第8章多元函数微积分

1、第八章第八章 多元函数微积分多元函数微积分 第一节第一节 空间解析几何简介空间解析几何简介 第二节第二节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第三节第三节 偏导数和全微分偏导数和全微分 第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则第五节第五节 隐函数的求导法则隐函数的求导法则 高等数学高等数学第六节第六节 多元函数的极值多元函数的极值第七节第七节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第八节第八节 二重积分的计算二重积分的计算第九节第九节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 高等数学高等数学 第一节第一节 空间解析几何简介空间解析几何简介 空间解析几何空间解析几何: : 用代数方法

2、讨论空间图形用代数方法讨论空间图形 先修知识：先修知识：向量代数向量代数后续知识：后续知识：多元微积分多元微积分 高等数学高等数学一一、空间直角坐标系空间直角坐标系 二二、空间两点间的距离空间两点间的距离 三三、空间曲面及其方程空间曲面及其方程 四四、二次曲面二次曲面v 主要内容主要内容: : 高等数学高等数学v 基本要求基本要求: : 了解空间直角坐标系，空间点的坐标；了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面 及常见曲面方程作出其图形及常见曲面方程作出其图形v 重点重点:

3、 由平面及常见曲面方程作出其图形由平面及常见曲面方程作出其图形 高等数学高等数学一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 yzO x空间直角坐标系：数数( (数组数组) )与形与形( (空间图形空间图形) )结合的工具结合的工具 高等数学高等数学每两条坐标轴确定的平面称为每两条坐标轴确定的平面称为：坐标平面：坐标平面xyOzxyOzxyOzyoz平面平面xoy平面平面xoz平面平面 高等数学高等数学三个坐标平面把空间分为三个坐标平面把空间分为八个部分八个部分，每一部分称为一个每一部分称为一个卦限卦限： oxyz 高等数学高等数学zxO y NM) , , ( z y x P P yRzx 高等数学

4、高等数学例例1、建立空间直角坐标系，并作出下列点：、建立空间直角坐标系，并作出下列点：(3,2,4),(3, 2,2),(1,2,0),( 3,0,0)ABCDxyzOxyzOxyzOxyzO324(3,2,4)A322(3, 2,2)B12(1,2,0)C3( 3,0,0)D 高等数学高等数学1111( , , )M x y z 2222( , )M x y z 1P x y z O 2P N 二、空间两点间的距离公式二、空间两点间的距离公式 高等数学高等数学三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程 曲面曲面S与方程与方程 F(x , y , z) = 0 关系：关系： （1）S上任一点的坐

5、标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程； （2）S外点的坐标都不满足方程外点的坐标都不满足方程.oxyz1 1、曲面方程的概念、曲面方程的概念曲面曲面S:空间满足一定条件的动点的轨迹空间满足一定条件的动点的轨迹.S 高等数学高等数学xyOz0MM 高等数学高等数学1M2MxyzO 高等数学高等数学 高等数学高等数学&利用平面方程研究平面利用平面方程研究平面: : 设平面的一般方程为 （1）A0，B0，C0，D0平面不过原点，在 x轴、y轴、z轴、上的截距分别为 -D/A、-D/B、-D/C.令-D/A=a、-D/B=b、-D/C=c，则有0DCzByAx 高等数学高等数学 上式称为上式

6、称为平面的截距式方程平面的截距式方程 平面与三坐标轴的交点分别为 P(a , 0 , 0)、Q(0 , b , 0)、 R(0 , 0 , c) 其中a 、 b 、 c均不为零 oxyzP(a , 0 , 0)Q(0 , b , 0)R(0 , 0 , c)1xyzabc 高等数学高等数学（2） A0，B0， C0，D = 0 平面过原点（3）A、B、C中有一个为零A = 0，平面方程为 By+Cz+D = 0平面平行于x轴oxyz 高等数学高等数学 B = 0 , 平面方程为 Ax+Cz+D = 0 平面平行于y 轴 C = 0 , 平面方程为 Ax+By+D = 0 平面平行于z 轴oxy

7、zoxyz 高等数学高等数学（4）A、B、C中有两个为零A = 0， B = 0 , 平面方程为 Cz+D = 0平面与z 轴垂直B = 0， C = 0 , 平面方程为 Ax+D = 0平面与x 轴垂直oxyzoxyz 高等数学高等数学A = 0， C = 0 , 平面方程为 By+D = 0平面与y 轴垂直(5) z = 0，xOy平面； x = 0，yOz平面； y = 0，xOz平面。oxyz 高等数学高等数学z O x y2 zO x y 1 z O x y 1 1 A B C 263zO x y 高等数学高等数学练习：作出下列平面的图形1、240 xyz2、350 xyz3、260

8、 xz4、40yz5、30 xy6、40z xyzO(4,0,0)(0,0,2)(0, 4,0)xyzO(1,3,0)(0,5,1)（1）（2） 高等数学高等数学xyzO(6,0,0)(0,0,3)xyzO(0,0, 4)(0, 4,0)( 3,1,0)xyzOxyzO(0,0, 4)（3）（4）（5）（6） 高等数学高等数学 3. 3. 柱面柱面CLl要求：要求：掌握母线平行于坐标轴的柱面方程掌握母线平行于坐标轴的柱面方程 高等数学高等数学M0 M z Ox y 高等数学高等数学（2）母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程 、 F(x , y ) = 0 准线准线C: xOy

9、平面上的曲线平面上的曲线F(x, y) = 0 母线与母线与z 轴平行；轴平行；、G(x , z) = 0 准线准线C: xOz 平面上的曲线平面上的曲线G(x, z) = 0 母线与母线与y 轴平行；轴平行；、H( y , z) = 0 准线准线C: yOz 平面上的曲线平面上的曲线H(y, z) = 0 母线与母线与x 轴平行轴平行. 高等数学高等数学x y O zyOx z y Ox z 高等数学高等数学例：抛物柱面例：抛物柱面 y - x2 = 0准线C: xOy 平面上的抛物线 y - x2 = 0母线: 平行于z 轴圆柱面圆柱面 x2 +z2= 1准线C: xOz 平面上的圆 x2

10、 +z2= 1母线: 平行于y 轴yoxzoxyz 高等数学高等数学4. 旋转曲面旋转曲面 CLLCLC绕绕旋转一周旋转一周 高等数学高等数学 (1)(1) yO z 平面上的曲线平面上的曲线C :F(y, z) = 0，绕绕z 轴旋转一周后的曲面方程：轴旋转一周后的曲面方程： 取C上的一个点1(0, y1, z1)， 那么有 F(y1, z1) = 0 当C绕轴旋转时，点1旋转到 点(x, y, z) 这时有 z = z1 ，C：xyzO( , )0f y z 1MM1O122yyx 高等数学高等数学 因此 ,yOz 平面上的曲线C :F(y, z) = 0绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面方

11、程为 同理可得,曲线C:F(y, z) = 0绕 y 轴旋转一周而成旋转曲面方程为0,22zxyF0,22zyxF 高等数学高等数学同学们可以写出另外几种情形： 高等数学高等数学小结（小结（坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而成的坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而成的旋转面旋转面方程的方程的特点）：特点）：1、形如形如 22( ,)0f x yz 由曲线 或 绕 轴旋转而成2( ,)00f x yz2( ,)00f x zyx2、形如形如 22( ,)0f y xz 由曲线 或 绕 轴旋转而成2( ,)00f y xz2( ,)00f y zxy3、形如形如 22( ,)0f z xy 由曲线 或 绕 轴旋

12、转而成2( ,)00f z yx2( ,)00f z xyz 高等数学高等数学 zx y O 高等数学高等数学练习：练习：1、建立下列曲面的方程、建立下列曲面的方程（1）224936xoyxyxy面上的椭圆分别绕 、 轴旋转所成的旋转面(旋转椭球面)（2）223xozxzx面上的双曲线分别绕 、z轴旋转所成的旋转面（旋转双曲面）绕 轴：x222()3xyz绕 轴：y2224()936xzy绕 轴：x22249()36xyz绕 轴：z2223xyz 高等数学高等数学（3）2yozy面上的抛物线z=绕z轴旋转所成的旋转面(旋转抛物面)（4）2yozy 面上的直线绕z轴旋转所成的旋转面（圆柱面）22

13、zxy224xy 高等数学高等数学2、下列曲面是否旋转面？若是，如何产生？试作出、下列曲面是否旋转面？若是，如何产生？试作出 其旋转面的图形：其旋转面的图形：（1）2221xyz（2）2221zxy（3）222zxy（4）222231xyz（5）22214xyz（6）2221xyz（7）222zxy（8）22zxy（9）22zxy（10）221zxy 高等数学高等数学参考答案：参考答案：（2）222222211010zxzxyyzyx曲面是由曲线或绕z轴旋转而成的旋转面xyzO（3）2222020zxzxyyzyx曲面是由直线或（z2）绕z轴旋转而成的旋转面xyzO222 高等数学高等数学（5

14、）222222211440140 xxyzzyyzx曲面是由椭圆或绕z轴旋转而成的旋转椭球面xyzO221122 高等数学高等数学222222211100yzxzxyzxy曲面是由曲线或绕z轴旋转而成的旋转面（6）xyzO 高等数学高等数学22200zyzxzxyxy 曲面是由直线或绕z轴旋转而成的旋转面（7）xyzO 高等数学高等数学222200zyzxzxyxy曲面是由直线或绕z轴旋转而成的旋转面（8）xyzO 高等数学高等数学（9）22zxy曲面是曲面（7）的上半部分xyzO 高等数学高等数学（10）221zxy曲面是中心在原点，半径为1的球面的上半部分xyzO1111 高等数学高等数学

15、 四、四、 二次曲面二次曲面xyzOabccba 高等数学高等数学& 分析曲面形状的方法平行截面法：分析曲面形状的方法平行截面法：用坐标面及平行于坐标面的平面去截曲面，考察其交线（即截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状. 图形特性：图形特性： （1）关于坐标面，坐标轴以及坐标原点对称；）关于坐标面，坐标轴以及坐标原点对称； （2）完全包含在一个以原点为中心的长方体）完全包含在一个以原点为中心的长方体 |x | a, |y |b, |z |c内；内； （3）截痕：与三个坐标面的交线是椭圆）截痕：与三个坐标面的交线是椭圆 高等数学高等数学.01,01,01222222222222ycz

16、axxczbyzbyax与平面与平面z = z1(| z1|c)的交线也是椭圆的交线也是椭圆12122222122221zzzccbyzccax 高等数学高等数学（4）特例）特例 a = b 时为旋转椭球面时为旋转椭球面由xOz平面上的椭圆 绕z轴旋转而成 .1222222czayax12222czax类似地，与平面类似地，与平面 的交线仍是椭圆的交线仍是椭圆 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化11,xx yy 高等数学高等数学a = b = c 时为球心在原点时为球心在原点O，半径为，半径为a的球面的球面. 2222azyx 高等数学高等数学 、抛物面、

17、抛物面 （1）椭圆抛物面）椭圆抛物面 截痕截痕: 考察(p 0 , q 0) 与平面z = 0相截于原点（椭圆抛物面的顶点）； 与平面z = z1（ z1 0）的截痕是椭圆.)(2222同号与qpzqypx 11212122zzqzypzx 高等数学高等数学与坐标面y = 0的截痕是抛物线与平面y = y1的截痕也是抛物线 与平面 x = 0及x = x1的截痕也是抛线。022ypzx121222yyqyzpxz x y O 高等数学高等数学 特别地 p = q 时为旋转抛物面(由xOz面上的抛物线 x2 = 2pz 绕它的对称轴 z 轴旋转而成的)与平面z = z1（ z1 0）的截痕是圆0

18、2222pzpypx11222zzpzyx 高等数学高等数学 、双曲面、双曲面 （1）单叶双曲面）单叶双曲面截痕：与平面z = z1的交线是椭圆1222222czbyax122122221zzczbyax 高等数学高等数学122122221yybyczaxbyyy11与平面与平面 的交线是双曲线的交线是双曲线O y x z 高等数学高等数学 （2）双叶双曲面）双叶双曲面截痕：截痕：1222222czbyaxxyoz 高等数学高等数学 4 4、双曲抛物面（马鞍面）、双曲抛物面（马鞍面） ),(2222同号qpzqypx 高等数学高等数学练习作出由下列曲面或平面所围成的几何体： 1、228zxyx

19、oy曲面与平面 2、 236xyz平面与三个坐标平面 3、2222,4xyxyxoy曲面z=与平面2222,2zxyzxy曲面4、 高等数学高等数学第二节第二节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、一、多元函数多元函数 二、二、二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性 v 主要内容主要内容 高等数学高等数学v 基本要求基本要求 理解平面区域的有关概念；理解平面区域的有关概念； 理解多元函数的概念及二元函数的几何表示，掌理解多元函数的概念及二元函数的几何表示，掌握二元函数的定义域及其几何表示；握二元函数的定义域及其几何表示； 了解二元函数极限的思想；了解二元函数的连续了解二元函数极限的思

20、想；了解二元函数的连续性性v 重点重点 二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念 高等数学高等数学u 实例分析实例分析 一、多元函数一、多元函数 高等数学高等数学 二元函数的定义二元函数的定义 高等数学高等数学 高等数学高等数学例例 3 3 求求二二元元函函数数222yxaz的的定定义义域域 O 2 2 2 a y x y x a a 河北机电职业技术学院 高等数学高等数学例例 4 4 求求二二元元函函数数)ln(yxz的的定定义义域域 yO x 高等数学高等数学x O 1 3 y 高等数学高等数学2. 二元函数的几何表示二元函数的几何表示 y x

21、z O X Y M D P 高等数学高等数学例例 6 6 作作二二元元函函数数yxz1的的图图形形 x y z O z=1-x-y 高等数学高等数学例例 7 7 作作二二元元函函数数22yxz的的图图形形 z 2 2 y x z x y O 高等数学高等数学例例 8 8 作二元函数作二元函数222yxRz)0(R的图形的图形 y x z R R R O 高等数学高等数学 1. 二元函数的极限二元函数的极限 二、二元函数的极限与连续性二、二元函数的极限与连续性 高等数学高等数学2 2. . 二二元元函函数数的的连连续续性性 高等数学高等数学 高等数学高等数学第三节第三节 偏导数和全微分偏导数和全

22、微分 一、一、偏导数偏导数 二、二、高阶偏导数高阶偏导数 三、三、全微分全微分 v 主要内容主要内容 高等数学高等数学v 基本要求基本要求 理解偏导数的概念，掌握偏导数的求法；理解偏导数的概念，掌握偏导数的求法； 理解高阶偏导数的概念并掌握求法；理解高阶偏导数的概念并掌握求法； 了解多元函数全微分的概念，掌握计算方法了解多元函数全微分的概念，掌握计算方法v 重点重点 多元函数偏导数和全微分的运算多元函数偏导数和全微分的运算 高等数学高等数学一、一、 偏导数偏导数 高等数学高等数学1 1、偏偏导导数数的的定定义义 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学例例 1 1 求求yxzsin

23、2的的偏偏导导数数 高等数学高等数学例例 3 3 求求)1ln(22yxz在在点点( (1 1，2 2) )处处的的偏偏导导数数 高等数学高等数学例例 4 4 设设),(yxf= =)ln(e22arctanyxxy，求求)0 , 1 (xf 例例 5 5 求求22yxuzxy的的偏偏导导数数 高等数学高等数学二、二、 高阶偏导数高阶偏导数 高等数学高等数学例例 8 8 设设函函数数,3323yxyxz求求它它的的二二阶阶偏偏导导数数 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学例例 9 9 证证明明),(txTbxtabsine2满满足足热热传传导导方方程程22xTatT，其其中中

24、a为为正正常常数数， b为为任任意意常常数数 高等数学高等数学思思考考题题 高等数学高等数学 三、三、 全微分全微分 1、全微分的定义、全微分的定义 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则v 基本要求基本要求 理解多元复合函数的概念；理解多元复合函数的概念； 掌握求多元复合函数偏导数的链导法则，并会求掌握求多元复合函数偏导数的链导法则，并会求多元复合函数（包括抽象函数）的偏导数。多元复合函数（包括抽象函数）的偏导数。v 重点重点 多元复合函数偏导数的链导法

25、则多元复合函数偏导数的链导法则 高等数学高等数学z u x y y 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学几几种种常常见见类类型型复复合合函函数数求求导导法法则则: z u v w x y 高等数学高等数学x y u v w 高等数学高等数学z u x x y 高等数学高等数学 高等数学高等数学z u v x 高等数学高等数学 高等数学高等数学v 基本要求基本要求 理解多元隐函数的概念；理解多元隐函数的概念； 掌握求多元复合函数偏导数的运算方法。掌握求多元复合函数偏导数的运算方法。v 重点重点 多元隐函数偏导数运算多元隐函数偏导数运算 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学

26、高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 思考题思考题： 高等数学高等数学一、一、多元函数的极值多元函数的极值 二、二、二元函数的最大值与最小值二元函数的最大值与最小值 三、三、条件极值条件极值 第六节第六节 多元函数的极值多元函数的极值 高等数学高等数学v 基本要求基本要求 理解多元函极值数的概念；理解多元函极值数的概念； 掌握二元函数极值的求法（限于两个偏导数存在的掌握二元函数极值的求法（限于两个偏导数存在的条件下）。条件下）。v 重点重点 二元函数极值的求法；二元函数极值的求法； 实际问题中多元函数的最大值和最小值，条件极值。实际问题中多元函数的最大值和最小值，条件

27、极值。 掌握多元函数最大值和最小值的求法及其实际应用。掌握多元函数最大值和最小值的求法及其实际应用。 高等数学高等数学 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 高等数学高等数学O x y zx y z 1 1 O 高等数学高等数学 高等数学高等数学y x z O 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学二、二元函数的最大值与最小值二、二元函数的最大值与最小值 高等数学高等数学 高等数学高等数学O y x 4 4 4 y x 高等数学高等数学 高等数学高等数学x y z 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 三、条件极值三、条件极值

28、高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学思思考考题题 高等数学高等数学 第七节第七节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 v 基本要求基本要求 理解二重积分的概念和几何意义；理解二重积分的概念和几何意义； 了解二重积分的基本性质。了解二重积分的基本性质。v 重点重点 二重积分的概念和几何意义二重积分的概念和几何意义 高等数学高等数学1 1. .引引例例: :曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 一、二重积分的概念一、二重积分的概念 高等数学高等数学xzOyDi( ,)ii ( ,( , )iiif 高等数学高等数学 高等数学高等数学 高等数学高等数学2 2二重积分的

29、概念二重积分的概念 高等数学高等数学 高等数学高等数学3 3二重积分的性质二重积分的性质 高等数学高等数学 高等数学高等数学第八节第八节 二重积分的计算二重积分的计算一、一、利用直角坐标计算利用直角坐标计算 二、二、利用极坐标计算利用极坐标计算 v 主要内容主要内容v 基本要求：基本要求： 会计算较简单的二重积分会计算较简单的二重积分v 重点：重点： 二重积分的计算二重积分的计算三、三、二重积分应用举例二重积分应用举例 高等数学高等数学 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 y x O x abD 1（ ）yy x2（ ）yy x (a) (a) xyzOab0 x1（ ）

30、yy x2（ ）yy x0（ ）S x0（ ， ）zf xy（）（） 高等数学高等数学 高等数学高等数学上式也可简记为 高等数学高等数学 Dyxyxfdd),(21( )( )d( , )ddxycxyyf x yxO y x ) ( 2 y x x x ) ( 1 y x c d D 河北机电职业技术学院 高等数学高等数学（2 2）用公式或时）用公式或时, ,要求要求 D分分别满足别满足: :平行于平行于 y轴或轴或 x轴的直线轴的直线与与 D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点. .如果如果D不满足这个条件，则需把不满足这个条件，则需把 D分割分割成几块成几块( (见右图见右图),),

31、然后分块计算然后分块计算; ; ( (3 3) )一一个个重重积积分分常常常常是是既既可可以以先先对对 y积积分分( (公公式式) ), ,又又可可以以先先对对 x积积分分( (公公式式) ), ,而而这这两两种种不不同同的的积积分分次次序序，往往往往导导致致计计算算的的繁繁简简程程度度差差别别很很大大, ,那那么么，该该如如何何恰恰当当地地选选择择积积分分次次序序呢呢? ?我我们们结结合合下下述述各各例例加加以以说说明明. . 化二重积分为累次积分时化二重积分为累次积分时, ,需注意以下几点：需注意以下几点：（1 1）累次积分的下限必须小于上限）累次积分的下限必须小于上限; ; Oy x D

32、 高等数学高等数学Dyxxydd211120001dd()2xxxy yxy2411200111(1)d().22248xxxxxO y x D 1 1 x 高等数学高等数学O y x D 2 y x 2 y x 1 2 ) 1 , 1 ( A ) 2 , 4 ( B 高等数学高等数学O yxD 1D2D14(1, 1)A(4,2)B2yxyxyx 高等数学高等数学xyO1yxD13011(1)34xdx 注：注：此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。 高等数学高等数学yxOyx2yxD 注：注：此题若选择另一种积分次序，会出现“积不出来”的积分。 高等数学高等数学1. 1. 极坐标系

33、下的面积元素极坐标系下的面积元素 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分O x d q d r r d q d q 高等数学高等数学(a)(a) 2.2.极坐标系下化二重积分为累次积分极坐标系下化二重积分为累次积分 (b)(b) O x b a ) ( 1 q r r ) ( 2 q r r O x q ) ( q r r 高等数学高等数学0q2, ,0 rqcos2R, , y x O q D q cos 2 R r R 2 高等数学高等数学 高等数学高等数学2 y x 1 O 高等数学高等数学x y O D 4 z 高等数学高等数学 高等数学高等数学思考题思考题: 高等数学高等数学三