抛物线定义及其标准方程

1、抛物线及其标准方程一、教学目标1 .知识目标：掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；掌握焦点、焦点位置与方程关系；进一步了解建立坐标系的选择原则.2 .能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。二、教学过程（一）、复习引入问题1、椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e的取值范围各是什么？平面内，到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0<e<1时是椭圆，当e>1时是双曲线。自然引出问题：那么，当e=1时，轨迹是什么形状的曲线呢？（二）.创设情境问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC的直角边BC边上固定一个钉子，一根绳子连接

2、钉子和平面上一个固定点F,并且使纯子的长度等于钉子到直角顶点C的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC在定直线l上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容师生活动：（1）你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗？N'MKkF（2）学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔尖滑动时，笔尖到定点F的距离等于到定直线l的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题：（三）、新课讲授：（1）抛物线定义：平面内，到一个定点F和一条定直

3、线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线，F到直线l的距离简称焦准距。特别提醒：定点F在定直线l外。（并假设F在直线l上）换种说法：平面内，到一个定点F的距离和一条定直线的距离的比是常数1的轨迹，叫做抛物线。归纳总结：平面内，到一个定点F的距离和一条定直线的距离的比是常数e的轨迹有三种曲线：椭圆、抛物线、双曲线，它们统称为圆锥曲线。思考题：一个动点P(x,y)满足下列条件，(x1)2+y2=国画则动点P的轨迹是5()A圆B椭圆C双曲线D抛物线师生活动：教师引导学生将抽象的代数语言翻译成几何语言(2)抛物线的标准方程类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线

4、的标准方程又如何推导？方程有什么特点？设计意图：利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法(利用定义来推导)，并巩固复习建系、列方程的方法步骤(建、设、限、代、化)。师生活动：利用求曲线方程的方法步骤求抛物线的标准方程。求解过程学生若有困难老师可适当引导，师生共同完成求解过程：如图所示，利用对称性建立直角坐标系系，设|KF|=p(p>0),D*x那么焦点F的坐标为(B,0),准线l的方程为x=-,22设抛物线上的点M(x,y),则有J(x-p)2+y2x+-p|，化简方程得y2=2pxp0方程y2=2px(p>0叫做抛物线的标准方程.问题3椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么抛物线

5、的标准方程呢？还有其它形式？该如何推导？设计意图：通过复习初中最基本的抛物线方程y=x2和y=-x2,让学生观察并总结出开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程师生活动：学生回答上述问题，老师补充，师生共同得出：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，除上述一种外还有三种不同的情况，所以抛物线的标准方程也相应有另外三种形式：y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表.图形“y/-F*yJ一I71c">xl开口方向X轴的止方向X轴的负方向Y轴的止方向Y轴的负方向方程2-，一、y=2px(p>0)2-，一、

6、y=-2px(pa0)2c，c、x=2py(p>0)2c，c、x=2py(p>0)隹百八、八、吟,0)(-f,0)(0,f)(0,-f)准线x_£x2px二2yTyJ2观察总结：抛物线的标准方程的特点(1)都过原点；(2)对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴；(3)焦准距为p,半焦距等于等于一次项系数绝对值的1,即如(4)一次项的字母为442对称轴，二次项单独在某一边，且系数为1.(5)一次项系数正负决定图像开口方向(四)、精讲范例例题(1)已知抛物线标准方程是y2=-4x,作图并求它的焦点坐标和准线方程.1(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-),求它的标准

7、万程.2设计意图：让同学们熟悉抛物线标准方程的形式和特点，进一步理解抛物线标准方程的本质.师生活动：(1)在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；(2)抛物线标准方程过原点且对称，因此结合图像、准线和焦点坐标求出p,问题即解.解析：(1)y2=-2px则p=2,焦点坐标是(-1,0)准线方程是x=1.(2)焦点在y轴正半轴上，-p=-,所以抛物线的标准方程是x2=y.22变式练习：1、已知抛物线的标准方程风别是：(1)y=6x2,(2)x=ay2(a#0)求它们的焦点坐标和准线方程.特别提醒：一定先将抛物线化为标准方程！2、求下列抛物线的标准方程：3(1)焦点坐标是(0,)；2(2)抛物线的准线方程为y=1;过点(4,1).设计意图：让学生通过方程形式辨别抛物线的位置，进而求出焦点坐标和准线方程.或通过焦点坐标和准线方程辨别抛物线的开口，写出抛物线方程.师生活动：先让学生自己分析解答，然后抽取部分学生检查解答过程，若有问题老师适当补充:解此题的关键是(1)会根据示意图确定属于哪类标准形式，(2)想办法求出参数p的值.(五)、小结抛物线的定义、标准方程、以及与图像的联系；解抛物线问题时，要做到先“定位”，后“定量”.圆锥曲线的统一定义。(六)、作业(1)教材P120练习2、3、4、5.(2)小