概率论与数理统计习题解答(第8章)

1、第八章假设检验三、解答题1.某种零件的长度服从正态分布，方差a=1.21,随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为32.46,31.54,30.10,29.76,31.67,31.23在显著性水平a=0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度XN（也仃2）,则需要检验的是：2,X-0由于仃已知，选取Z=为检验统计量，在显著水平a=0.01下，H0的拒绝域为:二n|z|_Z=|ZI-Z0.005)查表得Z0.005=2.575829,现由1 nn=6,X=%xi=31.12667,二=1.1,%=32.50ny计算得:31.126

2、67-32.51.16=3.05815zAZ0.005可知，z落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝H0,不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。EXCEL实验结果:D8口F（D6）二%拒绝刖，不能拒绝ABC1DEF1/=32.&232.46方差1=1.21331,54观测数n-6430.1样本埼值X=3L12667529.76显著水平a-0.01631.67检魄统计量工一出=-rr=-3*05815731.23临界点2.575B29S卜晚的I12 .正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54,67,68,78,70,66,67,65,69,

3、70已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平a=0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数XN（N,。2）,则需要检验的是：H0：-口。Hi:二J：。X-L由于万差未知，选取T=为检验统计量，在显著水平a=0.05下，H0的拒绝域为：s.n|t|-t：2(n-1)=|t|-t0.05/2(9)查表得t0.025(9)=2.26215716,现由n=10,_1nx=Xini1=67.41ns2x-Xn-1id=35.1555556,计算得=2.4533576X-0I_|67.4-72|svn35.155

4、555610t10.025(9)可知，t落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝H0四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。1DS一氏二卬拒绝不能拒绝小T）BCDB1F1唐=72254=35.15555636?观测数.=1046E样本均值67.口578显著水平QL-0.05670检验统计量(=77X=-2.453353766临界点f(LZ2&T=2,262157286719&510&911703 .从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值X=11958,样本均方差s=316.设发热量服从正态分布，在显著性水平a=0.05下，是否可认为该试验物发热量的平均值不大于12

5、100?解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量xN（N,ct2）,则需要检验的是：HQ：。H1：此为右边检验，由于方差未知，应选用t统计量检验，在显著水平a=0.05下，H0的拒绝域为Jt=I-/；-ta（n-1）-=-t0.05（24-1）由表得05（23）=1.714,现有n=24,X=11958,s=316,卜=12100计算得到0X-匕t-0=-2.20144225Hi：2-1.7531S.n可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝显著不小于225小时。T143标=中（凶12.0301现有n=36,x=66.5,s=15,7=70计算得到=1.42.0301

6、可知，t为落入拒绝域中,故在0.05的显著水平下应接受H0,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。（2）按题意需检验2222H0：仃=16H1:仃016取检验统计量2=（n-1）s2，在显著水平为a=0.05下，H0的拒绝域为短收51）力3*/3（。一1）即切.975（35022.025（35）计算得2频侬）=20.569,20.025（35厂53.2032._2-2由n=36,x=66.5,s=15,仃0=16，而/（n-1）s2351515上十2-=30.76172,由于；-21616-020.56930.7617253.203，则统计量2为落入拒绝域中，不能拒绝H0,可以认为这次考

7、试考生的成绩的方差为162。6 .某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差仃2=5000（小时2）的正态分布现有一批这种电池，从它生产情况来看，寿命的波动性有所变化.现随机的取26只电池，测出其寿命的样本方差S2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（显著性水平a=0.05）?解：按题意需检验H0:仃=117.86，S1=4.53,S2=4.86,F=S_=4.53-4.53=0868808未落入拒绝域，不能拒绝”,X224.864.86.=5000Hi：仃2=5000取检验统计量为72=(n_2s,在显著水平=0.05下，H0的拒绝域为

8、：二0927-2(n-1)加化2.2(25)kj22(25)-1_40.64647落入了5000H0的拒绝域，应该拒绝H0,即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化。7.对7岁儿童作身高调查结果如下所示，设身高服从正态分布，能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响(显著性水平a=0.05)?(提示：先做方差齐性检验，再做均值检验.)性别人数(n)平均身高(X)标准(S)男384118.644.53女377117.864.86解：设男孩的身高服从X1N(k1,cr12),女孩身高服从X2N(P-2,0-22)。根据题意需对量总体的均值进行比较，由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验

9、，即检验仃2和仃2,12是否有显著差异，然后再检验N和n是否有显著差异。12(1)检验假设H0:CT2=CT2H1:CT2#仃2由于9，N2未知，选取统计量F=s2/s2,在显著水平0=0.05下，拒绝域为：*HF1二式小一1，止一1)F-F：2(n1-15n2-1),即1MF0.975(383,376)：1FF。.025(383,376)计算得F0.975(383,376)=0.817555，F0.025(383,376)=1.223391拒绝域为F0.817555If之1.223391h由观测数据得到q=384,n2=377,L=11864,X1在0.05的显著水平下，可以认为性别对儿童身

10、高的方差无显著差异。（2）根据（1）的结论，可以在门2_仃2的条件下检验假设-1-2H。：匕=匕Hi：匕,匕选kxix2为检验统计量，在显著水平a=0.05下，H0的拒绝域为:11Snin29遂咸g+n-)Ml4.025(759)计算得t。./759)/现3094。t二X1-X2；(nT)S12*(n2-Ds：乂二Jn1n2-21n1年计算So再求出t得118.64-117.86(384-1)4.354.35(377-1)4.864.8611IX；-，+_rr384377-2384377=2.290739-t1.963094可知，t落入H0的拒绝域中，故在0.05显著水平下应拒绝H0,认为性别

11、对儿童身高有显著差异。8 .某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布，按规定产品尺寸的方差a不得超过0.1,为检验该自动车床的工作精度，随机的取25件产品，测得样本方差S2=0.1975,X=3.86.问该车床生产的产品是否达到所要求的精度（显著性水平a=0.05）?解：按题意需检验H0：仃236.41503落入H0的拒绝域中,故在0.05的显著水平下应拒绝H0,认为床生产的产品没有达到所要求的精度。9 .一台机床大修前曾加工一批零件，共n1=10件，加工尺寸的样本方差为s2=25（mm2）.大修后加工一批零件，共出=12件，加工尺寸的样本方差为s；=4（mm2）.设加工尺寸服从正态分布，问此机床

12、大修后，精度有无明显提高（显著性水平=0.05）?解：按题意需检验H0：仃2至仃2Hi：仃2-2.2735未落在H0的拒绝12F26.25S24域中，故在0.05显著水平下，应接受H。，可认为此机床大修后，精度有明显提高。10.由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套数学试卷进行测试，成绩如下表：试卷A78637289914968768555试卷B71446184745155607739假设学生成绩服从正态分布，试检验两套数学试卷是否有显著差异（显著性水平a=0.05）.解：本题中的每一行数据虽然是同一张试卷的成绩，但10个数据的差异是由10个不同学生造成的，因此表中的每一行都不

13、能看成是一个样本的观察值，再者，对每一对数据而言，他们是同一个学生做不同试卷的成绩，因此它们不是两个独立随机变量的观察结果，因此，我们不能用两独立样本均值的t检验法作检验。而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两套试卷本身的差异所引起的。所以，构造新的随机变量Z=XY,有ZN（吗。2）,其中卜=卜一口，仃2=仃：十2,则乙二Xi-丫/=1,2,.为z的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异乙,Z2.Zn属于随机误差，随机误差可以认为服从标准正态分布，且其均值为零。故问题可以转化为检验假设H0:二二0,H1:0设2122.2口的样本均

14、值为z，样本方差为2s,采用单个正态分布均值的t检验，拒绝域为:z-0s/，n-t：/2(9)=t0.025(9)=2.2622,由n=10,Z=11,s2=42.667可得t=5.3252.2622,所以拒绝h。，在显著性水平=0.05下，可以认为两套数学试卷有显著差异。错误解法：设试卷A的成绩服从XN(k1,i12)，试卷B的成绩服从XN(k21a|),根据题意，需要进行两总体的均值比较，但由于两总体方差未知，需要首先进行方差齐性检验，即仃2和仃2是否有显著差异，然后再检验r和R是否有显著差异。1 212(1)检验假设2222H0:二1-:-2H1:O12由于N和N未知，选取统计量f=$2

15、/$2，在显著性水平口=0.05下，拒绝域为：年MF1.M(n1，n2-1F-F二乂仆一1，一1):柳、.三F5e：始一个遁融计算得F0.975(9,9)=0.248386，FQ25(9=4.025994。拒绝域为fM0.248386Uf4.025994。由观测数据得到n=10,n2=10,X=72.6,y=61.6,S：=198.0444，S：=217.8222，2SxS2198.0444217.8222=0.9092020.2483860.9092024.025994则F未落入Ho的拒绝域中，不能才I绝H。,在0.05的显著水平下，可以认为两试卷成绩的方差无显著差异。(2)根据(1)的结论

16、，可以在仃2=仃2的条件下检验假设Ho：N=NH1：N1212选统计量X公为检验统计量，在显著性水平a=0.05下，H0的拒绝域为:t=，yc11Sn1n2t-t2(n1?-2),it=0.025(18)，计算得tM18)=2.1009222.100922=1.705751计算得t-)1 .2,.2g-1)Sx(n2T)Synf1.12 ；_2卜1I讣F2nn1作H0,认为两套试卷的成绩可知，t为未落入H0的拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受无显著差异。四、应用题1 .某部门对当前市场的价格情况进行调查.以鸡蛋为例，所抽查的全省20个集市上,售价分别为(单位：元/500克)3.053.3

17、13.343.823.303.163.843.103.903.183.883.223.283.343.623.283.303.223.543.30已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右，假设鸡蛋的销售价格服从正态分布，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年(显著水平口=0.05)?解法一：设鸡蛋的平均售价为N,若设鸡蛋的销售价XN(%仃2),按题意需检验H0：Jta(n-1)Htt0.05(19)=t至1.729LSn/JnJ由样本观测值计算得到=3.40,o1noS2=、(Xi-X)2=0.0724n-1yt=X_0sn/，n_3.40二3.25_0.26901%20=2.47

18、61.729由于t=2.476落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝H0,可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年。解法二：这是单个正态总体均值比较的问题，若设鸡蛋的销售价XN(N,ct2),则需要检验的是：H。：-。Hi：。X-这是左边检验问题，由于万差未知，选取T=。为检验统计量，在显著水平a=0.05sn下，拒绝域为：twt(n-1)=t工与.05(19)查表得-to.05(19)=-1.72913,现由-1nC2n=20,x=Xj=3.399,snj41n2V八“Z（X-X）=0.072409,n-1jj3.399-3.25计算得=2.476302+_X-0t一sn0.07240920t-t0.05(19)可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝H0,可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年。注意：本题方法二没有方法一好，想一想为什么？2 .有若干人参加一个减肥锻炼，在一年后测量了他们的身体脂肪含量，结果如下表所示：男生组：13.319208182220312112161224女生组：2226161221.7