空间中的垂直关系带答案

1、空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直:如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为,则称这两条直线互相垂直.、线面垂直：1 .定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的,则称这条直线和这个平面垂直.也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都.直线l和平面a互相垂直，记作l，a.2 .判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3 .点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1 .定义：如果

2、两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线,就称这两个平面互相垂直.平面a,3互相垂直，记作a_L3.2 .判定定理：如果一个平面经过另一个平面的,则这两个平面互相垂直.3 .性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1 .直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形2 .转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解3 .体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PL底面ABCDAB±ADACL

3、CDZABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD±AE;(2)PD,平面ABE.证明：(I)PA-底面ABCD,.PA-CD,又4JCD,PAnAC=A(故CD_平面PUC.又AE二平面PAC,，CD_4E.(ID由题意:ABxAD,日一平面P“D，从而口白一PD.又口B=BC,且上4B匚=6口口，AC=AB,从而AC=PA.又E为PC之中点，一AE_PC.由知：AE_CD,:.AE_平面PCD,MAE_PD.JABnAE-Aj故PD_平面口EE.【变式1】已知：正方体ABCD-A1B1C1D1,AA1=2,E为棱CC1的中点.(I)求证：B1D11AE;(n)

4、求证：AC/平面B1DE.【解答】(I)连接BD则BD/BQ,.ABCD正方形，ACLBD品.CEL平面ABCDBD?平面ABCD'CELBD又ACnCE=C.BDL面ACEAE?面ACEBDLAE,.B1EHAE（5分）(n)证明：取BB的中点F,连接AF、CF、EF.E、F是GC、BB的中点,CE/B1F且CE=BF,二.四边形BiFCE是平行四边形，CF/B1E./正方形BB1C1C中，E、F是CGBB的中点，EF/BC且EF=BC又BC/AD且BC=ADEF/AD且EF=AD二.四边形ADEF平行四边形，可得AF/EDAFACF=CBEAED=E平面ACF/平面B1DE又AC?

5、平面ACF.AC/面BQE【变式2】如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA，平面ABCD,/ABC=60°,点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF:FD=2:1.(I)证明：EA±PB;(n)证明：BG/面AFC.【解答】(I)证明：因为面ABC型菱形，且/ABC=60,所以ACD为等边三角形,又因为E是CD的中点，所以EALAB.又PAL平面ABCD所以EALPA而ABnPA=A所以EAL面PAB所以EALPB.(II)取PF中点M所以PM=MF=F.D连接MGMG/CF,所以MG/面AFC.连接BMBD设A6BD=Q连接OF,所以BM/OF

6、，所以BM/面AFC而BMTMG=M所以面BGM面AFC所以BG/面AFC【变式3】如图，四棱柱ABCD-AiBiClDl的底面ABCD是正方形，O为底面中心，AiO±平面ABCD,AB=&,AA1=2.(1)证明：AAi±BD(2)证明：平面AiBD/平面CD1B1；(3)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【解答】(1)证明：二.底面ABCD正方形，BDLAC又AiOL平面ABCDfiBD?面ABCDAiO±BD又AiOnAC=OAiO?面AiAC,AC?面AACBDL面AiACAA?面AiAC,AABD（2） A1B1/AB,AB/CDA1B1/CD

7、又AiBi=CD,二.四边形AiBiCD平行四边形,A1D/B1C,同理AiB/CD,AiB?平面AiBDAiD?平面ABDCD?平面CDBi,BiC?平面CDB,且AiBAAiD=A,CDABiC=C平面AiBD/平面CDBi.（3） AiO±面ABCDAiO是三棱柱A1B1D-ABD的高，在正方形ABC邛,AO=1在RtAiOA中，AA=2,AO=1,2 AiO=三，二V三棱柱ABAA1B1D=S>AABD?AiOJ?（）?3=323 三棱柱ABD-A1B1D1的体积为V3.【变式4】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA11底面ABC,AB=BC=AC=AA1=4,

8、点F在CC1上，且C1F=3FC,E是BC的中点.(1)求证：AEL平面BCC1B1(2)求四棱锥A-B1C1FE的体积；(3)证明：B1EXAF.【解答】（1）AB=AC,E是BC的中点,AE!BC.在三棱柱ABC-A1B1G,中，BB/AA1,BB1±平面ABC4 AE?平面ABCBB11AE,.（2分）又BBnBC=B.（3分）BB,BC?平面BBGC,AE1平面BB1C1C,.（4分）(2)由(1)知，即AE为四棱锥A-BGFE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2/,2在正方形BBGC,中，CE=BE=2CF=1,二£丁心口f广Szxcfe=4X4x2X4X2X

9、1=11.（6分）22一¥a-BCFE=W*四边晚CFE?AE=1x11X2近二（7分）（3）证明：连结B1F,由（1）得AE1平面BBCC,B1E?平面BBiGC,，AE1B1E,.（8分）在正方形BB1GC,中，BF=JbCJ+CF2=5,BE=Jbe2+bb2=2«,EF=JcE，CF2='昆:B1F2=B1E2+EF2,z.B1E±EF.（9分）又AmEF=E.（10分）AE,EF?平面AEF,，BiE，平面AEF,.（11分）AF?平面AEF,BiE±AF.（12分）【变式5】如图，四棱锥P-ABCD中，PD，平面ABCD，底面ABCD

10、为正方形，BC=PD=2,E为PC的中点，G在BC上，且CG=-CB3(1)求证：PCXBC;(2)求三棱锥C-DEG的体积；(3)AD边上是否存在一点M,使得PA/平面MEG?若存在，求AM的长；否则，说明理由.【解答】(1)证明：PDL平面ABCD1PDLBC又/ABCD是正方形，BCLCD又PmCD=D，BCL平面PCD又PC?平面PCDPC!BC(2)BCL平面PCDGC是三棱锥G-DEC的高.E是PC的中点，Saed（5Sapd（="XPD.DC=X（工X2X2）=1.W-de百Vs2222 DE（=GC?SadE（=XX1=.3339（3）连结AC,取AC中点O,连结EO

11、GQ延长GO交AD于点M则PA/平面MEG证明：为PC的中点，O是AC的中点，EO/PA又.EQ?平面MEGPA?平面MEG .PA/平面MEG在正方形ABC邛，是AC的中点，BC=PD=2CG=CB.3._7,? .OC雀AOAM.-AM=CG=,.所求AM的长为33【变式6】如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1,底面A1B1C1,AiBlBiCl且A1B1=BB1=B1C1,D为AC的中点.(I)求证：A1B±AC1(n)在直线CC1上是否存在一点E,使得A1E,平面A1BD,若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由.【解答】(I)证明：连接ABBB1,平面A1

12、B1CB1GXBB1BCAB且A1BnBBi=B1B1G，平面A1B1BAA1B±B1C1.又;A1B±AB且ARAB1G=BA1B，平面ABiG.-.A1B±AC1(II)存在点E在CC的延长线上且CE=2CC时，AEL平面忆ABD.设&ClAB=a,CE=2a.;Ma，DE嗜出.aH+A/=DE?，二”心AQ一BDLACBDLCC1,A6CG=C,.BDL平面ACGA1,AE?平囿ACCA1，A1E±BD.乂BDHAQ=D，.二A1E，平囿a：dJ【变式7】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,(1)求证：AC±

13、;BC1;(2)求证：AC1/平面CDB1.【解答】证明：(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直二棱柱，所以GC平面ABC所以GCAC又因为AC=3BC=4,AB=5,所以a&bC=aB",所以ACLBC汉ADAAB=5，点D是AB的中点.广勺更/乂A又ccnBC=C所以ACL平面CCBiB,所以ACLBC1.(2)连结CiB交CB于E,再连结DE由已知可得E为CiB的中点，又丁!)为AB的中点，DE为ABAC的中位线.ACi/DE又;DE?平面CDB,AC?平面CDB，AC/平面CDB.【变式8】如图，直三棱柱ABC-AiBiCl中，AAi=2AC=2BC,D是AA1的中

14、点，CDXBiD.(1)证明：CD±B1c1；(2)平面CDBi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【解答】(1)证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由D为AA的中点，则DC=DC又AA=2AC可得DC2+dC=CC：则CD£DCi,而CD£BiD,BiDADG=D,则CD£平面BCD,由于BG?平面BiCiD,故CD£BiG；(2)解：由(1)知，CD£BiCi,且BiGCiC,则BG，平面ACCA,设Vi是平面CDB上方部分的体积，V2是平面CDB下方部分的体积，则Vi=Vbi-cdai汴1Scdaic?BiCix2?BiCi

15、3=3biC|3,332233V=Mbcaibic=AC?BCCC=BCi,贝UV2=V-Vi=BCi=Vi,22故这两部分体积的比为i：i.【变式9】如图所示，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，已知底面是边长为2的正方形，高为1,点E在BiB上，且满足BiE=2EB.(1)求证：DiEXAiCi；(2)在棱BiCi上确定一点F,使A、E、F、Di四点共面，并求此时BiF的长；(3)求几何体ABEDiD的体积.【解答】(I)证明：连结BiD.因为四边形AiBiCD为正方形，所以AiCBiD.在长方体ABCDAiBiCiDi中，DDL平面AiBiGD,又AiC?平面AiBiCD,所以DDAi

16、C.因为DDABiDi=D,DD?平面BBDiD,BQ?平面BBDD,所以AC，平面BBiDD.又DiE?平面BBDiD,所以DiE±AiG.（4分）（n）解：连结BG,过E作EF/BC1交BiCi于点F.因为AD/BGi,所以AD/EF.所以AE、F、D四点共面.即点F为满足条件的点.又因为BE=2EB所以BF=2FG,所以奇（8分）（出）解：四边形BEDD为直角梯形，几何体ABEDD为四棱锥A-BEDD.CBE+DDi）BD4J7一1广因为SBEDD=二2山，点A到平面BEDD的距离h=ARC=V，1232所以几何体ABEDD的体积为：V.-八二支（i3分）?A-BED.D35E

17、D-D39题型二面面垂直的判定例2.如图，在三棱锥PABG中，PA1底面ABG4ABG为正三角形，D、E分别是BCGA的中点.P（i）求证：平面PBEL平面PAG（2）如何在BG上找一点F,使AD/平面PEF?并说明理由.B（I）证明：底面ABC*EE:底面AR。，.*-PA±BE.门分）又；ABC是正三角肥且E为AC的市点,EE_LCA.（2分）又PA门以=也，二目平面FAC.14分）丁恒二平郝比，器平面PBE，平面PAC.<6分）（H）解：取匚D的中点F，连接EF，则F即为所求.分）VE-F分别为。，的中点，iEF#AD.（电分）尺EF二平面PEF，AD二平面PEF，二8口

18、#平面PEF-（10）【变式U如图，四边形ABGD为菱形，G为AG与BD的交点，BE，平面ABGD.证明：平面AEG，平面BED.【解答】证明：（I）二四边形ABGM菱形，.二AG±BD,BEX平面ABGD.-.AG±BE,贝UAG，平面BED丁AG?平面AEG平面AEGL平面BED空间中的垂直关系教师版8【变式2】如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证：BD/平面FGH;(2)若CFXBC,AB±BC,求证：平面BCD，平面EGH.【解答】在三台DELABC中，AB=2DEG为AC的中点.DF11GC，.四边形CFD

19、,平行四边形，/f/7.DM=MC又BH=HC/.MH/BD,又BD?平面FGHMH?平面FGH/.BD/平面FGH-.'证法二：在三棱台DEF-ABC中，AB=2DEH为BC的中点.BH#EF，.四边形BHFE平行四边形.BE/HF.B在4ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，GH/AB,又GHTHF=H，平面FGH/平面ABEDBD?平面ABEDBD/平面FGH(II)证明：连接HEG,H分别为AC,BC的中点，GH/AB,;AB,BC.GH!BC又H为BC的中点，EF/HCEF=HC.EFCH平行四边形，.CF/HE.-.CF±BC,HEIBC又HE,GH?平面EG

20、HHEHGH=HBC，平面EGH又BC?平面BCD1平面BCDL平面EGH【变式3】如图所示，已知AB±平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点，BCXCD.求证：平面BCD，平面ABC.【解答】因为ABL平面BCDCD?平面BCD所以AB±CD又CDLBCABABC=B所以CDL平面ABC又CD?平面BCD所以平面BCDL平面ABC【变式4】如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，APAD是正三角形，平面PAD，平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.(1)求证：平面EFGL平面PAD;(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M-EFG

21、的体积.【解答】(1)二.平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=ADCD?平面ABCDCDLAD，CD±平面PAD(3分)又PCD43,E、F分别是PDPC的中点，.EF/CD可得EF，平面PAD,EF?平面EFG平面EFGL平面PAD(6分)(2)EF/CDEF?平面EFGCD?平面EFG.CD/平面EFG因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,Vmefg=Vd-efg取AD的中点H连接GHEH,贝UEF/GHEF，平面PADEH?平面PAD-EF±EH于是SaefhfEFXEH=2=&efg2平面EFGL平面PAD平面EF平面P

22、AD=EHEHD>F三角形（12分）点D到平面EFG的距离等于正EHD的高，即为如,(10分)因此，三棱锥M-EFG的体积VmefG=Vd-efGXSaef二J5=2Y1.【变式5】如图，已知AB，平面ACD,DE/AB,ADfAC=DE=2ABf2，且F是CD的中点,AF=英.(1)求证：AF/平面BCE;(2)求证：平面BCEL平面CDE;(3)求此多面体的体积.【解答】证明：(1)取CE中点P,连接FP、BP,PF/DEL,且FP=1又AB/DE,且AB=1,.AB/FP,且AB=FP.ABPF为平行四边形，.AF/BP.(2分)又AF?平面BCEBP?平面BCE，AF/平面BCE

23、(4分)(2)证明：:AD=ACF是CD的中点，AF=V3.所以ACD为正三角形，AFXCD.AB，平面ACDDE/AB,DEL平面ACD又AF?平面ACDDEIAF.又AF,CDCDADE=D，AF,平面CDE又BP/AF,.BPL平面CDE又BP平面BCE,.平面BCEL平面CDE.(3)此多面体是以C为顶点，以四边形ABEM底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高义方乂2X(1+2)又如用(12分)【变式6】如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形,ZCBB1=60°,AB±B1C.(I)求证：平面AA1B1B，平面

24、BB1C1C;(II)若AB=2,求三棱柱ABC-A1B1C1体积.【解答】(I)证明：由侧面AABB为正方形，知AB,BBi.又-.AB±BC,BBnB1C=B,.ABL平面BBGG又AB?平面AABB,平面AA1B1BXBBGC.(n)由题意，CB=CB,设O是BB的中点，连接CQ则COLBB.由(I)知，COL平面ABBiA,且CO西BCi/AB/.22连接但则吗字啊?。”必阮0.陶卢7c-y=j%fE=等"柱=哂11i1i【变式71如图，四边形ABCD为梯形，AB/CD,PDL平面ABCD,ZBAD="DC=90°,DC=2AB=2a,DA=V3

25、a,E为BC中点.(1)求证：平面PBC,平面PDE;(2)线段PC上是否存在一点F,使PA/平面BDF?若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【解答】(1)证明：连结BD,/BAD=90,研二a，口上近dBD=DC=2aE为BC中点，.BC±DE/又PDL平面ABCDBC?平面ABCDBC±PD,DEPPD=DBd平面PDE.BC?平面PBC平面PBCL平面PDE竽:(2)如上图，连结AC,交BD于0点，则：AAOtBCOD/dc=2ab借4H；端。£J在PC上取F,使PFFC；连接OF,贝UOF/PA,而OF?平面BDF,PA?平面BDF;2

26、.PA/平面BDF.题型三：面面垂直性质应用例3.如图所示，在四锥PABCM,底面ABC虚/DAB=60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD若G为AD边的中点.(1)求证：BGL平面PAD(2)求证：ADLPB.证明：(1).ABD为等边三角形且G为AD的申点,BG-AD又平面PAD_平面ABCD,:日G_平面心口PA。是等边三角形且G为AD的中点，.AD±PG且入D_BG,PG门BG=G,.AD_平面PBG,P日评面PEG,.ADP日【变式1】如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，APAD是正三角形，平面PAD，平面ABC

27、D,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.(1)求证：平面EFGL平面PAD;(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M-EFG的体积.【解答】(1)二.平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=ADCD?平面ABCDCD±AD,.CDL平面PAD又.PCD中,E、F分别是PDPC的中点，.EF/CD可得EFL平面PAD.EF?平面EFG-1平面EFG，平面PAD(2)EF/CDEF?平面EFGCD?平面EFGCD/平面EFG因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，Vmefg=Vd-efg取AD的中点H连接GHEH,贝UEF/GH.EF，平面PADEH?平

28、面PAD-EF±EH于是Saef甲-EFXEH=2=Sxefg;平面EFGL平面PAD平面EF平面PAD=EHEHDE三角形，点D到平面EFG的距离等于正EHD勺高，即为加，因此，三棱锥M-EFG的体积Vm-ef由Vd-ef<XSzef群V-S='33【变式2】已知点P是菱形ABCD7卜一点，ZDAB=60°,其边长为a,侧面PAD正三角形,其所在平面垂直于底面ABCDG为AD的中点.(1)求证：ADLPB;(2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F,使平面DEFL平面ABCD并证明你的结论.解析(1)证明：连接BGPG二.四边形ABC皿菱形且/DAB=6

29、0°.BGLAD.又PAD为正三角形，且G是AD中点，.PGLAD.PSBG=G,，ADL平面PBG.又PB?平面PBG-AD±PB.(2)当F是PC中点时，平面DEF，平面ABCD.证明如下：取PC的中点F,连接DEEF、DF.在PBC中,EF/PB.在菱形ABCD,BG/DE.平面DEF/平面PGB,平面PADL平面ABCDPGLAD.，PGL平面ABCD.又PG?平面PGB.,平面PGBL平面ABCD.,平面DEF1平面ABCD.题型四求点面的距离例4.如图，已知在长方体ABCD-ABCiDi中，棱AAi=5,AB=12求直线BCi到平面AiBCDi的距离.【变式】如

30、图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PAL平面ABCD,AP=AB=1,E,F分别是PB,PC的中点.(I)求证：AE±PC;(n)求点A到平面PBD的距离.【解答】(I)证明：AP=AB,E是PB的中点，AE1PB,.PAL平面ABCD1PALBC,-.ABXBC且PAHAB=A，BCL平面PAB,AE?平面PAB,AE1BC,/PBABC=B.AE1平面PBCAE1PC.(6分)(n)解：设点A到平面PBD的距离为d,利用体积法，/物».=舞.中冶知郎"瑶',点PBD的距离为学空间中的垂直关系教师版13课后作业1.对于任意的直线1与平面a

31、,在平面a必有直线m与1A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线2.若平面a，平面P,豆口=1,点Pwot,P皂l,则下列命题中的真命题有过P垂直于l的平面垂直于P;过P垂直于1的直线在a内;过P垂直于a的直线平行于P;过P垂直于P的直线在ct内.A.B.C.D.3.空间四边形ABCD,若ADLBC,BD±AD,那么有()A.平面ABCL平面ADCB.平面ABCL平面ADBC.平面ABCL平面BDCD.平面ADCL平面BDC4.若m,n是两条不同的直线,3,丫是三个不同的平面，则下列结论中正确的是A.若m?&a±B,则m，B.若ocAy=m,3C丫=n,m"

32、;n,C.若m_L3,m/y(x,则a_L3D.若“，丫，a_L3,则3_L6 .如图所示，四棱锥P-ABC而底面ABC比边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=-,2a,则它的5个面中，互相垂直的面有则7 .三个平面两两互相垂直，它们的交线交于一点QP到三个平面的距离分别是3,4,5,则QP的长为8.已知空间四边形ABCD中，AC=AD,BC=BD且E是CD的中点.求证：(1)平面ABEL平面BCD;(2)若F是AB的中点，BC=AD且AB=8,AE=10,求EF的长.(1)证明：因为AC=AD，BC=BD,且E是C阴)中点，用以BE<6且AE_CD,又AEcBE-日所以CD_平面ABE,所以平面ABE_平面BCD(5分)(2)因为