线性代数试题及答案-线性代数试题

1、 专门收集历年试卷1 专门收集历年试卷、单项选择题（本大题共一个是符合题目要求的,第一部分 选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。a11a12=m,a13a11=n，则行列式a11a 12+a13a 21a22a23a21a21a 22+a 23等于（1设行列式1B. - (m+n) D. m- nA. m+nC. n- m2设矩阵A=A.00，则A-1等于（3B.C.1303设矩阵A. -6C. 2D.,A *是A的伴随矩阵，贝U A中位于（1, 2）的元素是（B. 6 D. -24. 设A是方阵，如有矩

2、阵关系式AB=AC ,则必有（A. A = 0C. A =0 时 B=C5. 已知3X 4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A. 1C. 36. 设两个向量组A. 有不全为B. 有不全为C. 有不全为D. 有不全为a 2,，a s禾口 3入1 ,入2，入s使入入1,入2，入s使入1 （ a 1+ 3 1） +入2 （ 入1 ,入2，入s使入1 （a 1- 3 1） +入2 （ 入1,入2,，入s和不全为0的数入s a s=0禾口卩1 3 1+卩2 3 2+7. 设矩阵A的秩为r，则A中（A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，A. n 1

3、 + n 2是Ax=0的一个解a 1 ,0的数0的数0的数0的数)B. B =C 时 A=0 D. | A| = 0 时 B=CAT)等于()B. 2D. 41, 3 2,，3 s均线性相关，则()1 a 1+ 入 2a 2+ + 入s a s=0 禾口 入 1 3 1+ 入 23 2+入 s3 s=0 a 2+ 3 2 )+ + 入 s (as+3s)=0a 2- 3 2 )+ + 入 s (as-3s)=0卩s使入1 a 1+入2 a 2+卩1 ,卩2,- + s 3 s=0)B.所有r- 1阶子式全为D.所有r阶子式都不为2是其任意2个解，则下列结论错误的是（11C.n 1-n 2是Ax

4、=0的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（B. n什 n 2是Ax=b的一个解22D.2 n 1-n 2是 Ax=b 的一个解）2 专门收集历年试卷A. 秩（A）< nB.秩（A ）=n- 1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10. 设A是一个n（> 3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数入和向量a使A a =入a,则a是A的属于特征值 入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a，使（入E- A） a =0,则入是A的特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a 1 , a 2, a 3依次是A的属于入1,入

5、2,入3的特征向量，贝U a 1, a 2 , a 3有可能线性相关11. 设入o是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入°的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（ ）A. k < 3B. k<33 专门收集历年试卷勺 4B.¥ 6丿1 1 1 "D. 120Q 0 2非选择题（共72分）2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每C. k=312. 设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（2A.|A|必为1C.A- 1= AT13. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14. 下

6、列矩阵中是正定矩阵的为（）'23 A.吃4丿'1 0 0 'C. 02电 -35第二部分二、填空题（本大题共 10小题，每小题 小题的空格内。错填或不填均无分。D. k>3）B.|A必为1D. A的行（列）向量组是正交单位向量组B= C AC .则（）# 专门收集历年试卷# 专门收集历年试卷15.925彳一 1 ',Z123",B=Q 11丿U亠416 =36.则A+2 B=16.设 A=17. 设 A=(aij)3 x 3 , |A |=2 , Aj表示|A |中元素 aj的代数余子式(i,j=1,2,3 ),则2 2 2(a11 A21 +a

7、12A22 +a13 A23) +(a 21A21 +a22A22 + a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.18. 设向量(2, -3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，贝Ua=.19. 设A是3x 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20. 设A是m x n矩阵，A的秩为r（<n），则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21. 设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a + B与a - 3的内积（a +3 , a - 3 ） =设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值

8、-1和4,则另一特征值为 .4 专门收集历年试卷5 专门收集历年试卷f 0106、1_3_3,已知a =_11108<2>23.设矩阵A=是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为.24.设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为 3,则其规范形为三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)120、'23_1'340,B=占40丿<-12b25.设 A=31213.求（1） ABT; （2） |4A|.26.试计算行列式_1A27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程 AB =A+2B.广1、'3、<0、1-30-10

9、,a 2=2,a 3=2,a 4=4宀I4L103丿a 2 ,028.给定向量组a 1=a 3的线性组合；若是，则求出组合系数。2 试判断a 4是否为a*1-21,-129.设矩阵A=-2求：(1)秩(A);(2) A的列向量组的一个最大线性无关组。*030.设矩阵A= /-2的全部特征值为1 ,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31. 试用配方法化下列二次型为标准形f(X 1 ,X2 ,X3)= x f 2x2 _3x 3 ' 4x1 x2 4 x 1 x 3 4x2x3 , 并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共 2小题，每小题5分，共10分)332.

10、设方阵A满足A =0 ,试证明E- A可逆，且(E- A)33. 设n 0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，E 试证明(1) n 1 = n o+E 1, n 2= n o+E 2均是 Ax=b 的解；(2) n 0, n 1, n 2线性无关。答案：一、单项选择题(本大题共1.D2.B6.D7.C14小题，每小题2 分,3.B4.D8.A9.A-1 2=E+A+A .E 2是其导出组Ax=0的一个基础解系.28分）5.C10.B6 专门收集历年试卷11.A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共 10空，每空2分，共20分)15. 633 716.口二7丿16. 417. -101

11、8. n 什c( n 2- n 1)(或 n 2+c(n 2- n 1), c 为任意常数19. n- r20. -521. t26分，共42分）22. 124. zf -.-z2 -.-z： z：三、计算题（本大题共 7小题，每小题<120、*225.解(1) ABT=34034L12b'<-1o86 "=18 10 .<3103(2) |4A|=4 |A|=64|A而120|A |= 340=-2.-121所以 |4A|=64 (- 2) =- 12826.解31251-1 1-513-41113-0 0 10-5-5302011-537 专门收集历年试

12、卷# 专门收集历年试卷511-111-1511-620-5-50-5-50-62=30 +10 =40.-5-527.解 AB =A+2B 即(A- 2E) B=A，而,Z223、厂1-4(A -2E) -1=1一01-5L121丿64丿1-4J423所以B=( A- 2E)-1A =1-511064丿V123.丿8 专门收集历年试卷护 1299 专门收集历年试卷1035 '0112008800_14_14'1002"01010011电00029.解-2x 1 +x 2 +3x 3=0x 3x2=_1即 *2X2+2x3=43x 1 L '+4x2_x3=9.

13、方程组有唯一解(2,1,对矩阵A施行初等行变换1-2一 02000 6-2A032 8-2963/丿1)T，组合系数为2， 1, 1)Z_2130 ''0_53_2)1401_30_102240 11234二 9 £ 13_1 12 丿28.解一勺035"i0 112001100 0；所以a 4=2 a 1 + a 2 + a 3,组合系数为(2 , 1, 1)解二 考虑 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3a 3 ,(1-2-102 "11-2-102、10328-30328-3=B0006-20003-100-217 J0000 J(1 )

14、秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)30.解 A的属于特征值 入=1的2个线性无关的特征向量为 E 1= ( 2, - 1, 0) T,E 2= (2, 0, 1) T.f 厂、2时5 /525/15经正交标准化，得n 1 =/5,n 2=4 亦/15< 0丿用/3丿入=-8的一个特征向量为<1、f 1/ 3、E 3=2，经单位化得n 3=2/ 3'

15、;2 v'5 / 52J75/15所求正交矩阵为T = t'5/5 4 75/15075/31 /32 /3_2 / 31 0 0对角矩阵 D = 0 1010 专门收集历年试卷# 专门收集历年试卷# 专门收集历年试卷31.解1 / 32 /3.)/3 ;r.-y 1 =x 1+2x2 2x3设 y2=X2-X3 ，y3 二x3彳-2因其系数矩阵C= 010 0X1 =y1 2y2即M2 =y2 +y3、& =y301可逆，故此线性变换满秩。1丿'2 V5 / 52用/15(也可取T =0-J5/3&5/5.<5/152 2 2f(x 1，X2， X3)= ( x 1+2X2- 2X3)- 2X2 +4X2X3- 7X3 =(X1+2X2- 2X3) 2- 2 ( X2-X3) 2- 5X32.经此变换即得f（x 1，X2，X3）的标准形2c2厂2y1 - 2y2 - 5y3 .四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共10 分）32. 证 由于（E- A）（ E+ A+A2）= E- A3= E,所以E- A可逆，且（E- A） -1= E+A+A2 .33. 证 由假设 An 0= b, AE 1=0, AE 2=