第5章 平面弯曲梁的内力教学课件

1、第5章 平面弯曲梁的内力弯曲的概念5.1平面弯曲梁的内力剪力与弯矩5.2剪力图与弯矩图5.35.1 弯曲的概念5.1.1 梁的平面弯曲杆件的轴线在外力作用下由直线变为曲线，这种变形通常称为弯曲变形，简称为弯曲弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁梁。楼板梁桥梁结构中的梁单位长度的挡土墙5.1 弯曲的概念梁横截面一般都存在纵向对称轴纵向对称轴，如图中的y轴。纵向对称轴与梁轴线所组成的平面称为纵向对称面纵向对称面。如果作用在梁上的所有外力(或外力的合力)均作用在梁的纵向对称面内，则梁变形后的轴线是位于梁的纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲。5.1 弯曲的概念5.1.2 梁的分类梁

2、在两支座之间的部分称为跨跨，其长度称为跨长或跨度。常见的静定梁大多是单跨的，根据支座的形式，单跨静定梁一般有三种类型三种类型。简支梁：梁的一端为活动铰支座，另一端为固定铰支座，如图(a)；悬臂梁：梁的一端为固定端支座，另一端为自由端，如图(b) ；外伸梁：一端或两端伸出支座以外的简支梁，如图(c) 、(d) 。5.2 平面弯曲梁的内力剪力与弯矩5.2.1 梁的内力分析0yFS0FFSFF0CM0MF xMFx用截面法分析梁的内力：由平衡条件可知，横截面1-1上必有维持左段平衡的横向力FS和力偶M。5.2.2 剪力与弯矩FS - 剪力： 横截面上切向分布内力分量的合力。M - 弯矩： 横截面上法

3、向分布内力分量的合力偶矩。5.2 平面弯曲梁的内力剪力与弯矩剪力和弯矩的正负号规定：剪力和弯矩的正负号规定：凡剪力对所取微元段梁内任一点的力矩是顺时针转向时为正，反之为负；凡弯矩使所取微元段梁产生上凹下凸弯曲变形的为正，反之为负。5.2 平面弯曲梁的内力剪力与弯矩【例5.1】如图所示简支梁AB，在D点处作用一集中力F，求梁中点处截面 上的剪力和弯矩。【解】：求支座反力0BM34AyFF0yF4ByFF求m-m截面上的剪力和弯矩假想地沿截面m-m将梁AB截成两段，取左段为研究对象0yFS304FFFS14FF 0oM30424llFFM8FlM 若取右段为研究对象，可以求得同样的结果。5.2 平

4、面弯曲梁的内力剪力与弯矩剪力与弯矩的计算规律：剪力与弯矩的计算规律：梁任一横截面上的剪力，其数值等于该截面的任一侧（左侧或右侧）梁上所有横向外力的代数和。截面左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力为正；反之为负。梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面的任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对截面形心的力矩的代数和。截面左侧梁上的外力对该截面形心之矩为顺时针转向，或截面右侧梁上的外力对该截面形心之矩为逆时针转向为正；反之为负。应用这些规律求梁横截面上的剪力和弯矩时，可不列出平衡方程，直接根据该截面左侧或右侧梁上的外力求解。5.2 平面弯曲梁的内力剪力与弯矩【例5.2】如图所示简支梁AB，在D点处作用一

5、集中力F，用求剪力、弯矩的规律直接根据截面左侧或右侧梁上的外力来确定 截面上的剪力和弯矩。【解】：求支座反力34AyFF4ByFF求m-m截面上的剪力和弯矩取m-m截面左侧梁为研究对象，根据左侧梁上外力，即可直接写出：S344FFFF 34248llFlMFF取m-m截面右侧梁为研究对象，根据右侧梁上外力，即可直接写出：S=4FF428FlFlM 一般的做法是看哪一侧梁上的外力比较简单，即取哪一侧梁为研究对象。5.3 剪力图与弯矩图5.3.1 利用内力方程绘制剪力图和弯矩图梁横截面上的剪力与弯矩值随截面位置变化。将梁内各截面的剪力和弯矩表示为横截面位置x的函数，即剪力方程和弯矩方程：SS( )

6、FF x( )MM x梁各横截面上的剪力FS和弯矩M沿梁轴线的变化情况用图示的方法表示。以平行于梁轴线的x坐标表示横截面的位置，以垂直于梁轴线的坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩值，利用剪力方程和弯矩方程，绘出梁各横截面上的剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图线，这样的图线分别称为剪力图和弯矩图。u 绘图时将正值剪力画在x轴上侧，负值剪力画在x轴下侧；u 正值弯矩画在x轴下侧，负值弯矩画在x轴上侧，即弯矩图总是画在梁纵向纤维受拉的一侧，在弯矩图上一般不必再标注正、负号。5.3 剪力图与弯矩图【例5.3】如图所示悬臂梁，受均布荷载q作用。试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。【解】：求剪

7、力方程和弯矩方程S()(0)Fxqxxl2( )(0)22xqxM xqxxl 绘制剪力图和弯矩图由剪力方程和弯矩方程可知，剪力图和弯矩图分别为在 范围内的斜直线和二次抛物线。根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图，如图所示。由剪力图和弯矩图可知，在固定端A右侧横截面上的剪力和弯矩均为最大，分别为SmaxFql2max2qlMlx 05.3 剪力图与弯矩图【例5.4】如图所示简支梁AB受均布荷载q作用。试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。【解】：求支座反力由梁AB的平衡方程，可求得0( )( )22AxAyAyqlqlFFF，求剪力方程和弯矩方程S( )(0)2AyqlF

8、xFqxqxxl2( )(0)222AyxqlqM xF xqxxxxl绘制剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。2max8qlMSmax2qlF5.3 剪力图与弯矩图【例5.5】如图所示简支梁AB在C点处受集中力F作用，试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。【解】：求支座反力由梁AB的平衡方程，可求得0( )( )AxAyAyFbFaFFFll，求剪力方程和弯矩方程S( )()AyFbF xFFFlFaaxll ( )()() ()AyM xF xF xaFbxF xaaxllAC段：S( )(0)AyFbF xFxal( )(0)AyFbM xF xxxa

9、lCB段：5.3 剪力图与弯矩图【例5.5】如图所示简支梁AB在C点处受集中力F作用，试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。【解】：绘制剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。由图可知，在ab的情况下，梁AC段的任一截面上的剪力值为最大；而在集中力F作用点处的横截面上的弯矩值为最大。SmaxmaxFbFabFMll，在集中力作用处，其左、右两侧截面上的剪力值有突变，突变值等于集中力的值。5.3 剪力图与弯矩图【例5.6】如图所示简支梁AB在C点处受集中力偶Me，试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。【解】：求支座反力由梁AB的平衡方程，可求得ee

10、0( )( )AxAyAyMMFFFll ，求剪力方程和弯矩方程eS( )()AyMF xFaxllee( )() ()AyMM xF xMx lxaxll AC段：eS( )(0)AyMF xFxale( )(0)AyMM xF xxxalCB段：5.3 剪力图与弯矩图【例5.6】如图所示简支梁AB在C点处受集中力偶Me，试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。【解】：绘制剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。由图可知，在ab的情况下，集中力偶作用处的右侧截面上弯矩值为最大；在集中力偶作用处，其左、右两侧截面上的剪力没有变化。emaxM bMl在集中力偶作用处

11、，其左、右两侧截面上的弯矩值有突变，突变值等于集中力偶的值。5.3 剪力图与弯矩图5.3.2 利用剪力、弯矩与荷载间的关系绘制剪力图和弯矩图取出微段dx，分布荷载的集度q(x)以向上为正值。0yFSSS( )( )d( )d( )0F xq xxF xF xSd( )( )dF xq xx0CM2S1( )d( )( )( )d( )d02M xM xM xF xxq xxSd( )( )dM xF xxSd( )( )dF xq xxSd( )( )dM xF xx22d( )( )dM xq xx上式称为剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系式，它们有助于校核和绘制剪力图和弯矩图。5.3 剪

12、力图与弯矩图根据弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系，可以得出剪力图与弯矩图的一些规律：梁上某段无荷载作用(q=0)时，该梁段的剪力FS为常数，剪力图为水平线； 弯矩M为x的一次函数，弯矩图为斜直线。梁上某段受均布荷载作用(q为常数)时，该梁段的剪力FS为x的一次函数， 剪力图为斜直线；弯矩M为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。在剪力 FS =0处，弯矩图的斜率为零，此处的弯矩为极值。在集中力作用处，剪力图有突变，突变值即为作用于该处集中力的值； 此处弯矩图的斜率也发生变化，所以弯矩图在这里有一折角。在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值即为作用于该处集中力偶的 值；剪力图没有变化，在集中力

13、偶作用处两侧剪力值相同。5.3 剪力图与弯矩图5.3 剪力图与弯矩图求支座反力；根据梁上荷载和支承情况将梁分为若干段，集中力和集中力偶作 用处、分布荷载的起点和终点、梁的支承处以及梁的端面均视为 分段点；根据各段梁的荷载情况，确定各段剪力图和弯矩图的形状；根据各段剪力图和弯矩图的形状，求出有关控制截面上的剪力值 和弯矩值，逐段绘制梁的剪力图和弯矩图。利用内力图的规律，不仅有助于检查剪力图和弯矩图的正确性，还可以更加简捷而迅速地作出剪力图和弯矩图。其步骤如下：5.3 剪力图与弯矩图【例5.7】简支梁AB受力如图所示，试作该梁的剪力图和弯矩图。【解】：求支座反力060kN( )60kN( )AxA

14、yAyFFF，作剪力图分段： AC、CD、DB三段初步判断各段图形形状： AC段：；CD段：； DB段： C点处FS图突变F=40kN。求控制截面上的剪力RS60kNAAyFFRS60kN40kN20kNCAyFFFRSS20kNDCFFLS60kNBByFF 作图：以直线连接各控制截面上剪力的坐标，作出剪力图5.3 剪力图与弯矩图【例5.7】简支梁AB受力如图所示，试作该梁的剪力图和弯矩图。【解】：作弯矩图分段： AC、CD、DB三段初步判断各段图形形状： AC段： ；CD段： ； DB段： D点处M图突变Me=80kNm。求控制截面上的弯矩L4m2m160kN mDAyMFF0AM2m12

15、0kN mCAyMF0BMRe4m2m80kN mDAyMFFME截面剪力FSE=0，由相似三角形的比例关系有20:60=DE:EB，得EB=3m。 E截面弯矩即为极值弯矩，其值为:3m3m 1.5m60kN 3m20kN/m 3m 1.5m90kN mEByMFq5.3 剪力图与弯矩图【例5.7】简支梁AB受力如图所示，试作该梁的剪力图和弯矩图。【解】：作图以直线连接MA、MC和 的坐标，可得AC及CD段的弯矩图；按下凸的二次抛物线将 、ME和MB的坐标相连，即可得DB段的弯矩图。确定|FS|max， |M|maxLDMRDM由剪力图可知，|FS|max=60kN，发生在A点稍右至C点稍左区

16、间和B点稍左截面上。由弯矩图可知：|M|max =160kNm，发生在D点稍左截面上。5.3 剪力图与弯矩图5.3.3 叠加法作梁的弯矩图应该注意，弯矩图的叠加，是指弯矩图纵坐标的叠加。叠加法作梁的弯矩图采用的是叠加原理。叠加原理是指梁受多个荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩等于梁在各个荷载单独作用下同一横截面上弯矩的代数和。5.3 剪力图与弯矩图【例5.8】试用叠加法作如图所示简支梁的弯矩图。【解】：将梁上作用的荷载分解为集中力单独作用和集中力偶单独作用。将梁上作用的复杂荷载分解为简单荷载绘制梁在简单荷载作用时的弯矩图利用叠加原理绘制弯矩图p 本章小结 平面弯曲是指作用在梁上的所有外力（或外力的合力）均作用在梁的纵向对称面内，梁变形后的轴线仍位于梁的纵向对称面内。 单跨静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁和外伸梁。 平面弯曲梁横截面上的内力有剪力 和弯矩 。利用求剪力和弯矩的规律，不用列出平衡方程，可直接根据某截面左侧或右侧梁上的外力求解该截面的剪力和弯矩。 绘制剪力图和弯矩图可利用的方法有：剪力方程和弯矩方程；剪力、弯矩和分布荷载集度间的微分关系；叠加原理。