利用导数证明不等式之构造函数法【有答案】

1、利用导数证实不等式之构造函数法题型一：移项作差构造函数1、解题思路第一步：判断所证实不等式是否符合移项作差构造函数的特点将证实不等式fxgx(fxgx(的问题转化为证实fxgx0(fxgx0,进而构造函数hxfxgx.第二步：符合后构造函数,利用导数研究函数的单调性；第三步：函数问题转化回不等式问题,得出结论.点拨构造的函数前提是要可导,求导过程较容易,多是整式且最多利用二次求导研究其单调性问题.比方：不等式UU(证实时,直接移项作差构造的函数fx七"(lnx2lnx2求导过于复杂且无法利用导数快速研究其单调性；2、经典例题1例1：(2021春-办州期末)函数f(x)ln(x1)x,

2、求证：当x1时,恒有1ln(x1)x.x1思路分析第一步：判断不等式特点,右边不等式移项作差直接可以利用函数证实,左边不等式移项作差构造函数g(x)ln(x1)1(,可直接求导研究函数单调性,都符合移x1项作差构造函数特点；第二步：分别利用导数求解函数yfx和ygx的单调性和最值；第三步：转化回不等式问题,得出结论.1x解析证实：Qf(x)1x1(x1x1.,当1x0时,f(x)0,即f(x)在x(1,0)上为增函数当x0时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上为减函数,故函数f(x)的单调递增区间为(1,0),单调递减区间(0,),于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)

3、0,因此,当x1时,f(x)f(0)0,即ln(x1)x0,.-.ln(x1)x(右边得证),现证左边,令g(x)ln(x1)1,那么g(x)-1-2一Jx1x1(x1)(x1)当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0,即g(x)在x(1,0)上为减函数,在x(0,)上为增函数,故函数g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0,1,当x1时,g(x)g(0)0,即ln(x1)10(x11 1.1.ln(x1)1,综上可知,当x1时,有1ln(x1)x.x1x1点拨双边不等式要分成左右两边分别证实,多数情况其中一边可利用条件易证.3、举一反三练1：(2021春-无锡期

4、中)函数fx1x21ax2alnx.设a0,证实：当0xa时,axfax,可直接求0;faxfax思路分析第一步：判断不等式特点,移项作差构造函数导研究其单调性,满足移项作差构造函数特点;第二步：研究函数ygx单调性,证实其函数值恒小于第三步：转化回不等式问题,得出结论解析证实：令gxfaxfaalnax2xalnaxalnax所以a2x-2axa0,a上是减函数,而gxa时,faxfax点拨自变量只有一个时要构造同一函数,不要和之前恒成立中两个变量题型混淆O练2：(2021春-绍兴期中)函数f(x)=lnxax2a2ax1aaxalnax.(1)讨论f(x)的单调性；3(2)当a0时,证实f

5、(x)2.4a思路分析第一步：求解第一问,分类讨论,分a0和a0两种情况,研究函数的单调性;第二步：求解第二问,证实f(x)祗2,即证®x:2,由第一问f-1第三步：移项作差构造函数.,11ln()1)即ylnt1tt2a2a10,利2a用导数易得ymaxy(1)0,即得证.2ax2(2a1)x1(2ax1)(x1),解析(1)f'(x)()()()(x0)(,xx当a0时,f'(x)0,那么f(x)在(0,)单调递增,当a0时,那么f(x)在(0,2)单调递增,在)单调递减.(2)由(1)知,当a0时,f(x)maxf(A,1311f(短(w2)1n(短豆1(,1萌

6、°,那么y't1°,解得t3y在(0,1)单调递增,在(1,)单调递减ymaxy(1)0,.y0,即3f(x)max(4a2),f(x)2a为自变量,再移点拨此题第二问与恒成立问题类似,先转化为求最值问题,然后以变量项作差构造函数证实.题型二：构造形似函数1、解题思路第一步：判断所证实不等式假设不符合直接移项作差构造函数的特点,就需要构造形似函数,对原不等式同解变形,如移项作商、通分、取对数、换元等技巧；第二步：变形后直接应用或移项作差构造函数,利用导数研究函数的单调性；第三步：函数问题转化回不等式问题,得出结论.2、经典例题2x例2:(2021春-苏州期中)证实以

7、下不等式：sinx0,x0,-思路分析法1.(判断所证实不等式符合移项作差构造函数的特点,可直接移项作差构造函数求导求解证实,过程略；法2.(类比别离参数,将变量移到不等式一端,移项作商变形为sinxx2,然后构造函数sinx.fx,利用导数研究其单调性最值,再转化回不等式问题.x解析原不等式等价为xcosxcosxtanxsinx2sinx'xcosxsinx.,令fx;那么fxcosxxtanx(Qxcosx0,x0,_2上单调递减,2xx,x0,.2点拨1、移项作商满足的特点一般是不等式两端存在分式且均含有变量,变形方向在保证构造函数可利用导数研究单调性的前提下,尽量使不等式一端

8、为常数.2、构造函数的方法不唯一,尽量选择构造的函数比拟好求导的技巧.例3：(2021秋-无锡期末)fxlnx,gx衣-L(1)当x1时,求fxgx的最大值;求证：4FN*1恒成立思路分析第一步：求解第一问,设Fxfxgxlnx加二,xx1,求导利用单调性即可得其最大值.第二步：求解第二问,双边不等式分别证实,先证实左边,由第一问得出变形即得证左边不等式x七lnx第三步：右边不等式由前面分析,移项作差构造的函数过于复杂,利用导数很难研究其单调性,所以要适当进行变形,移项通分等价于注一2lnx0,由x的取值范围可知分母大于零,所以只需证实分子小于0即可,构造函数Gxx1lnx2x1,x1,求一-

9、次导研究其单调性,得出GxG10,从而得证.解析(1)设FxfxgxlnxTx,x1,那么所以Fx在区间1,(2)左边不等式:2xx12xx内单调递减,1得,对1,0,x的最大值为F都有fxgxlnxJx-xQx10,lnx0,右边不等式：将不等式移项通分,变形为2x1x1lnx2lnx0,所以等价于证实x1lnx2x1lnx2,x1Clnx2xinx1xxlnxx1xlnxx1,x所以x在区间1,内单调递增,所以x在区间1,内单调递增,0,即得证x1lnx2x0,再由条件可得知分母的符号,等转化为正式不等式求解.点拨移项通分构造函数通常通分使不等式一端为价转化为只需证实分子的正负,类比求解分

10、式不等式时,3、举一反三,lnxa,一一fx,一,、一fx1练1:2021秋-绍兴期末函数x,当a1,且x1时,证实：fx1.lnx1思路分析第一步：不等式变形,a1时,即证fx1,移项通分后只需证实xlnx1x0第二步：构造函数,令hxxlnx1,利用导数研究函数单调性及最值,得出x1时,hxh10第三步：转化回不等式问题,得出结论解析当a1时,fx0二,即证旧土1,移项通分得1nx1x0,xxx又由于x1,所以只需证实lnx1x0,1x令hx此*1*1,贝1八*0,x所以hx在1,单调递减,所以hxh10,即fx1.in11练2:(2021盐城期末)证实：对任意的正整数n,不等式nnn都成

11、立.思路分析从所证结构出发,假设直接换元构造函数,即令nx,那么所构造函数解析式是复合1函数,求导过于复杂,所以此时可以令1X,将构造函数简化,易于求导.n1X23第一步：令n,即证X0,时,lnX1XX(32第二步：构造函数,令hXXXlnX1;(第三步：,利用导数研究函数hX的单调性,得出hXh00,即可得证.32解析令h(X)XXln(X1),h(X)那么3x22x3x3(x1)2一X-1一在x(0,所以函数h(x)在(0,)上单调递增,X(0,)时,恒有h(x)h(0)0,(即X3X2ln(x1)0,.imx1)X2x3(1111X(0,)lln(1)23对任意正整数n,取n,那么有nnn(保证构造函数解析式不复杂,易求导,通常从复合形式入手.点拨换元构造函数时要注意及时确定新变量的取值范围,明确构造函数的定义域,且尽量四、专题小结1 .本模块主要介绍如何构造函数,将不等式问题转化为函数问题；2 .通过简单的移项作差构造函数法,体会转化的过程和步骤；3 .复杂不等式证实问题,需要对不等式进行必要的恒等变形再