微积分中值定理习题

1、第三章中值定理与导数的应用§1中值定理证明：当x>1时，ex>e.xo二、证明方程x5+x-1=0只有一个正根。三、设f(x)、g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明在(a,b)内有一点£,使得f(a)f(b)f(a)f*也)=(ba)g(a)g(b)g(a)g'(与四、证明：若函数f(x)在(HO,如C)内满足关系式fx)=f(x),且f(0)=1,则xf(x)=e。n阶导数，且五、设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有f(0)=f0)=f(n-1)(0),试用柯西中值定理证明：上区=一也，0<8<1xnn!§2洛必达

2、法则求下列极限(1)limx_0cos(sinx)-1(3)limx023xx-arcsinxlimX13sinxlncos(x-1)1-sin2x(4)limln(x-1)-xcot-=x1-2x1arcsinxx2(5)lim()=x0xx：:.1x1x：:.11a-b-c-其中a+b+c#0。泰勒公式(6)lim(),x.0ab-c§3求函数f(x)=tanx的二阶麦克劳林公式。求函数f(x)=xex的n阶麦克劳林公式。、当x0=4时，求函数y=Mx的三阶泰勒公式。当x0=1时，求函数f(x)=x2lnx的n阶泰勒公式。§4函数单调性的判定法一、确定下列函数的单调区间

3、：2(1) y=2x_lnx；(2)y=:；(2x-a)(ax)2,(aa。)二、证明：当x>。时，1+xln(x+di+x2)>%；1+x2；三、设在a,b上f“(x)>0,证明函数中(x)=f(x"f在(a,b上是单调增加的。x-a§5函数的极值及其求法一、求下列函数的极值：(2) y=V3arctanx-2arctan子；3(3) y=excosx；xw(0,2n)(4) y=(2x一5)Vx21一、试问a为何值时，函数f(x)=asinx+sin3x在x=处取得极值？匕是极大值还33是极小值？并求出此极值。四、讨论方程lnx=ax(其中aA0)有几

4、个实根？§6最大值、最小值问题一、求函数f(x)=x42x2+5在一2,2上的最大值与最小值。二、设f(x)=nx(1_x)n(nWN),求(1) f(x)在0,1上的最大值M(n);(2) limM(n)n_)二三、要造一圆柱形油罐，体积为V,问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高之比是多少？四、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗(图见P195的图319),问留下的扇形的中心角平取多大时，做成的漏斗的容积最大？§7曲线的凹凸与拐点一、求曲线y=x4(12lnx-7)的拐点及凹凸区间。二、试决定y=k(x2-3)2中k的值，使曲线的拐点处

5、的法线通过原点。xyx,iy一一一一一一一一.e-"e三、利用函数图形的凹凸性证明不等式：ee2(x二y).2四、设y=f(x)在x=x。的某邻域内具有三阶连续导数，如果fx0)=0,f"(x0)=0,而f"(x0)#0，试问x=x0是否为极值点？为什么？又(x0,f(x0)是否为拐点？为什么？§8函数图形的描绘§9曲率、描绘下列函数的图形:二一(2)y、对数曲线y=lnx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。2xy四、证明曲线y=ach在点处(x,y)的曲率半径为工。aa习题课、设f(x)在0,a上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0,证明存在一点3w(0,a),使f(0+&fY)=0。、设0<a<b,函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，试利用柯西中值定理证明：b存在一点亡w(a,b),使f(b)-f(a)=之f(W)In一。a设f(x),g(x)都是可导函数，且f"(x)cg'(x),当x>a时，f(x)-f(a)rg(x)g(a)。四、证明不等式：当n0<x1<x2<时,2tanx2x2有tanx1x12x丁、江.x，五、设f(x)=，x+2,x0，求f(x)的极值。xE0六、设函数f(x)在a,十a)上