第7章 平面弯曲梁的变形与刚度计算教学课件

1、第7章 平面弯曲梁的变形与刚度计算梁的挠曲线近似微分方程7.1积分法求梁的变形7.2叠加法求梁的变形7.3梁的刚度计算7.4简单超静定梁的计算7.57.1 梁的挠曲线近似微分方程如图所示简支梁，在集中力作用下产生平面弯曲变形，其轴线由直线变为平面曲线。弯曲变形后的轴线仍在梁的纵向对称平面内，是一根光滑的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。梁的变形，可以用梁中各个横截面的位移来度量。横截面形心在v方向的线位移，称为该截面的挠度，用v表示。横截面绕其中性轴转过的角度，称为该截面的转角，用表示。规定：挠度向下为正；转角以顺时针转向为正。挠度和转角可作为度量梁变形的两个基本量。7.1 梁的挠曲线近似微分方

2、程一般情况下，梁的各横截面的挠度、转角是不相同的，挠度、转角均为x的函数：( )vv x( ) x挠曲线方程转角方程tandvvdx 小变形条件下横力弯曲梁（l 10h) 仍有1MEI1( )( )M xxEI平面曲线的曲率在数学上可写作 3/2211vxv 纯弯曲梁的曲率为7.1 梁的挠曲线近似微分方程由于梁的变形很小，挠曲线很平坦，v2可略去，挠曲线近似微分方程： M xvEI 在图示坐标系中,负弯矩对应于正值v，正弯矩对应于负值的v，故式中有一负号。1( )( )M xxEI 3/2211vxv 7.2 积分法求梁的变形 M xvEI 对等直梁，EI=常数 dEIEIvM xxC ddE

3、IvM xxxCxD 转角方程挠度方程0,0,0 xvv0,0,0 xvxlv若梁上的荷载不连续，梁的弯矩方程需分段写。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的边界条件外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。1212,xavvvv a7.2 积分法求梁的变形【例7.1】如图所示的等截面悬臂梁，受均布荷载q作用，设EI为常数。求梁自由端B截面的挠度和转角。【解】：求梁的挠曲线近似微分方程求梁的转角方程和挠度方程求B截面的挠度和转角22( )(0)22qlqxM xqlxxl22( )1( )()22M xqlqxv xqlxEIEI 2231(

4、)( )()226qlxql xqx xv xCEI 32241( )()6424qlxql xqxv xCxDEI 确定积分常数0 x (0)0v(0)0v0C 0D xl3( )6Bql lEI4( )8Bqlvv lEI7.2 积分法求梁的变形【例7.2】用积分法求如图所示简支梁C截面的挠度vC和转角C。【解】：求梁的挠曲线近似微分方程求梁的转角方程和挠度方程AC段0 xl 14qlMxx 1114MxqlvxxEIEI CB段2lxl 2242qlqMxxxl 2221142MxqlqvxxxlEIEIEI AC段CB段 21111( )8ql xvxxCEI 3111124qlvxx

5、C xDEI 3222211( )86qlqxvxxxlCEIEI 43222112424qlqvxxxlC xDEIEI 7.2 积分法求梁的变形【例7.2】用积分法求如图所示简支梁C截面的挠度vC和转角C。【解】：求C截面的挠度和转角确定积分常数边界条件：0 x 100v2xl220vl 变形连续条件：xl 12v lvl 12v lvl代入，得312748qlCCEI120DD3321784848CqlqlqllEIEIEI 343175244848CqlqlqlvllEIEIEI xl7.3 叠加法求梁的变形从积分法计算梁的变形可知，在梁的变形微小并且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的

6、变形与作用于梁上的荷载成线性关系。当梁上同时受到多个荷载作用时，每个荷载引起的梁的变形不受其它荷载的影响。梁的变形满足线性叠加原理，即：在多个荷载共同作用时引起的梁的变形，等于各个荷载单独作用时引起的梁的变形的代数和。在简单荷载(集中力，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的表7.1中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。7.3 叠加法求梁的变形梁的简图梁端截面转角最大挠度BMlEI22BMlvEI22BFlEI33BFlvEI36BqlEI48Bql

7、vEI324ABqlEI 45384BqlvEI3BMlEI 2/216lMlvEI6AMlEI3/248lFlvEI216ABFlEI 7.3 叠加法求梁的变形【例7.3】简支梁如图所示。试用叠加法求跨中C截面的挠度和支座B截面的转角，设EI为常数。【解】：将梁上荷载分解为均布荷载q和集中力偶Me两种简单荷载根据叠加原理查表得45384CqqlvEI324BqqlEI 241616eeCMM lqlvEIEI333eeBMM lqlEIEI 44452938416384eCCqCMqlqlqlvvvEIEIe2233q-2438BBqBMqlMllEIEI 7.3 叠加法求梁的变形【例7.4

8、】试用叠加法求如图所示悬臂梁C截面的挠度vC，已知EI为常数。【解】：先将梁上均布荷载延长至梁的左端，并在延长段上增加等值反向的均布荷载，再将受力分解为两种情况根据叠加原理查表得418CqlvEI442( )28128BlqqlvEIEI 332( )2648BlqqlEIEI 43422272128482384CBBlqlqllqlvvEIEIEI 444127418384384CCCqlqlqlvvvEIEIEI7.4 梁的刚度计算在梁的设计中，不仅要求梁有足够的强度，还要求梁有足够的刚度，即要把梁的变形控制在工程许可的范围内。在土木工程中，通常对梁的挠度加以限制，例如房屋或桥梁结构中的梁

9、若挠度过大，均会影响其正常使用。梁的刚度条件为：式中：l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)。maxvfllfl7.4 梁的刚度计算【例7.5】承受均布荷载的工字钢梁如图所示。跨长l=6m，均布荷载q=10kN/m，钢材的许用应力=160MPa，弹性模量E=2105MPa， 。试选择工字钢型号。【解】：选择工字钢型号校核梁的刚度1200fl22max1110kN/m (6m)45kN m88Mql 3433max645 10 N m2.81 10 m281cm160 10 PazMW查附录型钢规格表，选用22a号工字钢3309cmzW 43400cmz 4max5384qlvEI

10、33max568455 10KN/m (6m)11384384 2 1010 Pa3400 10 m242400vqlflEIl 所以，选用22a号工字钢可满足强度和刚度要求。7.5 简单超静定梁的计算与轴向拉（压）、扭转超静定问题相仿，在超静定梁中，同样存在多余约束。求解超静定梁时，除列出梁的平衡方程外，还要由梁的变形条件和物理关系得到补充方程，与平衡方程联立求出所有的未知力。7.5 简单超静定梁的计算【例7.6】求图示超静定梁的约束力。设EI为常数。【解】：该梁为一次超静定梁，可将B处的可动铰支座视为多余约束，FB 视为多余约束力。代入得0BBBqBFvvv变形协调条件48BqqlvEI33BBBFF lvEI 38BFql利用静力平衡条件得查表得0AxF5( )8AyFql28AqlM（ ）p 本章小结 梁的变形用横截面的挠度v和转角来衡量。挠度向下为正；转角以顺时针转向为正。在小变形条件下，转角很小，转角与挠度的关系为： 积分法是计算梁变形的基本方法，用到梁的挠曲线近似微分方程，其表达式为： 积分一次得转角方程为 积分两次，得挠曲线方程为 积分常数C、D利用梁的边界条件和变形连续条件确定。tanv( )M xvEI 1( )vM x dxCEI 1( )vM x dx dxCxDEI p 本章小结 叠加法在工程计算中有实用意义，梁的变形（挠度v和转