第六章 线性代数模型

1、第六章第六章 线性代数与概率线性代数与概率 方法建模方法建模 线性代数模型：线性代数模型：有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。预测其发展趋势。 概率模型：概率模型：现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素定的和随机的。如果从建模的背景

2、、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。6.1、优良作物品种筛选问、优良作物品种筛选问题题背背景景遗传学的研究告诉我们，在动植物遗传学的研究告诉我们，在动植物产生下一代的过程中，总是将自己产生下一代的过程中，总是将自己的特征遗传给下一代，从而完成一的特征遗传给下一代，从而完成一种种“生命的延续生命的

3、延续”。在常染色体遗传中，后代从亲体在常染色体遗传中，后代从亲体的基因中各继承一个基因，形成的基因中各继承一个基因，形成自己的基因。下面我们讨论一个自己的基因。下面我们讨论一个染色体遗传染色体遗传植物后代问题植物后代问题 设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa 和 aa 。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？植物基因的分布植物基因的分布问题问题1. 建模准备建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的基因基因，形成了自己的基因对，基因对，基因对就确定了后

4、代所表现的特征。常染色体遗传的规律：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型基因型。 如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制的，那么就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa 。 金鱼草花的颜色金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花，而 aa型的开白花。 人类眼睛的颜色人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA ，或Aa 型的人眼睛颜色为棕色，而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。 这里AA ，Aa表示同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。如父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-A

5、A AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后后代代基基因因对对AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵2. 假设假设nnncba,分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。1nnncba第n代植物的基因型分布为,)(nnnncbax,)(0000cbax表示植物基因型初始分布。假设1假设2植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由下表确定。父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa后后代代基基因因对对AA11/

6、20Aa01/21aa0001121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba3. 建模建模11100012100211nnnnnncbacba/1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba00012100211/M)()(1nnMxx)()()(221nnnxMMxx)(33nxM0 xMn4 .求解模型求解模型关键计算0 xMxnn)(nM00012100211/M特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1为对角型矩阵。121010001,特征值为1，1/2，0的特征向量分别为则100210101P0000210001/D0 xMxn

7、n)(01xPPDn011002101110000210001100210111xn/011002101110000210001100210111xn/011000212102112111xnnnn/)/()/(021212121010010000cbcbcbannnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(nnnncbax)(当 时，n0, 0, 1nnncba经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。5. 结论结论练习题1若不选用AA型植物与每种植物结合

8、的方案，而是采用将相同基因型植物相结合，则情形怎样？父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA Aa-Aa aa-aa后后代代基基因因对对AA11/40Aa01/20aa01/41在极限状态下，后代仅具有基因型AA和aa。 遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病。常染色体的隐性疾病常染色体的隐性疾病练习题2 常染色体遗传的正常基因记为A，不正常基因记为a，并以AA、Aa 和 aa 分别表示正常人，隐性患者和显性患者的基因型。若在开始的一代人口中AA、Aa 和 aa 基因型的人所占百分比为a0，b0，c0，讨论在下列两种情况下第n代的基因型分布。1 控制结合：显性患者不能生育后

9、代，正常人与隐性患者必须与正常人结合生育后代；2 自由结合：这三种基因的人任意结合生育后代。父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA Aa-AA后代后代基因基因对对AA11/2Aa01/21121nnnbaa121nnbb1nnba11210211nnnnbaba/0 xMxnn)(01xPPDn21001/D1011P10111P1PPDMnn21001/10111011nn)/()/(2102111002102111baxnnn)/()/()( 0021211bbnn)/()/(当 时，n,01nnba即经过足够长的时间后，隐性患者消失。. 农产品价格问题农产品价格问题 3 3户邻

10、居户邻居A,B,C,A,B,C,每家都有一个菜园，在各自每家都有一个菜园，在各自的菜园内，的菜园内，A A种番茄，种番茄，B B种玉米，种玉米，C C种茄子，他们种茄子，他们同意按照下面的比例分享各家的收获同意按照下面的比例分享各家的收获； A A的番茄的的番茄的1/21/2，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/41/4； B B的番茄的的番茄的1/31/3，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/41/4； C C的番茄的的番茄的1/61/6，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/21/2； 如果满足闭合经济（即系统内自产自销）的平如果满足闭合经济（即系统内自产自销）

11、的平衡条件，同时收获物的最低价格是衡条件，同时收获物的最低价格是10001000元，则每元，则每户确定它们各自收获物的价格是什么？户确定它们各自收获物的价格是什么？ 构建模型构建模型111234111334111632E0E 设设 表示番茄的收获的价格，表示番茄的收获的价格， 表示玉米的收获表示玉米的收获价格，价格， 表示茄子的收获价格，据题意，得收入表示茄子的收获价格，据题意，得收入支出矩阵（或称交换矩阵）为支出矩阵（或称交换矩阵）为 1P2P3P模型求解模型求解112233PPE PPPP123TPPPP设1230111234012103340111632IEPPEPP即即模型得解即模型得

12、解123min1000PPP由 于151000,70kk则1231260,1050,1120PPP即1815 ,16Pkk是任意常数可求得这个齐次线性方程组的通解为可求得这个齐次线性方程组的通解为把n2个不同数字依次填入由nn个小方格构成的正方形中，使得横行数字之和、直列数字之和以及对角线数字之和都相等，这样的一个数图叫做一个（n阶）幻方阶）幻方，各直线上各数字之和叫幻和幻和。6.3 Drer魔方问题魔方问题最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书数术拾遗，那里记载了上述源自“洛书”的方图，当时称为“九宫图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为纵横图，欧洲人称之为魔方魔方或幻方。幻方中各数若是从1到n

13、2的连续自然数，则称之为标准幻方标准幻方。n阶标准幻方的幻和为 212().n n 幻方起源于古老的传说，自古有一种神秘色彩，人们把她当作护身避邪的吉祥物。许多人热衷于研究幻方，起初，只是因为她包含了无尽的神奇之美，而且，研究幻方本身也是对人的智力的开发。喜欢幻方、研究幻方的人不仅限于数学家，还有物理学家、政治家；不仅有成年人，也有孩子。现代科学家研究幻方，已经远远不是为了好玩或驱灾避邪。电子计算机出现以后，幻方在程序设计、组合分析、人工智能、图论等许多方面发现了新用场。幻方有多少？ 可以很容易地证明，2阶幻方是不存在的。我国南宋时期数学家杨辉早在1275年就给出了310阶的幻方。目前，国外已

14、经排出了105阶幻方，我国数学家排出了125阶幻方。同一阶幻方，可以有多种不同的排法，阶数越大，排法越多。如果不包括通过旋转或反射得到的本质上相同的幻方，我们有：3阶幻方只有1种；4阶幻方有880种；5阶幻方有275305224种（约两亿七千五百万）；7阶幻方有363916800种（约三亿六千四百万） ；8阶幻方超过10亿种。 五阶五阶 没人知道有多少个！没人知道有多少个！三阶三阶 1个个 反射和中心旋转生成反射和中心旋转生成8个个四阶四阶 880个个 反射和中心旋转生成反射和中心旋转生成7040个个魔方数量随阶数魔方数量随阶数n增长的速增长的速度实在是太惊人了！度实在是太惊人了！同阶魔方的个

15、数同阶魔方的个数Drer魔方魔方：4阶，每一行之阶，每一行之和为和为34，每一列之和为，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和对角线（或次对角线）之和是是34，每个小方块中的数字，每个小方块中的数字之和是之和是34，四个角上的数字，四个角上的数字加起来也是加起来也是34.版画创造时版画创造时间：间：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！什么是什么是Drer魔方魔方 该魔方出现在德国著该魔方出现在德国著名的艺术家名的艺术家 Albrecht Drer于于1514年创造的年创造的版画版画Melancolia。你想构造你想构造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔

16、方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？设设A,B是任意两个是任意两个Drer 魔方，魔方，对任意实数对任意实数k，kA 是是Drer魔方吗？魔方吗？ A+B 是是Drer魔方吗？魔方吗？松驰问题的讨论松驰问题的讨论允许构成魔方的数取任意实数允许构成魔方的数取任意实数任意两个任意两个Drer魔方的任意的线魔方的任意的线性组合仍是性组合仍是Drer魔方。魔方。记记 D=A=(aij) R44|A为为Drer魔方魔方 将将A看成看成16维列向量，则维列向量，则D构成一构成一个向量空间，称为个向量空间，称为Drer魔方空间魔方空间.无穷多个无穷多个求出魔方

17、空间的一组基求出魔方空间的一组基,基的基的任意线性组合都构成一个任意线性组合都构成一个Drer魔方魔方.令令R为行和，为行和，C为列和，为列和，D为对角线和，为对角线和，S为小方块和为小方块和类似于类似于n维空间的维空间的基本单位向量组，基本单位向量组，利用利用0和和1来构造一来构造一些些R=C=D=S=1的的最简单的方阵。最简单的方阵。求求Drer魔方空间的基魔方空间的基1在第一行中有在第一行中有4种取法，第二行中的种取法，第二行中的1还有还有两种取法。当第二行的两种取法。当第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8个不同的最个不同的最

18、简方阵，称为基本魔方简方阵，称为基本魔方Q1,Q8 令令R为行和，为行和，C为列和，为列和，D为对角线和，为对角线和，S为小方块和为小方块和类似于类似于n维空间的维空间的基本单位向量组，基本单位向量组，利用利用0和和1来构造一来构造一些些R=C=D=S=1的的最简单的方阵。最简单的方阵。求求Drer魔方空间的基魔方空间的基Q1=0000000000000000111100101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q0001100

19、0001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空间的基魔方空间的基1在第一行中有在第一行中有4种取法，第二行中的种取法，第二行中的1还有还有两种取法。当第二行的两种取法。当第二行的1也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8个不同的最个不同的最简方阵，称为基本魔方简方阵，称为基本魔方Q1,Q8 显然，显然， Drer空间中任何一个魔方空间中任何一个魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但来线性表示，但它们能否构成它们能否构成D空间的一组基呢？空间的一组基呢？00101000010000011Q010000101

20、00000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空间的基魔方空间的基00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空间的基魔方空间的基145

21、823670QQQQQQQQQ1,Q8线性相关线性相关 显然，显然， Drer空间中任何一个魔方空间中任何一个魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但来线性表示，但它们能否构成它们能否构成D空间的一组基呢？空间的一组基呢？Q1,Q2,Q8能否构成能否构成D空间的一组基？空间的一组基？00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空

22、间的基魔方空间的基145823670QQQQQQQQQ1,Q8线性相关线性相关由由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr0ir127,Q QQ线性无关。线性无关。Q1,Q7构成构成D空间的一组基，任意空间的一组基，任意Drer魔方魔方都可由其线性表示都可由其线性表示.Q1,Q2,Q8能否构成能否构成D空间的一组基？空间的一组基？Q1,Q7构成构成D空间的一组基，任意空间的一组基，任意Drer魔方魔方都可由其线性表示都可由其线性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD构造构造Albrecht Drer的数字魔方的数字魔方21rr 6r75rr 43rr

23、 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16321351011896712415141=12345678,8,7,6,2,3,4rrrrrrr 122345678876234DQQQQQQQQ1,Q2,Q8能否构成能否构成D空间的一组基？空间的一组基？Q1,Q7构成构成D空间的一组基，任意空间的一组基，任意Drer魔方魔方都可由其线性表示都可由其线性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr

24、3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =？=dij所得的线性方程组有所得的线性方程组有 个方程？个方程？ 个变量？个变量？1623如何求解该线性方程组呢？（可利用数学软件）如何求解该线性方程组呢？（可利用数学软件）随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0

25、0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016维变量维变量 y (A, E) = 0ryDrer魔方空间魔方空间是是7维的维的.随心所欲构造随心所欲构造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) Ar y = 016维变量维变

26、量 y (A, E) = 0ry自由变量可取为自由变量可取为d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4416321351011896712415141-524 18 2019 19 13 623 421 920 10 522任给任给d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一的一组值，就可得唯组值，就可得唯一确定一确定Drer魔方魔方的其他值的其他值.还不够随心所欲？还不够随心所欲？赋予魔方更大赋予魔方更大的威力吧！的威力吧！自由变量的选取不唯一自由变量的选取不唯一构造你自己认为有意义的构造你自己认为有意义的Durer魔方。魔方。只要选取系数矩阵只要

27、选取系数矩阵23列中列中16个线性无关的个线性无关的列，其余列，其余7列对应的变列对应的变量就可取为自由变量量就可取为自由变量.任给任给d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一组值，也可得唯一的一组值，也可得唯一确定确定Drer魔方的其他值魔方的其他值.125861146710 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份购进的价格为 b，零售价为 a，退回价为 c，应该自然地假设为 abc。也就是说，报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔 b-c，报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将赔钱。请你为报童筹划一

28、下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。6.4 报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：报童售报： a (零售价零售价) b(购进价购进价) c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进

29、量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2准准备备)()(rncbrnrbarnr赔退回赚售出nbannr)( 赚售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-cnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解将将r视为连续变量视为连续变量

30、概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0结果解释结果解释nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱ncbnba)(,)(0rp因为当购进n份报纸时, drrpPn01是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率； drrpPn2是需求量r超过n的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比.结论：结论：当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。练习：练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？6.4 产品的抽样检验 产品质量是每个企业都十分关心的一个问题，质量监控的一个经常采用的方法是抽样检验。人们设计出了各种各样的给出整批产品可接受准则的抽样方案。 问题问题：一个陶器公司生产咖啡杯，