2014考研数学三阶测试题讲义

1、2014VIP 数学模拟测试一一、 选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 请将所选项的字母填在答题纸指定的位置上。1.、当 x ® 0 时，下面 4 个无穷小量中阶数最高的是（A） 1+ x2 - 1- x25（B）1- cos x0（D） ò（C） ln(1+ x ) -ln(1- x )33sin t dt2f (x) 在区间0, 2p 内不可导的点共有, 则（B）1 个2、设 f (（A）0 个（C）2 个（D）3 个3、设 D = ( x, y) | x + y ³ 1, x2 + y2

2、 £ 1，则 I = òò(x2 + y2 )ds 的值为Dpppp8112-（A）.（B）（C）（D）8386834、设 f (x, y) 有连续的偏导数且 f (x, y)( ydx + xdy) 为某一函数u(x, y) 的全微分，则下列等式成立的是¶f（A）= ¶f（B） x ¶f= y ¶f.¶x¶y¶x¶y（C） -x ¶f= y ¶f（D） x ¶f= y ¶f¶x¶y¶y¶x5、设矩阵 A

3、是秩为 2 的 4 阶矩阵，又a1,a2 ,a3 是线性方程组 Ax = b 的解，且a + a - a （= 2, 0，-5 , ）4T， a + 2a （=32, 1 ,）3T，, 3a - a（2 =2，,-42,）1T1232331则方程组 Ax = b 的通解 x =é1ùé 2 ùé 1 ùé-2ùé 2 ùé1ùê4úê 2 úê-4úê-4úê 2 úê

4、;8ú（A） ê ú + kú + kêêú（B） êú + kú + kêê úê1ú1 ê-2ú2 ê-6úê 3 úê-1ú1 ê-2ú2 ê2úê 1 úê5úê1úê 1 úê 2 úë ûë

5、;ûëûëûëûë ûé-2ùé 2 ùé 2 ùé 1 ùê 0 úê 2 úê-4úê12ú（C） êú + k êú（D） êú + k êúê-5úê-2úê 4 úê 1 ú

6、34;-1úê 8 úê 2 úê- ú1ûëûëûëûë6、设A 是 m ´ n 矩阵，则下列 4 个命题1若 r( A) = m ，则非齐次线性方程组 Ax = b 必有解；若 r( A) = m ，则齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解；若 r( A) = n ，则非齐次线性方程组 Ax = b 有惟一解；若 r( A) = n ，则齐次方程组 Ax = 0 只有零解中正确的是（A）（B）（C）（D）7、（一、三）在下列函数中，

7、可以作为随量X 的分布函数是（ ）ìïïìïïx < 0<x < 0<0,0,p6p2（A） F (（B） F (ïïïîìïïïïïîx ³ p6x ³ p21,1,ìïïx < 0<x ³ px < 0<x ³ p0,0,p6p2（C） F (（D） F (2ïïïï

8、ïîï1- sin x,1,î22且都服从参数为 l 的指数分布，则下列随量中服从参数 2 l 的指数分布的量 X1和X2 相互8、（一、三）设随是（ ）（A） X1 +X2（B） X1 -X2（C） max( X1, X 2 )（D） min(X1, X 2 )二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将写在答题纸指定的位置上。arcsin x - sin x=.9、 limx®0 arctan x - tan xp10、设 n 为正整数，则ò 0sin nx dx =.ex11、曲线 y =的凸区间是.3 + x1

9、2、函数 f ( x) = ex sin x 的带皮亚诺余项的五阶麦克劳林公式是。13、已知矩阵 A = (a1 ,a2 ,a3 , b1 )， B = (a3 ,a1,a2 , b2 ) 都是4 阶矩阵，其中 a1 ,a2 ,a3 , b1 , b2 均是 4 维列向量。若A = 1, B= 2 ，则A - 2B=。2é 4aù514、已知矩阵 A = ê-2-2 1ú 只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A 的特征向量是。êêë-1ú-1 1úû三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将

10、15、（本题满分 10 分）写在答题纸指定的位置上.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.2dydx作变换t = tan x, 把方程cos+ y = tan x 变换成 y 关于t 的微分方程，并求原方cos x)dx程的通解.16、（本题满分 10 分）由曲线 y = 1- x2 与直线 y = a(0 < a < 1) 以及 x = 0, x = 1围成的平面图形（如图的阴影部分）绕x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积为V (a) ，求V (a) 的最小值与最小值点。y1aD1D21- a2O1x17、（本题满分 10 分）ln(1- x + 2x2 ) + a sin

11、 x + bx25= .2确定常数 a与b 的取值，使得limx2x®0.18、（本题满分 10 分）0-4 - x24 - x22计算 I = òdxò(x2 + y2 )dy +dx (x2 + y2 )dy.2-219、（本题满分 11 分）3¶2 z¶2 z¢¢设 z = z(x, y) 有二阶连续偏导数， 且满足 ¶x2z1¢¢1 (x, 2x) 与 z1¢¢2 (x, 2x) .- ¶y2= 0 ，若有 z(, z (x, 2x) = z (x, y)

12、|= x , 求2y=2x1xé0ê1100000120ù0ú20、（本题满分 11 分）已知矩阵 A = êú ，ê0ê02ú4úëû（I） 求可逆矩阵P，使( AP)T ( AP) 为对角矩阵；（II） 若 A + kE 正定，求k 的取值。21、（本题满分 11 分）已知 A = (a1 ,a2 ,a3 ,a4 是 4 阶矩阵， a1 ,a2 ,a3 ,a4 是 4 维列向量， 若方程组 Ax = b的通解是(1, 2, 2,1)T + k(1, -2, 4, 0)T ，又 B = (a ,a ,a , b -a ) ，求方程组 Bx = a -a 的通解。32141222、（本题满分 11 分）¥(-1)nån=1x 的收敛半径 R ，收敛域 D 与和函数 S (x)2n（数一、三）求幂