质数,合数与分解质因数练习

1、质数、合数与分解质因数一、教学建议【抛砖引玉】通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、合数、质因数和分解因数的概念，并能运用概念进行判断，会把自然数按约数个数分类，能正确地把一个合数分解质因数。培养学生观察、比较、抽象概括能力。（一）教学质数与合数教学质数与合数要注意抓住以下四点1,从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手，引出质数和合数的概念。要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、抽象、概括得到清晰、准确的质数与合数概念。例如：先说出下面各数的约数，再观察比较：哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？1、2、3、4、5、6、7、8,1

2、9、20只有1个约数的自然数有1有两个约数（1和它本身）自然数有2、3、5、7、11、13、17、19有两个以上约数的自然数有4、6、8、9、12、14、15、16、18、20通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念。即一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。通过只有两上以上约数的自然数观察、比较、抽象概括出合数概念。即一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。2 .要明确“1”为什么既不是质数？也不是合数？“1”不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受。“1”不是质数，按质数定义去解释有些学生想不通。原因是受“一个自然数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1,

3、最大的约数是它本身”这句话的影响，认为1有两个约数其中最小的约数是1,最大的约数还是1,所以“1”有两个相同的约数。学生这样理解是有一定道理的。这时老师要指出，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数。3 .自然数的分类(1) 按自然数约数的“个数”这个标准分类，则自然数可分为三类。即质数、合数和1三类。自然数自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的。(2) 按每个自然能否被2整除分类，则把自然数分两类。即奇数和偶数。自然数(奇数逑)自

4、然数是无限的。所以奇数和偶数的个数也是无限的。4.运用质数、合数概念，判断一个数是质数还是合数。可以加深学生对质数、合数的理解。例如：下面哪些数是质数？哪些是合数？19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54通过检查各数约数的个数，可以知道：21、87、35、38、72、54是合数19、43、67、89、97是质数判断一个数是质数还是合数，一般有三种方法：(1) 如上述方法就是检查每个数约数的个数，根据质数、合数的定义进行判断；(2) 查质数表；(3) 用试除的方法。记住20以内2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数，试除时，看这个数除了1和它本身以外，能否被

5、其他数整除。若能则是合数；若不能则是质数。为了迅速判断一个数是质数还是合数，能够根据2、3、5整除数的特征进行判断尽量运用特征判断。如判断237980这个数，它是质数还是合数。(因为这个数个位上是0,因此这个数除了1和它本身外，至少还有一个约数2,所以这个数是合数。)对于数较大，不能直接看出它是质数还是合数的就用试除法。比如判断91是质数还是合数。可以用91+7=13,91能被7整除，可以断定91是合数。(二)教学分解质因数要注意以下三个问题。L切实掌握质因数、分解质因数的概念例如；把12、35,42、72写成几个质数相乘的形式.可以这样想，先利用乘法口洪写出乘法式子，再变为几个质数相乘的形式

6、.35-5X772/42=2X3X7Sxg/2X4X3X3/2X2X2X3X372=2X2X2X3X3通常要按质数的大小，从小到大写成相乘的形式.从上面的例子可以看出，任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数.把一个台数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如；12=2X2X3叫做把12分解质因窕2.掌握分解质因数的两种方法分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。把一个合数分解质因数有两种方法。一种是利用乘法口诀分解质因数。例如：直接把下面各数分解质因数。21、34、52、28、60、75、90解答时可以这样想：先把这个合数分解成两个因数相乘的形式，如

7、果两个因数都是质数,就算分解完了；如果因数中还有合数，还要继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。（如课本P59例2）这是分解质因数的最基本方法。另一种是用短除法分解质因数。用短除法分解质因效，应注意除数一定是质效，并且一般是按照质数从小到大的II顺序,看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到得出的商是质数为止-然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。比如240=2X2X2X2X3X5工能灵活地应用质敏、合数、分解质因数等概念，进行一些判断.目的是巩固所学知识.比如工(D质数都是奇数.(X)Q)合数都是偶数.(X)(3)除2以外，所有质数都是奇数.(7)(4)4是自然数中最小的台数.

8、324分解质因数可以写成24=1X2X3X4,(X)【指点迷津】1什么叫啼法？怎样用麻法编制1QO以内的质数表筛法是用来寻找不超过自族数N(N>1)的所有修数的一种方法。这种方法是由公元前三世纪的古希腊学者埃拉托斯特尼发明的，所以又叫做埃拉托斯特尼筛.埃拉托斯特尼把数写在涂了一层蜡的纸上，在写着合数的地方用针刺上一个小孔,剩下的都是质数。而这块涂蜡的纸被刺成筛子一样，因此这种求质数的方法就叫筛法。怎样用筛法编制100以内的质数表呢？在自然数中第一个数是1,它既不是质数也不是合数，把它除外。第二个数是2,它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。紧靠2后面没被划掉的是3,3是质数，把它保留

9、，并且把3所有的倍数划掉。紧靠3后面的是5,5是质数，把它保留，并且把5的倍数都划掉,，用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。2 .质数、因数、质因数、分解质因数有什么不同？一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数。它是1个独立存在的数。比如17是质数，因为它只有1和17两个约数。在乘法中，被乘数和乘数都叫因数。例如：2X3=6,2和3是6的因数。6的两个因数2和3,同时又都是质数。因此，我们把2和3又叫做6的质因数。每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相

10、乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：36=2X2X3X340=2X2X2X5其中2、2、3、3是36的质因数；2、2、5是40的质因数。因数与积相关联，因数不能单独存在。比如2和3是6的因数，而不能说2和3是因数,必须说明是谁的因数。因数可以是质数也可以是合数(如5X6=30,其中6就是合数)，而质因数，要求因数本身还必须是质数。比如30=2X3X5,30的三个因数都是质数。所以可以说30的质因数是2、3和5。3 .在分解质因数时，要防止发生以下几种错误。(1)没有坚持一直用质数作除数，因此造成分解式中出现合数。如把280分解质因数。(，殳有坚持一直用质数作除数，因此造成分解式中出现合数.

11、如把280分解质因数04 1405 |357280=2X4X5X7(2)没有分解到商也是质数,造成分解式中出现合数.2I2302p402|70280=2X2X2X35(3)在分解式中有,丫出现.2I2802(1402F70-5T35-7T1H-230=2X2X2X5X7X10)把分解式写成乘积式(即写反)12X2X2X5X7=2802把下面各数分解而因数，并说出分解质因效的方法.544960842 |547|492|d0_2|843 a12|302也3p-49=7X73153|2135- 754=2X3X3X360=2X2X3X554=2X2X3X7二、学海导航【思维基础】1 .说出什么叫质数

12、？什么叫合数？并判断下面各数哪些是质数，哪些是合数。3、27、41、6、11、19、69、57、97一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）一个数如果除了1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数。质数有：3、41、11、19、97。合数有：27、6、69、57。把一个合数分解质因数，先用一个能除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数；就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。3.判断下面的说法对吗？正确的画“，”，错的画“X”。（1） 在自然数中除了质数就是

13、合数。（）（2） 一个合数至少有3个约数。（）（3）3和5是质因数。（）解：（1）（X）即不对。因为自然数按约数个数分三类。就是自然数包括质数、合数和1。而这种说法显然把自然数按这样的分类标准分了两类，丢掉了“1”这一类。（2） （，）即对。因为合数的定义是一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫合数。这里的“还有别的约数”的意思至少有1个约数。至少这1个约数再加上1和它本身的两个约数就是至少3个约数。因此这种说法是正确的。（3） （X）即错。3和5都是质数。质因数是与积相关联，它不能单独存在。质因数，要求因数本身还必须是质数。比如15=3X5,3和5都是15的质因数。【学法指要】例1

14、.210=2X3X5X7,你能从这个式子中知道210除了有约数1以外，还有哪些约数吗？分析：凡是能被210整除的数都是210的约数。怎样才能做到找准、找全呢？那就要分类找。一类是显露的约数即2、3、5、7四个约数。另一类是隐含约数。这一类先找全两个因数的积。即（2X3）（2X5）、（2X7）、（3X5）、（3X7）、（5X7）;再找全三个因数的连乘积。即（2X3X5）、（2X3X7）、（3X5X7）、（2X5X7）;最后找四个因数的积。即（2X3X5X7）。这样分类找210除了约数1外，其它15个约数就能找全了。解：210除约数1外的约数有2、3、5、7、6、10、14、15、21、35、30

15、、42、105、70、210。例2.4500的约数共有多少个？分析：可以利用积与因数的关系，一对对找出4500所有约数，然后再数出它们共有多少个就行了。但是，因为4500数很大，用这种方法做很麻烦，而且往往会遗漏，借助于分解质因数的方法求较大数约数的个数比较简捷比如，40共有多少个约数，用分解质因数的方法如何求40约数的个数算理与算法。40=2X2X2X5,从23来看，40的约数数中存在1、2、22、23四种情况，即1、2、4、8;再从5来看，存在1和5两种情况。若把两者结合起来看，即用1、2、4、8分别去乘1和5,是可得到40的所有8个约数：1、2、4、8、5、10、20、40。仔细观察，不

16、难看出这四种情况的“4”与两种情况的“2”，正好等于40的每个质因数的指数加上“1”，即是：(3+1)X(1+1)=8。这就是说：一个大于1的整数约数的个数，等于它分解质因数式子中每个因数的指数加“1”和连乘积。掌握了这条规律，再求一个数的约数就容易了。解：因为4500=2X2X3X3X5X5X5=22X32X53而(2+1)X(2+1)X(3+1)=36所以4500的约数共有36个。例3.一个长体的3个面积分别为S1=20平方厘米，3=15平方厘米，8=12平方厘米。求这个长方体的体积是多少立方厘米？分析：自糠根据长方体6个面的特征，我们知道：每个长方体的6个面中，有三组对面，每组对面的面积

17、分别相等。已知三个面的面积都相等由此可知这三个一定是相邻面，且相交于一个顶点。(如图)假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,S1=ab=20,Sa=ac=15,S=bc=12,求长方体的体积，必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。但长、宽、高都没有直接给。但长、宽、高中两两相乘的积我们知道。如果把每两个数的乘积再相乘，里面一定有三个数的积。即abxacxbcx=(abc)2,则abc就是长方体的体积。那么3个面积乘积怎样分成两个相同数相乘呢？就要把这几个相乘的数都分解质因数。解：20X15X12=2X2X5X3X5X2X2X3=(2X2X5X3)X(2X2X5X3)=60X60所以ab

18、c=60答：这个长方体的体积是60立方分米。【思维体操】1 .有4个学生，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们的年龄乘积是5040。他们的年龄各是多少？解：5040=2X2X2X2X3X3X5X7=(2X2X2)X(2X5)X(3X3)X7=7X8X9X10答：他们的年龄分别为7岁、8岁、9岁、10岁。评析：这道题的解题思路是根据题中给出的这四个学生“年龄恰好一个比1个大1岁”，可知这四个学生的年龄是从小到大排列的四个连续的自然数。由“他们年龄的乘积是5040”，可以想到只要把5040分解质因数就一定能从中找出四个连续的自然数，也就是这四位学生的岁数。因此解答这道时，先把5040分解质因数，再

19、将5040转化为四个连续自然数的积，这四个数就是4个学生的年龄。2 .一位教师带领全班学生去搬桌椅，学生恰好分为三组，如果老师和学生每人所搬桌椅一样多，若搬了884套，每人搬多少套？解：884=2X2X13X17=52X17=34X26生师t个=(51+1)X17生师小小-(33+1)X26答：如果这个班的学生人数是51人时，则每人搬17套桌椅；如果这个班的学生人数是33人时，则每人搬26套桌椅。评析：根据题意此题有两解，学生往往答成一解。根据“学生恰好分成3组，可以确定学生人数是能被3整除的数，即符合实际班额人数目又是3的倍数的数均符合题意。根据“老师和同学搬的同样多，所以有：884=每人搬

20、的X(学生人数+1名老师)的数量关系。因此解题时先将884分解质因数，再转化为上述关系式的形式，问题所求就是其中的一个因数。3 .甲、乙、丙三人各将一根同样大小的木料切割成完全一样的两块小长方体后，甲说：表面积增加12平方分米；乙说：表面积增加20平方分米；丙说：表面积增加30平方分米。由于三人切割后木块的长、宽、高正好是整分米数，所以三人说法都正确，求原木料的体积和表面积。解：因为12+2=6,6=2X320+2=10,10=2X530+2=15,15=3X5所以原长方体一根木料的长、宽、高为5、3、2它的体积：5X3X2=30表面积：(5X3+5X2+3X2)X2=(15+10+6)X2=

21、31X2=62或12+20+30=62答：原长方体木料的体积为30立方分米，表面积为62平方分米。评析：这道题是一道活而不难的题。根据同样的木料，由于三人切法不同，因此增加的面积大小，也不相同。每切1刀增加两个相等的长方形，因此12平方分米、20平方分米、30平方分米分别是上、下面，左、右面，前、后面三组对面的面积和。把它们分别除以2就是相交于一个顶点每个面的面积。再把这三个面积数分别分解质因数就能求得这个长方体木料的长、宽、高，进而求出它的体积与表面积。而12+20+30是求表面积的最佳解法。三、智能显示【心中有数】本段知识主要内容,质敷质因数分解质因数自然数_1I合数不清匚【智能显示】1.

22、填空.(1)()这样的数叫做质数。(2)()这样的数叫做合数.(3)()叫做分解质因数。(4)把握,51、52、tSK7L87、9L97分别填入下面的括号里.()是奇数;()是偶数；()是质数()是合放.(5)最小的质数是(),最小的合数是(),()既不是质数也不是合数.(6)一个台数至少有()个约数.(7)把5。以内的质数埴入括号内(可以使用)，使等式成立.()+()+()=5L()+()+()=61()+()+()=7h()+()+()=81(&)在19这九个数中，质数有()，合敷有(),()不是质数.也不是合薮.(9)一个三位数，百位上是最小的质数，十位上是最小的自然数，个位上是

23、最小的合薮,这个三位数是().(1口)在北以内的自然数中，相邻的两个敌都是合数的有()和C),()和()，()和().2.判断正误。对的画"”，错的画“X”。把12分解质因数2X2X3=12() 12=1X2X6() 12=2X2X3()12=22X3()72=2X2X3X3()(2)1是所有自然数的约数。()(3) 所有的奇数都是质数。()(4) 所有的质数都是奇数。()(5) 两个质数相乘的积-一定是合数。()(6) 一个数的质因数都是质数。()(7) 所有的质数分别加上1,所得的和都是偶数。()(8)99=11X9,11和9都是99的质因数。()(9)根据90=2X3X3X5,

24、找出90的全部约数是1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。()(10)三个质数的连乘积是874,这三个质数的和是44。()3 .把下面各数分解质因数。102=182=44=111=4 .思考题。(1)10800的约数共有多少个？(2)四个小朋友年龄的乘积是360,且是连续的自然数。最大的一个小朋友几岁？【创新园地】1 .长方形的长10厘米，宽9厘米，把它分割成几种边长是整厘米的正方形。那么，至少可以分割成几种不同的正方形？在图上表示出来。2 .要使算式975X972X935X()的连乘积最后四位数字都是0,在括号内填的最小自然数应是几？3 .少年宫游乐厅里悬挂着200盏彩

25、灯，这些灯或亮或灭，变幻无穷，200盏彩夕T按1200编号，灯的亮灭变化规律是这样的：第1秒，全部灯变亮；第2秒，凡编号2的倍数的由亮变灭；第3秒，凡编号为3的倍数的灯改变原来的状态(即亮的变灭，灭的变亮)第4秒，凡编号为4的倍数的灯改变原来状态；这样继续下去,200秒为一个周期，那么第200秒，哪些灯是亮着的？至少可以分割成三种不同的正方形。即两个边长是5厘米的正方形；两个边长是4厘米的正方形；还有两个边长是2厘米的正方形。（如上图所示）2.975=5X5X3X13972=2X2X3X3X3X3935=5X11X17一个因数2和一个因数5相乘，积的末尾可以出现一个“0”，那么至少需要四个因数

26、2和四个因数5。从分解质因数我们发现一共有两个因数2和三个因数5,尚缺两个因数2和一因数5,因此括号内最小应填2X2X5=2003.自然数中第1,4,9,;都是两个相同的自然数的乘积，我们把这样的数叫做完全平方数，而其它的自然数就不是完全平方数，叫做非完全平方数。完全平方数的约数个数都是奇数个；比如1的约数是1;4的约数有1、2、4共有3个约数；9的约数有1、3、9,共有3个约数；36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个约数。非完全平方数的约数个数则不是奇数，而是偶数。原题中的第1秒时，灯全是亮的，那么原来都是灭的。变化了奇数次的灯都是亮的，变化了偶数次的灯都是灭白勺。那么我

27、们就看1200中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196共有14个，这些数的约数个数都是奇数个，因此编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这些灯都是亮的，当然，其它编号的灯都是灭的。四、同步题库1 .填空。（1） 在120的自然数中，最大的奇数是（），最小的偶数是（）；奇数中（）是合数，偶数中（）是负数；最小的合数是（），最小的质数是（）；（）既不是合数，又不是奇数。（2） 一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的自然数，个位上是最小的合数，其余数位上的数是0,这个数写作（）。（

28、3） 如果a=5b,而且a、b是两个不同的自然数，那么b一定是2的（）数。（4） 用三个比10小的质数组成一个三位数，使它同日能被3和5整除，组成的三位数有（）。（5） 有四张数字卡片，上面分别写有1、0、4、8,请抽三张卡片组成符合下列条件的数，并填在括号里。能同时被2和3整除的最大数是（）；能同时被3和5整除的最小数是（）；质数是（）；最大合数是（）。（6）20以内差为1的两个合数有（）和（），（）和（），（）和（），（）和（）共4对。（7）10以内（包括10）的数中，所有质数的乘积除以所有偶数的和，商是（）。（8） 一个两位数，它是质数。如果把它个位上的数字和十位上的数字变换位置后，仍是

29、一个质数。这样的质数有（），共（）个。2 .判断下面各题，在对的后面画“，”，在错的后面画“(1) 除了2以外，所有的偶数都是合数。()(2) 两个质数相乘的积不一一定是合数。()(3)A能被B整除，商一定是A的约数。()(4) 某数是2的倍数，这个数-一定是合数。()(5) 能被1和本身整除的数一定是质数。()(6) 边长是质数正方形，它的面积一定是合数。()(7) 在130这些自然数中共有10个质数。()(8)20的质因数有3个。()3 .下面的数，哪些是质数？哪些是合数？把合数分解质因数。23、91、803、507、221、204、111。4 .在()里填上适当的质数。10=()+()=

30、(二()一()30=()()=(=()+()42=()X()X(5 .把下面各数分解质因数。25=480=81=64=在括号里画，不表示分解质因数的，在括号里画360=121=6 .下面式了中，表示分解质因数的,“x”。(1)16=4X4()(2)56=2X4X7()(3)87=3X29X1()(4)120=2X2X2X3X5()(5)19X2=38()7 .下面分解质因故的题目做得对吗？把不对的改正过来.9614®-224-2TT231372-8X3X3962乂2父2然2然2><3乂1思考题1.下面的数字排列从自然数2开始，横向各排成行，纵向各数排成列.(1)口中的数是

31、()数，其余是()数.(2)国这一列中第一个不加口的数是().M这一列中第10个加口的数是(>.6121820212有三个质数，它们的乘积是1001,这三个质数各是几?3,把9、P0.300,分别分解质因数，你发现了什么？部分参考答案三、智能显示【智能显示】1 .填空。(1) 、(2)、(3)略(4) (51、61、71、87、91、97)是奇数；(2、52)是偶数；(2、61、71、97)是质数；(51、52、87、91)是合数。(5) 最小的质数是(2),最小的合数是(4),1既不是质数也不是合数。(6) 一个合数至少有(3)个约数。(7) (5)+(17)+(29)=51,(13)

32、+(17)+(31)=61(19) +(23)+(29)=71,(13)+(31)+(37)=81备注：答案不唯一(8) 在19这九个数中，质数有(2、3、5、7),合数有(4、6、8、9),1既不是质数也不是合数。(9) 这个三位数是(214)。(10) 在20以内的自然数中，相邻的两个数都是合数的有(8)和(9),(9)和(10),(14)和(15)2.(X)、(X)、(，)、(X)、(，)(2)(，)，(3)(X),(4)(X),(5)(，)(6)(，)，(7)(X),(8)(，)，(9)(，)，(10)(，)3 .把下面各数分解质因数。102=2X3X17182=2X7X1364=2X2X2X2X2X2111=3X374 .(1) 10800=2X2X2X2X3X3X3X5X5=24X33X52因为(4+1)X(3+1)X(2+1)=60所以10800的