经济数学-多元函数微分学习题课

1、主要内容主要内容典型例题典型例题第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用习习 题题 课课平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的应用经济上的应用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念1.1.区域区域 设设),(000yxP是是x

2、oy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域）邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P （3）n维空间维空间（2）区域）区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域2.2.多元函数概念多元函数概念 。上上）的的图图形形（或或图图像像）（在在为为函函数数中中的的子子集集的的值值域域，并并且且称称称称为为函函数数的的定定义义域域，称称为为函函数数称称为为因因变变量量，称称为为自自变变

3、量量，其其中中或或值值）函函数数，记记作作元元（实实上上的的一一个个称称为为定定义义在在的的任任一一映映射射到到实实数数集集的的一一个个非非空空子子集集，从从是是设设DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定义3.3.多元函数的极限多元函数的极限定 义定 义 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其内点或边界点， 如果对于任意是其内点或边界点， 如果对于任意给定的正数给定的正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不，使得对于适合不等式等式 202

4、00)()(|0yyxxPP的一的一切点，都有切点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函为函数数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限， 记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）. 说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4.4.极限的运算极限的运算).0()()()3(;)()()2(;)()

5、()1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时，时，设设5.5.多元函数的连续性多元函数的连续性定 义定 义 设 函 数设 函 数),(yxf的 定 义 域 为 点 集的 定 义 域 为 点 集)(,0,00yxPD是是D的内点或边界点且的内点或边界点且DP 0，如果如果)()(lim00PfPfPP 则称函数则称函数),(yxf在点在点0P处连续处连续. . 如果如果),(yxf在点在点),(000yxP处不连续， 则称处不连续， 则称0P是函数是函数),(yxf的间断点的间断点. . 6.6.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在

6、有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理）介值定理定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内

7、有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 x的的偏导数，记为偏导数，记为 7.7.偏导数概念偏导数概念同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00

8、yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.8. 8. 高阶偏导数高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22

9、yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数. 的的相相对对改改变变量量函函数数对对存存在在处处偏偏导导数数在在设设函函数数xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之比之比的相对改变量的相对改变量与自变量与自变量xxx xxzzx .,两点间的弹性两点间的弹性到到从从对对称为函数称为函数xxxxyxf . . 偏导数在经济上的应用偏导数在经济上的应用:交叉弹性交叉弹性即即.lim

10、0zxxzxxzzEExxxzx ,0时时当当 xxxzzx 记作记作的弹性的弹性处对处对在在的极限称为的极限称为,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的弹性的弹性处对处对在在类似地可定义类似地可定义yyxyxf, .,表表示示需需求求对对收收入入的的弹弹性性需需求求对对价价格格的的弹弹性性表表示示则则表表示示消消费费者者收收入入表表示示价价格格表表示示需需求求量量中中如如果果特特别别地地yxyxzyxfz 10.10.全微分概念全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导

11、函数可导11.11.全微分的应用全微分的应用d( , )( , ),xyzzfx yxfx yy .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小时时当当,yx 主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.12. 12. 复合函数求导法则复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为ddzt 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(y

12、x的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .13. 13. 全微分形式不变性全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、0),()1( yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式14. 14. 隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0

13、),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF15. 15. 多元函数的极值多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函

14、函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条

15、件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，

16、时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可

17、可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值二、典型例题二、典型例题例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 .

18、0)(lim2200 yxxxyyx故故例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例3 3解解2( , , ),(, )0,sin ,d(,)0,.dyuf x y zxezyxufzx 设设具具有有一一阶阶连连续续偏

19、偏导导数数 ， 且且求求ddd,ddduffyfzxxyxzxdcos ,dyxx 显显然然d,dzx求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy 123dd20,ddyyzxexx于是可得于是可得sin123d1(2cos),dxzxexx sin123d1cos(2cos).dxufffxxexxxyz 故故例例4 4解解( , ),( )( , , )0,( , )0.d,0,0,.duf x yu xg x y zh x zghuyzx 设设函函数数由由方方程程组组所所确确定定 且且试试求求的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,xdd,(1)dddd0,(2)ddd0.(3)dxyxyzxzuyffxxyzgggxxzhhx d(3),dxzhzxh 由由得得d(2),dzxxyzyghgyxghg 代代入入得得d(1).dyxyzxxyyzfgfghufxggh 代代入入得得之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例5 5解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任