3）由以上你能判定ABC是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？练习二：、判断下列哪组数是勾股数（）， （）， （）， ， 、判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.解：因为a2+b2=100+64=164c2即a2+b2c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形. 请问：上述解法对吗？为什么？、如图2，求四边形ABCD的

29、面积。l 达标检测、如果作一个三角形，使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，那么哪条边所对的角是直角？为什么？、若三角形三边长为a, b, c, 且满足, 则此三角形按角分是三角形。、 已知：如图3，中， D是BC边上一点，若AB=13, BD=5, AD=12, BC=14, 求AC的长。l 收获能得到直角三角形吗背景材料“三四五放线法”是一种古老的规范操作.所谓“归方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺

30、拉直，在MN上定出A点；再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点.于是连结BC，就是MN的垂线.能得到直角三角形吗背景材料费尔马费尔马出身于法国的一个皮革商人家庭.由于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明.费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学.费尔马是一个不追名逐利的人，因此平时比较清闲，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著.他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会.由于他刻苦钻研，又敢于进行创造性

31、的思考，所以取得的成果很多.他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉.微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大家公认费尔马为他们作了奠基工作.不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者.说起数论，费尔马还是由于读了丢蕃图的算术一书，才开始产生兴趣.在这本书中，丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数(z2)，拆成两个平方数(x2与y2)之和”的，也即叙述了他对方程x2+y2=z2的求解过程.费尔马非常善于联想，他读了丢番图的这段文章后，由此及彼地提出了一连串的同类问题：“能否将一个立方数(z3)表示为两个立方数( x3与y3)之和；将一个四次方数(z4)

32、表示为两个四次方数(x4与y4)之和；这一连串问题归结起来就是：方程xn+yn=zn是否存在正整数解，其中n是大于或等于2的正整数.当n=2时，方程z2=x2+y2，这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程.十世纪时，阿尔柯坦第曾对n=3的情况，即对方程z3=x3+y3提出过不存在正整数解的结论.显然这都是特殊情况.一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决.费尔马在丢番图著作的空白处写道：“我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下”.费尔马果真证明了他自己提出的结论吗？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注.他们围绕着这个定理顽

33、强地探索着，试图证明它.1995年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜.第一章勾股定理蚂蚁怎样走最近l 教学目标 (一) 教学知识点 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题 (二)能力训练要求 1学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。 2在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想 三)情感与价值观要求 1通过有趣的问题提高学习数学的兴趣。、在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。l 教学重点探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其

34、逆及理，并用它们解决生活实际问题。l 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理。解决实际问题l 教学方法 启发一动手操作相结合l 教具准备 投影仪、硬纸板做成的圆柱l 教学过程教师活动学生活动、提出问题，引入新课、勾股定理的内容是什么？、如何判断一个三角形是否是直角三角形？欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？我们知道这两个定理非常重要，而之所以重要是因为它们是联系数学中最基本也是最原始的两个对象数和形由直角三角形的“形”，可得到三边关系的数”；反过来，由三角形三边关系这个“数”，也可得到直角三角形这个“形”更为重要的是，用它能

35、解决生活中的实际问题显而易见，勾股定理及其逆定理应用十分广泛。我们就着重研究这个问题。思考回答领会数与形的关系完成实际问题、做做议议，探究之旅【出示情景】蚂蚁怎么走最近（见教材13页）问题：利用课前做好的圆柱，尝试从点到B点沿圆柱的例面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢?问题：同学们可以将刚才几位同学设计的路线和你自己设计的路线都画在圆柱的侧面上到底谁画的路线最短呢?问题：蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它需要的最短路程是多少呢?动手操作，尝试画出路线，然后同学交流合作交流，认识知识计算，解决问题。、做一做：李老师家装修。这一天，下班后老师抽空去了一趟现场，工人们正在做门窗，老师很想检验一

36、下工程的质量如何，可对工程质量的好坏，老师只知道可以通过检验门窗相邻两框是否互相垂直的方法来完成，但老师随身只带了一把卷尺（长为一米的简易卷尺）和一个计算器，（）你能想办法利用这两种工具帮老师检验一下工程的质量吗？(2)李老师量得AD的长是30厘米边AB的长是40厘米，BD长是50厘米AD边垂直于AB边吗? (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?处理方式：1）以小组讨论的方式确定行动方案。2）以教室里的门窗为例验证方案的可行性。小组讨论，确定方案，然后小组推选可行方案，全班交流。、练习巩固：学案练习二学生画出图形，并标出相应数量

37、关系，完成练习、拓展提高在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？全班讨论交流，以进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智。、小结交流：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？请与伙伴交流。、作业：P14习题1.4 1. 2. 3交流：利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题 蚂蚁怎样走最近 学案l 学习目标会用勾股定理和直角三角形的判别条件解决实际问

38、题l 方法与规律如图，将圆柱侧面沿着AB剪开展平得到一个长方形ABCD.如果圆柱的高是h, 底面圆的半径是R，那么长方形ABCD的宽AB=h, 长AD=2R, 它的面积是2RH.教科书中，研究蚂蚁怎样走最近，将要通过圆柱的侧面展开图，将蚂蚁在圆柱曲面上爬行的问题转化到平面上来研究，利用平面上“两点之间线段最短”的特性，使问题圆满解决。l 练习题组练习一：、如何判断一个三角形是否是直角三角形？、欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？练习二：、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源。为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为

39、15千米。早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？、一架米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端米，如果梯子的顶端沿着墙下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动米吗？、 一只蜘蛛在一块长方形的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点处，如图，已知长方形的长为米，宽为米，高为米。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方形的表面向上爬。它要从点爬到点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线篇目上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？l 达标检测、 一个圆柱它的高是

40、厘米，底面圆的半径是.5林肯迷， 将此圆柱的侧面展开得到一个长方形，如果取值，则此长方形的面积是平方厘米，对角线是厘米。、 有一株一丈高的竹子，竹稍被风吹折，竹稍末端恰好接触地面，并距竹根尺远，试问：残留的一段竹子还有多高？l 收获第一章勾股定理回顾与思考l 教学目标： （一)教学知识点 1对直角三角形的特殊性质全面地进行总结 2让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用 3了解勾股定理的历史 （二)能力训练要求 1体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法 2在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有

41、创新精神 （三)情感与价值观要求 1在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣 2通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量l 教学重点 1回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程，总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。 2体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用 3了解勾股定理的历史。 l 教学难点 1勾股定理及其逆定理的广泛应用； 2。建立本章的知识框架图l 教学方法 交流反思合作 学生根据回顾与思考中的4个问题，独立思考，然后小组交流、反思在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方，并在此基础上整理本章的主要内容l 教学过程：教师活动学生活动、 引

42、入新课勾股定理，我们把它称为世界第一定理。它的重要性，通过这一章的学习已深有体验首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在第二章实数里讲到。第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程也是有完整解答的最早的不定方程，由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史、勾

43、股定理的应用、 回顾与思考问题：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?点拔、归纳、总结，及时肯定学生的成绩：、 完成学案练习一、 问题：我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程随着以后学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引入的地方下面我们来看第2个问题：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形、 重温一下勾股定理的获得和验证的过程，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处、 完成学案练习一、 、 问题：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它。、 练习：学案练习二、 问题：你了解勾股定理的史料吗？我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集

44、勾股定理的史料，现在我们就来介绍一下你们收集的有关史料。肯定学生收集的史料，鼓励学生的积极性。、 小结：通过回顾与思考中的问题的交流由同学们自己建立本章的知识结构图、 作业 课本P16，复习题A组、B组、C组 独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容感知勾股定理的巨大历史意义，增强深入学习了解勾股定理的自觉性和兴趣。思考、讨论、回答：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角所以直角三角形的两个锐角互余30的角所对的直角边等于斜边的一半完成学案组题思考、合作交流：从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形：从边来判断直角三角形它的理论依据就是判

45、定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理)回顾勾股定理的获得和验证过程完成学案组题小组内先交流讨论，然后每组推荐一个最好的实例，在全班进行交流展示完成学案组介绍个人收集的勾股定理史料，体会勾股定理的历史。建立本章的知识结构图、全班交流回顾与思考（学案）l 学习目标回顾本章知识，提高解决问题、反思问题的能力l 练习题组练习一：1、 在RtABC中，C=90°，a=5，b=12，则c=；2、 现有一长米的梯子，架靠在建筑物上，它们的底部在地面的水平距离是米，则梯子可以达到建筑物的高度是米；若梯子沿建筑物竖直下滑米，则建筑物底部与梯子的底部在地面的距离是米。3、 在ABC中，若其三条边的长度

46、分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是。4、 下列各组线段中的三个长度9、12、15；7、24、25；32、42、52；3a、4a、5a（a>0）；m2-n2、2mn、m2+n2（m、n为正整数，且m>n）其中可以构成直角三角形的有（ ）A、5组； B、4组； C、3组； D、2组练习二：1、 某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）2、 如图、为修通铁路需凿通隧道AC，测得A=50°，B=40°，AB=

47、5km，BC=4km，若每天开凿隧道0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？、 如图2，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？l 收获课题学习拼图与勾股定理第一课时l 教学目标： (一)教学知识点 1经历综合应用已有知识解决问题的过程，在此过程中，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识2经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。(二)能力训练要求 1通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。2通过

48、丰富的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理、交流等过程，发展空间观念和有条理地思考与表达的能力，获得一些研究问题与合作交流的方法和经验 (三)情感与价值观要求 经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，从中获得成功的体验和克服困难的经历，增强学习数学的信心。l 教学重点用拼图法研究勾股定理l 教学难点 正确的思维方法，知识的联想以及培养正确的解决问题的能力 l 教学方法自发一自主探索相结合 师生在回顾第一章进行验证过的勾股定理的过程，激发探索勾股定理的证法的多样性，将a2、b2、c2与图形联系起来l 教具准备 硬纸板 若干个全等的直角三角形l 教学过程教师活动学生活动1、 提出问题，引入新

49、课、在第一章中，我们已用拼图的方法验证过勾股定理，我们一同来回忆一下我们是如何进行验证的。、我们观察勾股定理的形式：在直角三角形中，如果两直角边是a、b，斜边是c则。我们当时验证它时，为什么会想到用拼图的方法构造以c为边长的正方形呢？a2、b2、c2能使你想到什么？回忆验证方法，回答讨论交流，将a2、b2、c2与图形联系起来 2、用拼图的方法验证勾股定理现在我们来讨论一下还有其它拼图方法验证勾股定理吗？点拨：同学们用了多种方法证明了勾股定理，可见勾股定理的魅力之所在勾股定理的发现使数学进入一个变革性的历史时期从此数学的范围日趋广泛计算技巧也渐臻灵活。今天我们能够得心应手地把握这个定理，当然首先

50、要感谢它的开创者商高。因为这位先师为人类做出了巨大的贡献直到今天勾股定理还作为我国古代数学的一个标志。3、 勾股定理的应用2002年世界数学家大会在北京召开时，数学家们就用了勾股定理做出了这届大会的会标， 请看课本图3，看看中间的图案是什么?具有何意义?归纳：2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是2l世纪数学家的第一次聚会。这次大会的会标选定勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化2002年数学家大会在北京举行，这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定我们有先人作表率，我充分相信在坐的各位同学将来也会为我国的数学发展做出贡献4

51、、 做一做 完成教材问题注意指导拼图方法，鼓励学生在拼图中进行合作交流5、 小结通过本节课的学习，你都掌握了哪些拼图方法来验证勾股定理，请你谈谈自己的收获6、作业：习题思考，动手拼图、小组合作交流感受情景，激发探索勾股定理的兴趣，完成情景问题，明确勾股定理在实际中的应用， 掌握勾股定理的数形结合的思想。动手操作，拼图验证勾股定理小组合作交流学生小结，谈收获课题学习拼图与勾股定理第二课时l 教学目标 (一)教学知识点 1继续经历用五巧板拼图的方法验证勾股定理的过程，体验解决问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值 2介绍意大利著名画家达·芬奇对勾股定理的一种研究成果，开阔学生的视野 (二)能力训练要求1通过介绍“青朱出入图”以丰富有趣的拼图活动，提高学生实际操作能力2经历拼图过程，发展空间观念，获得一些研究问题的方法和经验 (三)情感与价值观要求 通过拼图获得成功的体验，增进数学学习的信心 l 教学重点 继续用拼图法研究勾股定理l 教学难点 正确的思维方法，知识的联想以及正确的解决问题的能力 l 教学方法 操作实践法 通过让学生拼图操作验证勾股定理，并给学生介绍意大利著名画家达芬奇