第九章多元函数

1、第九章 多元函数微分学上册中，我们研究的函数是仅依赖于一个自变量的函数，这种函数称为一元函数但在许多实际问题中，会涉及到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情况，由此引入多元函数以及多元函数的微积分问题本章将在一元函数基础之上讨论多元函数的微分法及其应用从一元函数到二元函数，在内容和方法上都会出现一些实质性的差别，而多元函数之间差异不大，因此讨论多元函数时，将以二元函数为主§9.1 多元函数的基本概念一、平面区域的概念讨论一元函数时，经常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，我们首先把它们加以推广，同时还要引入平面点集一些其他概念 记邻域：设，为一正数， 与

2、点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记作，即也就是在几何上表示一个以为圆心、为半径的圆内部的点的全体中除去点后所剩部分，称为点的去心邻域，记作如果不需要强调邻域的半径时，则可用表示点的某个邻域点某个去心邻域记作下面利用邻域来描述点和点集之间的关系设为平面上任一点（），是一平面点集（），则与有以下三种关系:(1) 内点：若存在点的某一邻域使得，则称是的内点；(2) 外点：若存在点的某一邻域使得， 则称为的外点； (3) 边界点：若点的的任一邻域内，既含有属于的点，又含有不属于的点，则称为的边界点图9-1-1E 的边界点的全体称为的边界如图9-1-1 为的内点，为的外点，为的边界点从上述定义及图9

3、-1-1可知，的内点必定属于；的外点必不属于；而的边界点可能属于，也可能不属于聚点：若点的任何邻域中都有无穷多个点属于点集，则称为的一个聚点聚点本身可能属于，也可能不属于的内点必是聚点边界点可能是聚点，也可能不是图9-1-2例如， 点集，满足的点都是的内点; 满足的点均为的边界点，它们都属于;满足的点也均为的边界点，但它们都不属于的边界是圆周和上的点的全体(图9-1-2) 开集： 若的每一点都是它的内点，则称为开集；闭集： 开集加上它的边界称为闭集；连通集： 若内的任何两点，都可以用中的折线连结起来，则称为连通集； 开区域： 连通的开集称为开区域(或区域)；闭区域： 开区域和它的边界一起称为闭

4、区域；有界集： 如果存在常数，使得，则称为有界集，否则称为无界集例如，和均是面中的开区域; 和均是面中的闭区域；而且为无界闭区域， 为有界开区域二、多元函数的概念在很多自然现象以及工程实际问题中经常会遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1 一定量的理想气体的压强，体积和绝对温度之间具有关系，其中为常数，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定例2 设是、并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定这些例子它们的具体意义虽各不相同，但它们确有共同的性质，即都涉及一个变量与其它多个变量之间的依赖关系，抽取其共性，可以得到多元函数的概念首先定义二元

5、函数 定义1 设是非空子集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总 有确定的值和它对应，则称变量是变量的二元函数（或点的函数），记为 （或）称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量，称为函数的值域函数在点处的函数值记为或类似的可以定义三元函数以及三元以上的函数一般地，把定义1中的平面点集换成维空间内的点集，则可类似的定义元函数元函数也可简记为，这里的，当时，就是一元函数，当时，称为多元函数 对给定的一个二元函数，则其定义域也相应给定如果是从实际问题中建立一个二元函数，则该函数的自变量有着实际意义，其取值范围要符合实际如果是用解析式表示的函数，它的定义域就是使解析式中运算有意义的自变量取值点的全体

6、例3 在经济学中，常用的Cobb-Douglas生产函数为，这里表示生产量，分别表示劳动力和资本数量，其中为常数，是参数（），函数的定义域为例4 求函数的定义域，并作出定义域的示意图解 要使函数有意义，必须要 即 故函数的定义域为 的图形如图9-1-3图9-1-322图9-1-4 例5 求函数的定义域 并作出定义域的示意图解 要使函数有意义，必须要 图9-1-5 故函数的定义域为 的图形如图9-1-4二元函数的几何意义设是定义在区域上的二元函数，点集称为二元函数的图形 二元函数的图形通常是空间的一张曲面 (图9-1-5)定义域就是该曲面在面的投影例如， 二元函数的图形是一张平面，它的定义域是整

7、个平面二元函数的图形是以原点为中心，半径为1的上半球面，它的定义域是平面上的以原点为中心的单位圆 二元函数的图形是顶点在原点的圆锥面，它的定义域是整个平面三、多元函数的极限与一元函数概念类似，二元函数的极限也是反映函数值随自变量变化而变化的趋势定义 2 设函数的定义域为，点是的聚点，为常数，如果对任意（不论多么小），存在，使得当时，恒有，则称常数为当时的极限，记为 ， ， 或者  ，一般我们将二元函数的极限叫做二重极限这里应当注意，按照二重极限的定义，必须当动点以任何方式趋于定点时，都是以常数为极限，才有如果仅当以某种方式趋于时， 趋于常数，那么还不能断定存在极限但如果当以不同方式趋

8、于时， 趋于不同的常数，我们便能断定的极限不存在例6 讨论极限的存在性解 当沿直线趋向于时，有 当沿直线趋向于时，有这说明沿过原点的无穷多直线趋于原点时，都趋于零，但也不能说明的极限是零，因为无穷多路径并不代表所有路径，点趋向于的方式还有无穷多种，当沿抛物线趋向于时，因此不存在二元函数极限的定义与一元函数极限的定义在内涵上是一致的，因此一元函数极限的性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性、夹逼准则以及极限运算法则等，都可以推广到二元函数极限例7 求极限解 例8 求极限解 因为，且所以例9 证明 证 因为 ，所以 而当时，由夹逼准则可知，四、多元函数的连续性与一元函数一样，仍采用函数在一点的极限

9、值与在该点的函数值是否相等来定义二元函数的连续性定义 3 设函数的定义域为，点且是的聚点，若 则称函数在点处连续，否则，称在处间断或不连续如果在区域上的每一点都连续，则称函数在上连续，或称是上的连续函数例10 讨论函数在点处是否连续？解 当点沿直线趋向于时，则有 它的值与常数有关这说明自变量按不同方式趋于点时，函数有不同的极限，所以极限不存在，因此函数在点处不连续 例11 求 解 和一元函数一样，二元连续函数的和、差、积、商(在分母不为零处)仍是连续函数，二元连续函数的复合函数也是连续函数由和的基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次复合运算后能用一个式子表式的二元函数称为二元初等函数一

10、切二元初等函数在其定义区域内是连续的例如函数在平面内处处连续；而函数仅在原点处不连续；函数在单位圆上处处是间断点，一般地将称为间断曲线在空间直角坐标系下，平面区域上的二元连续函数的图形是在上张开的一张“天衣无缝”的连续曲面一元连续函数在闭区间上的性质，也可推广到二元函数上去性质1 (有界性定理) 如果函数在有界闭区域上连续，则它在上有界即存在常数，使得对任意，有 性质2 (最大(小)值定理) 如果函数在有界闭区域上连续，则它在上必能取到最大值和最小值即存在，使得对任何，都有 性质3 (介值定理) 如果函数在有界闭区域上连续，则它必取得介于最大值和最小值之间的任何值即对任何，至少存在一点，使得

11、习题9-1判断下列平面点集中哪些是开集，闭集，有界集，无界集，开区域，闭区域.（1）；（2）；（3）；（4） 求函数值：（）已知求； （）已知求；（）已知求； （）已知，求求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）求下列函数的极限： （1） ； （2） ； （3）； （4）；（5） ； （6）证明极限不存在：（1）；（2）；（）讨论函数 在点处的连续性讨论函数 在点处的连续性沙石运输问题 设有体积为的沙石用长方体形状的有底无盖且在底部装有滑行器的木箱运输，这种木箱可以反复使用（假设木箱永不损坏），木箱各部分的造价是：箱底和两端的材料费用为，另两侧面的材料费用为，箱底两个滑行器与箱子同长，材

12、料费为，又不论箱子大小，每装一箱沙石需支付装运费，试建立运输沙石的总费用与箱子的长、宽、高的关系式§9.2 偏导数在生产和工程实际中，常常需要了解一个受多种因素制约的量，在其它因素固定不变的情况下，随一种因素变化的变化率问题这些实际问题的产生，促使人们研究多元函数在其它自变量固定不变时，函数随一个自变量变化的变化率偏导数问题 一、偏导数的定义及其计算定义 1 设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处取得增量时，且，相应的函数的增量为(称为偏增量)如果极限 (921)存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作或 类似地，函数在点处对的偏导数可定义为 (922)记作 如果二元函数

13、在区域上每一点处关于的偏导数都存在,那么这个偏导数是，的二元函数，称它为函数对自变量的偏导函数，记作 或 类似地，可以定义函数对自变量的偏导函数，记作或由偏导函数的定义可知，函数在点对的偏导数与偏导函数有如下关系： 以后在不至于混淆的情况下，将偏导函数也简称为偏导数对于二元以上的函数，用同样的方法可以定义偏导数从偏导数的定义可以看出，求多元函数对其中一个自变量的偏导数时,实际上只需将其它自变量看成常数,按照一元函数的求导法则进行即可例1 求函数在点处的偏导数解 将看作常数,对求导得 将看作常数,对求导得 所以 例2 设 ，求证：证 因为 ，所以 例3 已知电阻、并联的等效电阻为，若，问变化三个

14、电阻中的哪一个，对等效电阻影响最大解 因为 ,，最小，所以最大，故变化对影响最大例4 已知理想气体的状态方程（为常量），求证： 证 因为 ，； ，； ，；所以 通过此例说明偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商图9-2-1二元函数在点处的偏导数有如下的几何意义设为曲面上一点,过点作平面,截此曲面得一曲线， 上的方程，则导数，即偏导数，就是这曲线在点处的切线对轴的斜率（图9-2-1）；同样，偏导数表示的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率我们知道，如果一元函数在某一点具有导数，则它在该点必连续对于多元函数来说，在某点即使各偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续这是因

15、为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于，但不能保证点按任何方式趋于时，函数值趋于例如，函数在点处对的偏导数 同样有可见在点处的两个偏导都存在但由§9.1例10知在点处不连续例5 讨论函数在点处的连续性及偏导数、的存在性解 显然有 所以 在点处连续当时,由于的极限不存在,所以不存在,同理也不存在这说明二元函数在点处连续与偏导存在没有必然联系二、 高阶偏导数设函数在区域内处处存在偏导数和,如果这两个偏导数的偏导也存在,则称它们的偏导数为函数的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四种二阶偏导数其中偏导数、称为二阶混合偏导数，类似地可定义多元函数二阶以上的偏导

16、数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 求函数 的二阶偏导数解 .此例中的两个二阶混合偏导数相等，即 (923)但这个(9.2.3)式并不是对所有的二元函数都成立,也就是说，求函数的二阶混合偏导数与对，求导的次序是有关的下面不加证明的给出（9.2.3）式成立的充分条件定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数，在区域内连续，那么在内必有定理1表明，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关例6 验证描述波的运动方程满足方程 (924)解 因为 ，所以 例7验证函数满足方程 （925）解 因为 ，所以 例8 验证 满足 （926）解 由对称性得，因此 像（9.2.4），（9.2.5），（9.

17、2.6）式那样含有多元函数偏导数的方程称为偏微分方程方程（9.2.4）它描述了波（如海浪、声波、光波等的）运动形式；称（9.2.5），（9.2.6）式为拉普拉斯方程，它的解称调和函数，在热力学、流体力学和电势理论中有着重要的应用函数、 、分别为偏微分方程（9.2.4），（9.2.5），（9.2.6）的解多元函数的偏导数在经济上表示边际经济量，边际经济量的经济意义是：当其中一个经济量变化一个单位时(其他经济量保持不变)总经济量的变化量在经济分析中，不同的经济函数，边际函数被赋予不同的名称例如，某工厂生产A、B两种产品，当A、B产品的产量分别为和个单位时，总成本函数为这时偏导数称为关于A产品的边际

18、成本，它是当B产品的产量固定时，总成本关于的边际成本，其经济意义是：当B产品的产量固定在处，A产品的产量在的基础上再生产一个单位时成本大约增加 例9 某工厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别为、(单位：kg)时，总成本(单位：元) 求当时，两种产品的生产边际成本 解 此结果表明，当乙产品产量不变而甲产品产量再增加1kg时，总成本近似增加64元；当甲产品产量不变而乙产品产量再增加1kg时，总成本近似增加96元习题9-2 求下列函数的偏导数（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）；（7）； （8）2设，求3求曲线，在点处切线对轴的倾角4设，求，5设，其中为可微函数，证明：6设，求

19、，§9.3 全微分一、全微分的定义在实际问题中，有时需要研究多元函数中各自变量都取得增量时因变量获得的增量，即所谓的全增量问题.当自变量在点处均有增量时,称 为函数在点处的全增量.例如，一个边长分别为的矩形金属薄片，由于受热，边长变为，问矩形薄片面积改变了多少？设面积为，则面积改变量（全增量）图9-3-1从上式看出主要有两部分，第一部分是关于的线性函数，图9-3-1中带有斜线部分的两个矩形面积之和，第二部分是图9-3-1中带有交叉斜线的矩形面积，当时，是关于的高阶无穷小，即.一般说来,函数的全增量是关于比较复杂的函数，计算较繁，对比一元函数的微分，我们希望用自变量增量与的线性函数来近

20、似地代替函数的全增量，于是产生了全微分的概念.定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数在点的全增量可表示成为 (9.3.1)其中，,不依赖于与，而仅与、有关，则称函数在点处可微分,而称为函数在点处的全微分，记作 .当函数在区域内每一点都可微分时，则称在内可微分. 由定义1中的(9.3.1)式知,若在点处可微分,则在该点必连续.事实上, 在式(9.3.1)中令,得即   .与一元函数类似，自变量的增量与常写成与，并分别称为自变量的微分，于是，函数的全微分可写为 二、 函数可微分的必要条件和充分条件定理 1（必要条件）如果函数在点处可微分，则在点处偏导存在,且有 , 证明

21、 在式(9.3.1)中令,这时,则有 于是 同理 即 在点处偏导数存在,且有 , 可见, 如果函数在点处可微,我们有 (9.3.2)由一元函数微分学中增量与微分的关系,有 (9.3.3) (9.3.4)(9.3.3),(9.3.4)两式的右端分别叫做二元函数对的偏微分.这样二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,我们把这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 一元函数在一点可导与它在该点可微是等价的.对于多元函数，偏导数都存在,虽然能形式地写出,但它与之差并不一定是较高阶的无穷小,因此函数不一定是可微分的（这是因为偏导数仅仅是在特定的方向上函数的变化率，它对函数在一点附近变化情况的描述极不完备）

22、所以，多元函数在一点偏导存在，只是它在该点可微的必要条件,而不是充分条件例如，函数在点处有,所以有 如果考虑点沿直线趋近于时，则这表示时，并不是一个较高阶的无穷小，因此该函数在点处的全微分不存在,即该函数在点处是不可微分的.可见,当多元函数在某点偏导存在时,不一定在该点可微分,偏导数存在只是可微分的必要条件而不是充分条件,但如果函数的各个偏导数连续,就能使函数在该点可微分,既有下面定理.定理2（充分条件）如果函数的偏导数和在点连续，则函数在点可微分.(证明略)二元函数的在点处可微性、可导性（偏导数的存在性）及连续性之间的关系为:偏导数存在且连续可微函数连续，且偏导数存在. 以上关于全微分的的定

23、义及可微的必要条件和充分条件,可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.例如，对于三元可微函数有.例1 求函数 在点 处的全微分。解 因为 , , 所以 例2 求函数 ( )的全微分。解 因为 , , 所以 例3 空气污染指数是一种反映和评价空气质量与空气污染程度的数量指标，是将常规监测的几种空气污染物的浓度简化成单一的数值形式.设空气污染指数为，则值越大表明空气污染程度越严重.目前我国采用空气污染指数的分级标准是：空气日平均值一级标准为；二级标准为；三级标准为；当时，空气质量为重度污染.现在某城市的空气污染指数取决于两个因素，即空气中固体废物的浓度和有害气体的浓度.它们之间的关系可表示成

24、 （1）计算和并说明它的实际意义；（2）当增长10%，不变；或不变，增长10%，该城市空气污染的情况怎样？（3）当增长10%，减少10%时，该城市空气污染的状况是否有所改变？解 (1) 由， 得，.根据偏导数定义，表示当空气中有害气体浓度，且固定不变，空气中固定废物浓度时，对的变化率，也就是说是常量，是变量，且自10发生一个单位的改变时，空气污染指数大约改变个单位.同理，表示当空气中有害气体浓度不改变时，对的变化率，也就是说是常量，是变量，且自5发生一个单位的改变时，空气污染指数大约改变个单位.（2）显然，在点处连续，根据增量公式，有 . 其中，.当,增长10%时，则有当增长10%时，时，则有

25、由此可见，当自变量在点处一个保持不变，另一个增加10%时，引起空气污染的程度是不同的，有害气体对空气污染程度的影响较严重.(3) 由于当，增长10%，即减少10%时，即，此时空气污染指数的增量为=-80即空气污染得到一定治理，空气状况有所改善习题9-31 求下列函数的全微分：(1) ； (2) ；(3) 2求函数当时的全微分3求函数在点处的全微分4利用全微分计算下列各式的近似值：(1) ；(2) 5设矩形边长，当增加，减少时，求矩形的对角线和面积变化的近似值§9.4 多元复合函数微分法一、多元复合函数的微分法图9-4-1在一元函数微分学中，复合函数的链式法则在微分学中起到了极其重要的

26、作用，如何将这一法则推广到多元函数是本节讨论的的主要内容由于多元复合函数的中间变量和自变量的个数较多，函数关系复杂,为了不失一般性，讨论简便，先讨论有两个中间变量且中间变量都是二元函数的链式法则，然后再推广到其它形式的多元复合函数设函数，构成复合函数其变量间的依赖关系可用图9-4-1变量关系树来表示定理1 如果函数都在点处存在一阶偏导数, 函数在相应点处可微,则复合函数在点的两个偏导数存在, 且有 （941） （942）证 设自变量取得增量，则中间变量分别取得偏增量由于在点处可微,故有 （943） 将（9.4.3）式中分别用关于的偏增量代替，则相应的也有关于的偏增量，即 （944）其中将(94

27、4)式两端同除以，得 （945）因为存在，所以当自变量不变时，和均是的连续函数，从而当时，有，且有上式右端极限中第一个因子为无穷小，后两个因子之积为有界函数，所以于是在（9.4.5）式中令取极限，得同理可得称（9.4.1），（9.4.2）为多元复合函数求偏导数的公式（链式法则），可借助于图9-4-1变量关系树来记忆定理1可以推广到中间变量是一个或两个以上的情形，也可以推广到中间变量既有一元函数也有多元函数的情形，尽管多元复合函数具有形式各异的复合关系，借助于变量关系树图来求偏导数，很容易得到计算公式下面就几种情况给出公式图9-4-21. 设，,，则复合函数是关于的一元函数，其变量关系树如图9-

28、4-2所示导数计算公式为 图9-4-3 （946） 这里的称为全导数，公式（9.4.6）称为全导数计算公式 2. 设, ,及,则复合函数是关于的二元函数，其变量关系树如图9-4-3所示则有偏导数计算公式： （947） （948）图9-4-43. 设，,则复合函数是关于,的二元函数，其变量关系树如图9-4-4所示 则有偏导数计算公式： 图9-4-54 设，,则复合函数的变量关系树如图9-4-5所示 则有偏导数计算公式： 综上，多元复合函数对某个自变量的偏导数等于若干项的和，其中每一项都对应函数到该自变量的一条路径，几条路径就对应几项和，这就是计算多元复合函数偏导数的链式法则，该链式法则可形象地概

29、括为“连线相乘，分路相加”例1设,其中 求解 函数变量关系树如图9-4-2，由链式法则有 例2设而 求和解 函数变量关系树如图9-4-1，由链式法则有，例3 设，求和解 设, 则，函数变量关系树如图9-4-1，由链式法则有 ， 例4 设,其中具有二阶连续偏导数,求和解 设 , 则为表达简便起见，引入以下记号： ，这里下标1表示对第一个变量求偏导数，下标2表示对第二个变量求偏导数同理有，等等函数关系树如图9-4-1，由链式法则有 ， 注意到和,再由链式法则,有, 所以有 由具有二阶连续偏导数,所以 ,故有同理可得 例5 设可微,证明证 函数变量关系树如图9-4-4,由链式法则有 , ,二、全微分

30、形式的不变性 设函数具有连续偏导数,当和是自变量时,其全微分为 如果、又是、的函数、，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数全微分为 其中及由式(941),(942)给出，将其代入上式中，得 这说明，无论函数看作自变量、的函数还是中间变量、的函数，其全微分表达式的形式是一样的，这个性质称为全微分形式不变性例7 利用全微分形式的不变性解本节例2解 而 ，代入上式得即 上式右端、前的式子分别为所求的两个偏导数、例8 求函数 的全微分和偏导数解 与对照，得到，习题9-41设，而，求2设，而，求3设，而，求4设,，求5设，求 6设，求7设可微，求下列函数的一阶偏导数：(1) ；(2) ；(3) ；

31、(4) ；(5) ； (6) 8设可微，证明9求下列函数的，其中具有二阶连续偏导数：(1) ；(2) 10设函数有连续二阶偏导数，证明：(1) ；(2) §9.5 隐函数的微分法在一元函数微分学中，我们曾引入隐函数的概念，并且介绍了利用复合函数求导法求由二元方程所确定的一元隐函数的导数的方法，下面我们介绍隐函数存在定理，并通过多元复合函数微分法来建立隐函数求导公式.一、一个方程的情形定理1(隐函数存在定理) 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则由方程在点的某一邻域内能唯一地确定一个具有连续导数的函数，它满足条件，并有 (9.5.1）公式(9.5.1)就是隐函数的求导公式.上述

32、定理的证明从略仅对公式(9.5.1)作形式化推导.将函数代回到方程中，便得到恒等式方程两端分别对求偏导数，由复合函数求导法则得到由于连续，且，所以在的某邻域内，于是得 例1 验证方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数且当时的隐函数，求这函数的一阶和二阶导数在的值证 令则依定理知方程在点的某领域内能唯一确定一个有连续导数，当时的隐函数函数的一阶和二阶导数为例2 求由方程所确定的隐函数的导数.解 设 ，则 ， 因此 . 隐函数的求导方法可以推广到多元函数既然一个二元方程可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程就可能确定一个二元隐函数. 例如，若一个三元方程确定一个二元的隐函数，代入方

33、程得 应用链式法则，将上式两端分别对求导，可得 ， ，从而在处有 ， .于是，有下面定理.定理2 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数， 且 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 ， （9.5.2）例3 设是由方程所确定的隐函数，求和.解 设 ，则 ， ， 从而有 ， 例4 设是由方程所确定的隐函数， 求 解 令，则注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚例5 设 求解 令， 例6 设其中F具有连续偏导数，且求证:.证 由题意知方程确定函数在题设方程两边取微

34、分，得即有 合并得 解得 从而 ， 于是 二、方程组的情形一个方程情形的隐函数存在定理可以推广到多个方程（方程组）的情形，但推广后隐函数存在定理及求导公式远比一个方程的情形复杂，但是一个方程中求（偏）导数的三种方法（公式法，公式推导法，微分法）中，后两种方法对方程组的情形仍然适用下面通过具体的例子说明方程组所确定的隐函数的导数例7 设 ，求解 由题意知，方程组确定隐函数，在题设方程组两边对自变量求导，并且把看成的函数，得即 （9.5.3）（9.5.3）式看成以为未知量的线性方程组，通过求解线性方程组（9.5.3），得出的表达式，解得 例8 设，求，解法一用公式推导的方法，将所给方程的两边对求导

35、并移项得 （9.5.4）通过求解关于的线性方程组（9.5.4），得出的表达式，令由克莱姆法则，在的条件下，有 将所给方程的两边对求导，用同样方法得法二 由题意知，方程组确定隐函数在题设方程组两边取微分，有把看成未知的，解得即有 ，例9设由方程组所确定，试推导，的公式.解 将所给方程的两边对求导并移项得 即 （9.5.5）通过求解关于的线性方程组（9.5.5）得出的表达式，由克莱姆法则，当时， 同理，将所给方程的两边对求导并移项得 即 （9.5.6）当时，解得 ， 本例求解过程中，要求方程组能确定具有连续偏导数的函数，除对各自变量的偏导数都连续外，还要求线性方程组（9.5.5）、（9.5.6）的

36、系数行列式 （9.5.7）这些假设实际上构成了方程组能确定一组隐函数的条件 我们把（9.5.7）式的行列式称雅可比行列式通常记为习题9-51设，求2设 是常数），求，3设其中为可微函数， 求4设其中为由方程所确定的隐函数， 试求5设而t是由方程所确定的的函数， 试求6求由方程 所确定的隐函数的导数7设方程 确定了隐函数，求 8设其中具有连续的偏导数且 求9设是由方程所确定，其中可微，证明：10设函数是由方程所确定，证明：11求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：(1) 设，求，(2) 设 ，求(3) 设，其中具有一阶连续偏导数，求§9.6 微分学在几何上的应用在前面空间解析几何中

37、介绍了空间曲面、曲线、平面及直线，本节将多元函数微分法应用到几何上，研究如何求解空间曲线的切线方程及曲面的切平面方程一、空间曲线的切线与法平面1空间曲线的参数方程为 ：， （9.6.1）假定(9.6.1)式中的三个函数都在上可导，且导数不同时为零图9-6-1在曲线上取对应于的一点及对应于的一点则曲线的割线方程为：当沿趋近于时，割线的极限位置就是曲线在点处的切线如图9-6-1，用除以上式的各分母，得令（这时），通过对上式取极限，即得曲线在点处的切线方程 （9.6.2）这里不能同时为零，如果个别为零，则按空间解析几何中有关直线对称式方程的说明来理解 切线的方向向量称为曲线的切向量向量就是曲线在点处

38、的切向量通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，它是通过点而以为法向量的平面因此这法平面的方程为： （963）2 若空间曲线的参数方程为： 则可取作参数曲线 问题转化为第一种情形 3 设空间曲线以方程组 （964）形式给出，点，设、的偏导数在处连续，且与线性无关，方程组(9.6.4) 在点的某一邻域内确定了一组具有连续导数的隐函数，若取为参数，则曲线可以由参数方程 （965）来描述，为了求曲线的切线方程，我们不必求得（9.6.5）式的参数方程，只要求出曲线在点处的一个切向量，其中可由方程组 求得从而得到所求的切线方程例1 求曲线在点处的切线及法平面的方程解 点所对应的参数曲线在该点处的

39、切向量于是，切线方程为 法平面方程为 即 例2求曲线，在处的切线及法平面方程解 当时，得切点： 得 切线方程 法平面方程 即例3 在抛物柱面与的交线上，求对应的点处的切线及法平面方程解 取为参数，则交线的参数方程为，则切点，曲线在该点处的切向量于是，切线方程为 法平面方程为 即 例4 求曲线，在点处的切线及法平面方程解 将所给方程的两边对求导并移项，得即由此得，从而故所求切线方程为， 即 法平面方程为，即 二、曲面的切平面与法线若曲面的方程为，点是曲面上的一点，设函数的偏导数在点处连续且不同时为零在曲面上通过点任意引一条曲线（如图9-6-2），假定曲线的参数方程， （966）图9-6-2对应于

40、点且不全为零，则由（9.6.2）式可得曲线的切线方程为现在要证明，在曲面上通过点的任何曲线在点处的切线都在同一平面上事实上，因为曲线完全在曲面上，所以有恒等式又因在点处有连续偏导数，且存在，所以这恒等式左边的复合函数在时有全导数，且这全导数等于零： 即有 (9.6.7)引入向量则（9.6.7）式表示曲线(9.6.6)在点处的切向量与向量垂直因为曲线是曲面上通过点的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一个向量垂直，所以曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点处的切平面这个切平面方程为 (9.6.8）过点且垂直于切平面（9.6.8）的直线称为曲面在该点处的法线（如图9-6

41、-2），法线方程为 (9.6.9)垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量向量就是曲面在点处的法向量现在考虑曲面方程 （9610）令 ，则有 ，当函数的两个偏导数在点处连续时，曲面（10）在点处的法向量为切平面方程即 （9611）而法线方程为（9.6.11）式右端恰好是函数点的全微分，而左端是切平面上点的竖坐标的增量因此，函数在点的全微分，在几何上表示曲面在点处的切平面上点的竖坐标的增量例5 求曲面 在点处的切平面及法线方程解 令 切平面方程为,即 法线方程为 .例6 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程解 令切平面方程为, 即 法线方程为.例 7 求曲面 的平行于平面的切平面方程解 设切点为

42、,则法向量为依题意，所求切平面平行于已知平面，得 即 （9.6.12）将（9.6.12）代入曲面方程，得当时，对应切点，得切平面方程(1) 即 当时，对应切点，得切平面方程(2) 即例8求曲面上同时垂直于平面与的切平面方程解 设则曲面在点的法线向量为由于平面的法线向量平面的法线向量而同时垂直于与所以平行于又所以存在数，使得即，解之得，将其代入原曲面方程，求得切点为和，因而，所求的切平面方程为，即和，即.习题9-61求曲线在对应于处的切线方程及法平面方程2求曲线在点处的切线方程和法平面方程3若平面与椭球面相切, 求4求球面在处的切平面与法线方程5曲面过点，且满足，求此曲面过的法线与面的夹角6求曲

43、面在处的切平面与法线7曲面过，且，求曲面在处的切平面方程8试证由曲面上任一点处的切平面与三坐标面围成的立体体积为一定值9求曲线在处的切线与法平面10 曲线在处的切向量与轴正向成锐角，求此向量与轴正向的夹角余弦11求曲线在处的切线与法平面12曲线在某点处的切向量与三个坐标轴正向的夹角相等，求此点坐标13求球面被锥面所截曲线上点处的切线与法平面§9.7 多元函数的最优化问题 在工程实际中，许多最优化问题都可以归结为求多元函数的最值问题例如，火电厂机组负荷的经济分配问题、电力负荷预测问题、发电竞价等优化问题其核心都是求多元函数的最值与一元函数相类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题一、无条件极值极值的概念定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，如果对任何，都有 则称是的一个极大值(极小值)， 极大值与极小值统称为极值；点称为的极大值点(极小值点)，极大值点(极小值点)统称为极值点图9-7-1例如，函数在点处取得极小值 (见图9-7-1)，而函数(补图9-7-2)在点处既不取得极大值，也不取得极小值，因为在处的函数值为零，而在点的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点图9-7-2对于可导的一元函数，我们知道在点处有极值的必要条件是，对于多