自考概率论与数理统计(经管类)真题及答案详解分析

1、2013年04月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对全国2013年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力一点说明：本次串讲所使用的课本是2006年8月第一版.二、考点分析1 .总体印象对本套试题的总体印象是：内容比

2、较常规，个别题目略偏.内容比较常规：概率分数偏高，共76分;统计分数只占24分，与以往考题的分数分布情况对比，总的趋势不变，各部分分数稍有变化；课本中各章内容都有涉及；几乎每道题都可以在课本上找到出处.个别题目略偏：与历次试题比较，本套试题有个别题目内容略偏，比如21题、25题等.难度分析：本套试题基本保持了历年试题的难度.如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占24分，中等题目约占60分，稍偏难题目约占16分，包括计算量比较大题目.当然，以上观点只是相对于历年试题而言，是在与历年试题对比中产生的看法.如果只看本套试题，应该说是一套不错的试题，只是难度没有降低.2

3、.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约18分，一维随机变量（包括数字特征）约38分，二维随机变量（包括数字特征）约18分，大数定律2分，统计量及其分布4分，参数估计10分，假设检验8分，回归分析2分.考点分布的柱状图如下三、试题详解一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1 .甲，乙两人向同一目标射击，A表示“甲命中目标”，B表示“乙命中目标”，C表示“命中目标”，则C=()A.AB.BC.ABD.AUB918160101【答案】D【解析】“命中目标”="甲命中目标”或“乙命中目标”或“甲、乙同时命中目标”，所以可表示为“AUB”，故选择D.【提示】注意事件运算的

4、实际意义及性质：(1)事件的和：称事件“A,B至少有一个发生”为事件A与B的和事件，也称为A与B的并AUB或A+B.性质：AaAjB,SuAIJB；若AcB,则aub=b.(2)事件的积：称事件“A,B同时发生”为事件A与B的积事件，也称为A与B的交，记做F=AHB或F=AB.性质：ABcA,ABaB；若4,则ab=a.(3)事件的差：称事件“A发生而事件B不发生”为事件A与B的差事件，记做A-B.性质：A-BcA；若AaB,则4-B=；A-B=A-AB=AB.手写板图示160卜01AECAA-E=ACBA-B=A-AB=AB(4)事件运算的性质(i)交换律：AUB=BJA,AB=BA;(ii

5、)结合律：(AUB)UC=AJ(BUC),(AB)C=A(BC);(iii)分配律：(AUB)nC=(AAC)U(BAC)(AnB)uc=(auon(buc).(iv)摩根律(对偶律)"J-、，二工；手写板图示1501-02AUE=AHBAPB=AUB2 .设A,B是随机事件，尸期P(AB)=0.2,则P(AB)=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4918160102【答案】A【解析】P二1-P0W,P(A-8)=F幽=P(A)-F幽二吐故选择A.【提示】见1题【提示】(3)手写板图示1601 - 03P (A) = 1 - P (A) = 0. 3P(A-B)=P(A)P

6、(AB)=0.30.2 = 0. 13.设随机变量x的分布函数为f(为则尸a=()A.F (b 0)F(a0) B.F (b 0) F (a)C.F ( b) F (a-0) D.F ( b) - F ( a) 918160103【答案】D【解析】根据分布函数的定义及分布函数的性质，选择D.详见【提示】【提示】1.分布函数定义：设 X为随机变量，称函数尸=F(3 £划，(-oa?+rn)为X的分布函数2.分布函数的性质:0WF (x) W1；手写板图示 1白0卜04对任意X1, X2(X1< X2),都有P<% <2,弓),用工1)一网%)；F (x)是单调非减函数

7、; F(-=Hm F(x) = 0尸(+s) = lim/加1F(x)右连续；设x为f(x)的连续点，则f'(x)存在，且F'(x)=f(x)而1601-0EF(x)=P汉Wk)F&)=f3 .已知X的分布函数F(x),可以求出下列三个常用事件的概率:Fa<X£b)=F(b)-F(a)，其中a<b.4.设二维随机变量(X,Y)的分布律为0120100.10.210.40.30则用X=0二()A.0B.0.1C.0.2D.0.3918160104【答案】D【解析】因为事件(4=0)=X=O1_0a<+0°),所以，"二-=0

8、+0.1+0.2=0.3故选择D【提示】1.本题考察二维离散型随机变量的边缘分布律的求法；2.要清楚本题的三个事件的概率为什么相加：因为三事件是互不相容事件，而互不相容事件的概率为各事件概率之和.Q手写板图示1601-06X=0=X0jM+°°PK=O=PK=Q,V=O)+?(X=O?Y=1+PX=0<Y=2(0.50<y<2“2)=35.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为U其他，则尸依0.5公口二()A.0.25B.0.5C.0.75D.1918160105【答案】A【解析】积分区域D:0VXW0.5,0<Y<1,所以P(X£0.

9、5/WD二1°融物二1Msem=。5乂。5二0,25故选择A.【提示】1.二维连续型随机变量的概率密度f(x,y)性质：f(x,y)>0;/J)右加1.WJfJf,若f(x,y)在(x,y)处连续，则有敌方，因而在f(x,y)的连续点(x,y)处，可由分布函数F(x,y)求出概率密度f(x,y);(X,Y)在平面区域D内取值的概率为网切二加砂.I手写板图示1601)7P(X，Y)EDIT=»f(X,y)chtdy2.二重积分的计算：本题的二重积分的被积函数为常数，根据二重积分的几何意义可用简单方法计算:积分值=被积函数0.5X积分区域面积0.5.JQ手写板图示ieoi

10、-obP(XW0.5,YW1=点区GdyD:=耨。,5妙0<x=0.60<yW1©手写板图示1601-pg一八u05rl一。，JJ口dzJ口dy=0.5义0.5=0.256.设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3C.0D.0.4则E(X)=()A.-0.8B.-0.2918160106【答案】B【解析】E(X)=(2)X0.4+0X0.3+2X0.3=-0.2故选择B.手写板图示1601T。E00=Ejqx.=TX0.4+。3+2X0.3=-0.2【提示】i.离散型一维随机变量数学期望的定义：设随机变量X的分布律为尸（XrJ=四，上二1,2,若级数j绝对收敛

11、，则定义X的数学期望为2.数学期望的性质:E ( c) =c, c为常数；E ( aX) =aE (x) , a 为常数；E (X+b) =E (X+b) =E (X) +b, b 为常数;E (aX+b) =aE (X) +b, a, b 为常数.07.设随机变量X的分布函数为I.1A. .B. .C.x <00<x<l，则 E (X)=()D. JO918160107【答案】C【解析】根据连续型一维随机变量分布函数与概率密度的关系得2x/W = (x)= 0150<z<l其他所以,J-ca,故选择C.【提示】1.连续型一维随机变量概率密度的性质姒=1If;.J

12、,;？h<X<x+Ax)=F(x+Ax)-F(x)；设x为，0）的连续点，则（1）存在，且。手写板图示1601-11EfiC)=J土窘xf(x)dxCO其他f(x)=F7K)=i12K0<k<1手写板图示1601-12E)=J：kX2kdx=C源匕=亨；X的密度函数为八方，如果广义积分22.一维连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量J,柳Y机也绝对收敛，则随机变量X的数学期望为S（X）=刀右J8.设总体X服从区间S,48上的均匀分布（8>Q）,xi,X2,，xn为来自X的样本，为样本均值，则二：;A. .J B. .-9C.1D.918160108【答案】

13、C【解析】1钎一2为瞰）二内一Z& 二一2畋）=一（画）二风双幻二也？二皂而均匀分布的期望为22,故选择C.手写板图示1501-13=ZK11i=l1”E(x)=ES町ni-1in=eM)手写板图示简单随机样本,独立,同分布E(片)=E(X)手写板图示1601-15E8)=7-XnEOC)=E(X)E(X)=°+4S=-822【提示】1.常用的六种分布(1)常用离散型随机变量的分布(三种)X01概率qpA两点分布分布列数学期望：E(X)=P方差：D(X)=pq.B二项分布：XB(n,p)分布列：px二田=k=0,i,2数学期望：E(X)=nP方差：D(X)=npq.C泊松分布

14、：X工(1)F0=用二1,分布列：制,上二0,1,2,数学期望：一口x <a a<x<bh <x(s+iE(X)=2密度函数:分布函数:数学期望:F6 =1-户E (X) = X,(2)常用连续型随机变量的分布(三种)A均匀分布：XUatb密度函数:分布函数:数学期望:(方差：D(X)=12/W=密度函数:分布函数:数学期望:1方差：D(X)=铲.C.正态分布(A)正态分布：1OOa)=/g孤42m时)二九)或J-®第,方差：D(X)=g,”2标准化代换：若X叫©),丁，则！，MQD.(B)标准正态分布：XH(0)朝不)二3密度函数：7七克,8<

15、;X<+°°分布函数：飒=口叫8«8数学期望：E(X)=0,方差：D(X)=1.Q手写板图示1601-16KNm，ET2)£N(0,1)7-X3£2.注意：“样本”指“简单随机样本”，具有性质：“独立”、“同分布”9.设 xiX2, X3, X4为来自总体X的样本，且 现团二”八 11 /、口二三(2+)内=三(勺十弓)，记 2,3,人114,5，则的无偏估计是()AAAAA.-：B.1C.D.7918160109【答案】AE(二义工J+£(.引二现对【解析】易知，2,故选择A.手写板图不1601-1(7E()=E-+冀2)二=

16、：E(»1)+E(x2)=Effl【提示】点估计的评价标准:（1）相合性（一致性）：设为未知参数，4=内,工.）是g的一个估计量，月是样本容量，若对于任意有则称&为6的相合（一致性）估计.（2）无偏性：设8=用匕，工"，11）是8的一个估计，若对任意加,有E（ff）=0则称百为6的无偏估计量；否则称为有偏估计.（3）有效性设百，届是未知参数8的两个无偏估计量，若对任意茂有样本方差。向,则称百为比正有效的估计量.若8的一切无偏估计量中，氏的方差最小，则称a为8的有效估计量io.设总体XN依d），参数U未知，/已知.来自总体X的一个样本的容量为R,其样本均值为X,样本方

17、差为?,。仪1,则U的置信度为1一仪的置信区间是（c.山，5D.口一工式翦-1）。*工十、（用一1）；J耳7具918160110【答案】A【解析】查表得答案.【提示】关于“课本p162,表7-1:正态总体参数的区间估计表”记忆的建议：表格共5行，前3行是“单正态总体”，后2行是“双正态总体”；对均值的估计，分“方差已知”和“方差未知”两种情况，对方差的估计“均值未知”；统计量顺序：一，t,x2,t,F.二、填空题 (本大题共 11.设A, B是随机事件， 918160201【答案】0.1【解析】由加法公式 P P (AB) = P (A) + P 故填写0.1.15小题，每小题2分，共30分)

18、P (A) =0.4 , P(AU B) = P (A)(B) - P (AU B)(B) =0.2 , P (AU B) =0.5 ,则 P (AB)=+ P ( B) - P (AB),则 =0.1手写板图不150201P CAUB)=P (a) 4-P P (AB)12.从0, 1 , 2, 3, 4五个数字中不放回地取3次数，每次任取一个，则第三次取到0的概率为918160202【解析】设第三次取到4x3x1 1p =5x4x3 51故填写二©手写板图示1602-024X3X1P=5X4X3【提示】古典概型:(1)特点：样本空间是有限的；基本事件发生是等可能的;(2)计算公式

19、4包含的样本点数样本点总数13 .设随机事件A与B相互独立，且产功=0.2,则P二918160203【答案】0.8【解析】因为随机事件A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)P国B)=型1PP(叽p再由条件概率公式有=：D：所以3-%M8,故填写0.8.手写板图示1白02-毓P(AB)=P(A)P(E)F(AB)PCAE)=P(B)=P(A)【提示】二随机事件的关系(1)包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A,记做3口月；对任何事件G都有。匚C匚C,且。总PC)-1；相等关系：若4nB且3口儿，则事件A与B相等，记做A=B,且P(A)=P(B);(3)互不相容关

20、系：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为AflB=0,且P(AB)=0;(4)对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足乂力=0且=0.显然：；门=4，4=0.(5)二事件的相互独立性：若P(AF)=巴.4*(8),则称事件a,b相互独立；性质1:四对事件A与B,工与B,A与且，工与必其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：若AB相互独立,且P(A)>0,则巴=.14 .设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则之D=918160204手写板图示1602-041"ePX-i=1!g-lPX=i=i1手写板图示1602-05e-1

21、1-0!【答案】1-e【解析】参数为2泊松分布的分布律为尸侬北平，i=0,1,2,3,PX = i = ，;1二 0, 1, 2, 3,所以/归21)=1一下体<1=1一/侬=0),故填写1:.“01<115.设随机变量X的概率密度为/工之1,用Y表示对X的3次独立重复观察中事件X>3出现的次数，则_918160205手与板图不1502-06PX>3=Jf(x)dxJ手写板图示1602W,1、YE(3,)3_i_3,1/113TFY-3C()1一3331一27_【答案】27【解析】因为?所以p(r=3=c？(-)3(i-)H = 3327 ,故填写27 .【提示】注意审

22、题，准确判定概率分布的类型16.设二维随机变量（X, Y）服从圆域D: X2+y2Wl上的均匀分布，/（XJ）为其概率密度，则918160206【解析】因为二维随机变量22（X, Y）服从圆域D:二十7£1上的均匀分布，则其他手写板图示1S02-08fy) I。 其他【提示】课本介绍了两种重要的二维连续型随机变量的分布:（1）均匀分布：设 度为D为平面上的有界区域，其面积为S且S>0,如果二维随机变量（X, Y）的概率密/u7) =1/S（二小。其他则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布，记为（X,Y）瓦手写板图示1602-09(Xpy)ed。其他（2）正态分布：若二维随机变量（

23、X,Y）的概率密度为IAh产*L一向d舄(-co<x<4oo,桢)，其中取4,0?,W,p都是常数，且50,6"|p|<l,则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)：17.设C为常数，则C的方差D(C)=918160207【答案】0【解析】根据方差的性质，常数的方差为0.【提示】1.方差的性质D(c)=0,c为常数；D(aX)=a2D(X),a为常数；D(X+b)=D(X),b为常数；D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数.2.方差的计算公式：D(X)=E(X)E2(X).18.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(e2x)=918160208手写板图

24、示16O2TO,e-xx>0、0XWO手写板图示160271【解析】因为随机变量X服从参数2二1的指数分布，则x>01故填写2.【提示】连续型随机变量函数的数学期望：设x为连续性随机变量，其概率密度为AW,又随机变量则当矶&*攵敛时，有即)=%=7方公19 .设随机变量XB(100,0.5),则由切比雪夫不等式估计概率?(40</<60)>918160209手写板图示1白02T2,P40<X<60=P|X50|<103【答案】4【解析】由已知得£为二型二$0,二侬g二100x0,5x05二乃，所以25102【提示】切比雪夫不等式

25、：随机变量X具有有限期望Ek)和DQY),则对任意给定的，总有/或一20 .设总体XN(0,4),且X1,X2,X3为来自总体X的样本，若，(+)/，则常数C=918160210【答案】1【解析】根据X2定义得C=1,故填写1.【提示】1.应用于“小样本”的三种分布：X2分布：设随机变量X1,X，X相互独立，且均服从标准正态分布，则4服从自由度为n的X2分布，记为x2x2(n)F分布：设X,Y相互独立，分别服从自由度为m和n的X2分布，则.丁!鞭服从自由度为m与n的F分布，记为FF(爪n),其中称m为分子自由度，n为分母自由度.t分布：设XN(0,1),Yx2(n),且X,Y相互独立，则

26、69;，料服从自由度为n的t分布，记为tt(n).2.对于“大样本”，课本p134，定理6-1:设X1,X2,，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，d'y-N凡(1)若总体分布为瓜见吟,则工的精确分布为I注);力_n区一(2)若总体x的分布未知或非正态分布，但现幻二，D(X)=d,则工的渐近分布为用儿21.设X1,X2,，Xn为来自总体X的样本，且口(X)二厂，K为样本均值，则手写板图示1602Y3E(。=Z(茸)*r2.口12E(S)=仃第nJ0手写板图示1602-14E(S£)=Enn-12-(R'P)On/.Ez(Ki-k)2=(n-1)O2【答案】r.”%）二

27、空/4£仪-3【解析】课本P153,例7-14给出结论：n，而叫,r尸二1*-1H_e©=e士2包-疗=与玄广行所以丹端理Lj-1，S工缶一月=51）"_iJ,故填写；：1：一.E（sl）=a2【说明】本题是根据例7-14改编.因为总的证明过程比较复杂，在2006年课本改版时将证明过程删掉，即本次串讲所用课本（也是学员朋友们使用的课本）中没有这个结论的证明过程，只给出了结果.感兴趣的学员可查阅旧版课本高等数学（二）第二分册概率统计P164，例5.8.22.设总体x服从参数为2的泊松分布，为未知参数，,为样本均值，则的矩估计4=.918160212【答案】:【解析】

28、由矩估计方法，根据：在参数为1的泊松分布中，丸二双应,且双F）的无偏估计为样本均值，所以填写二.【提示】点估计的两种方法（1）矩法（数字特征法）估计：A基本思想：用样本矩作为总体矩的估计值；用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值B估计方法：同A.（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为彳t计值.B.定义：设总体的概率函数为P（豆协，加®，其中8为未知参数或未知参数向量，回为8可能取值=从也阳乐,）=口4;&）的空间，X1,X2,，xn是来自该总体的一个样本，函数称为样本的似然函数；若某统计量台=阪小，

29、/）满足“同=嗤上，则称方为8的极大似然估计C.估计方法利用偏导数求极大值i）对似然函数求对数ii）对8求偏导数并令其等于零，得似然方程或方程组iii）解方程或方程组得6即为日的极大似然估计.对于似然方程（组）无解时，利用定义：见教材p150例710;（3）间接估计：理论根据：若6是日的极大似然估计，则跃6）即g©）为的极大似然估计;方法：用矩法或极大似然估计方法得到g（d）的估计,从而求出6的估计值0.23.设总体X服从参数为4的指数分布,X1, X2,，Xn为来自该总体的样本.在对1进行极大似然估计时，记，孙，Xn）为似然函数，则当X1 , X2,，Xn都大于0时，L（儿而，Xn

30、=918160213手写板图示16O2T6A- e- X 1 x>0 f (x) = J0 x WO【解析】已知总体E服从参数为1的指数分布，所以x>0x<0 ,.从而如"4）萨.渣故填写！ZJ.24 .设X1,X2,，Xn为来自总体%,4）的样本，炉为样本方差.检验假设用："二片，耳：选取检验统计量,则从成立时，x2918160214【答案】.',-,【解析】课本p176,8.3.1.25 .在一元线性回归模型中K-向+陶+号,其中qmo,）,1=1,2,，n,且弓，弓，,_1«；相互独立.产汾'，则M）918160215手写板

31、图示1602T7口+/小：£.N(OOE)Q手写板图示1602-1日D(%)=D(PQ+fj7+S1)常数=D(S.)=02FM(+E0£)示1602-19【解析】由一元线性回归模型中#+泡+&,其中与w（o忧j=1,2, , n，且反M相互独立，得一元线性回归方程所以科=川+即+马,=。（腐+即+号）=。="，则由20题【提小】（3）得-C?知二,盟，故填写一.【说明】课本p186,关于本题内容的部分讲述的不够清楚，请朋友们注意三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.甲、乙两人从装有6个白球4个黑球的盒子中取球，甲先从中任取一个球，不放回

32、，而后乙再从盒中任取两个球，求（1）甲取到黑球的概率；（2）乙取到的都是黑球的概率.【分析】本题考察“古典概型”的概率.918160301【解析】P,则（1）设甲取到黑球的概率为手写板图示1603-Ca(1) P=4+6105（2）设乙取到的都是黑球的概率为p,则2手写板图示正O3F21912=C|CHC_CJF-华+10X9X83X2X127.某种零件直径X-：（单位：mm,M未知.现用一种新工艺生产此种零件，随机取出16个零件、测其直径，算得样本均值1=11.5,样本标准差s=0.8,问用新工艺生产的零件平均直径与以往有无显著差异？（a=0.05）(附：4必(15)=21315)手写板图示

33、160Ao3Q手写板图不1503-04+/-x_x-0t(n-1)r.s/into025(15)=2.1315W=C-8,-2.1315)U(2.1315,十8)©手写板图示1603-050.8/T&0.2=-2.5三叫【分析】本题考察假设检验的操作过程，属于“单正态总体，方差未知，对均值的检验”类型918160302【解析】设欲检验假设H）："二A）T2加1)二号选择检验统计量理，根据显著水平=0=0.05及n=16,查t分布表，得临界值10.025(15)=2.1315,从而得到拒绝域郎二(7o,2J315)UQ.1315,榆),根据已知数据得统计量的观察值11

34、.5-12-05v因为ie，拒绝H。，可以认为用新工艺生产的零件平均直径与以往有显著差异【提示】i.假设检验的基本步骤：(1)提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设(零假设)H)和备择假设H,要求只有其一为真.如对总体均值四检验，原假设为代：二Pi,备择假设为下列三种情况之一：血%凡：弱京阿，其中i)为双侧检验，ii),iii)为单侧检验.(2)选择适当的检验统计量，满足：必须与假设检验中待检验的“量”有关；在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知.(3)求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平&查表确定对应于a的临界值，从而得到对原假设H)的拒绝域W.(4)求统

35、计量的样本值观察值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域W内，则拒绝H),接受Hi,否则，接受H.2 .关于课本p181,表8-4的记忆的建议：与区间估计对照分类记忆.四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28 .设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1)求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度;(2)记Z=2X+1,求Z的概率密度.918160303手写板图不180106打(力=J士2fQ,y)dy一0°VkV+g-J2g2e-（x+2y）dy=%g2y方=ez-J°°e-2yd（一2Gl=L-e-2y+"-e.£区（又

36、）=fyty）=J0+80nW。2e（x+2y）dx=方2¥/：8£一/强=2ML广-2e-2yfy（y）=j【分析】本题考察二维连续型随机变量及随机变量函数的概率密度【解析】(1)由已知条件及边缘密度的定义得所以为(耳)二工>0工wo；同理可得廿川)二4丁）0.'.'.(2)使用“直接变换法”求Z=2X+1的概率密度.记随机变量X、Z的分布函数为Fx(x)、Fz(Z),则zz-片团二PZ<z)=尸2丫+依z)=P(X<一”当(彳)u乙由分布函数Fz (Z)与概率密度了1的关系有为二岁二4(=)(=!)&(二).1由（1）知手写板图

37、示1G03-07F乂（裳）m（区）FZ（3）=F依。=P+ex+IWmF2(z)=F?(工)2【提示】求随机变量函数的概率密度的“直接变换法”基本步骤：问题：已知随机变量X的概率密度为AW,求Y=g（X）的概率密度AW手写板图示1603-0gFY(y)PYWy=Pg(k)Sy=F仅fY(y)=FyW=fx(g-1(y)'(g1(y)解题步骤：i.耳二那“=F侬”上网左短”尸式屋；29.设随机变量X与Y相互独立，XN(0,3),YN(1,4).记Z=2X+Y求(1)E(Z),D(Z);(2)E(XZ);(3)Rz.手写板图示1603-09E(Z)=EC2X-FY)=2E(X)+ECY)=

38、1D(Z)=D<2X+Y)=4D(X)+D(Y)=12+4=16E(XZ)=EX(2X+Y)=E(2X2+X¥)=2E(X2)+E(XY)=2E(X2)+E(X)E(Y)D(X)=E(N)_E(x)2E(X2)=D(X)+E(X)2=3E(XZ)=2X3=6P_cnv(XsZ)xzJdW/FTzFcov(X,Z)=E(XZ)E(X)E(Z)=6p6Bxs/rx国yrx4=巨2【分析】本题考察随机变量的数字特征.918160304【解析】(1)因为XN(0,3),YN(1,4),Z=2X+Y所以E(Z)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=1D(Z)=D(2X+Y)=4D(X)

39、+D(Y)=16(2而随机变量x与y相互独立，Em=E(Xm第片)=D(+同幻f=D(所以E(XZ)=6.(3)因为cov(工2)=£(J0-月E(Z)=6,所以cov(Jf.Z)6<3山质力岛标2.五、应用题（10分）30.某次考试成绩x服从正态分布NQ5J5）（单位：分），（i）求此次考试的及格率产（Z之60和优秀率PX>9。；（2）考试分数至少高于多少分能排名前50%（附:贝）=。附13）手写板图小1603_101F-一rX-7560-75(L)P优三601=P*1515/=p亿)-1=1PZ<-1二1一力(一工)=力(1)=0.8413fx7590-75PX9Q-P-.1b1/=PZ1)-1FZ<1=1一0(1)=0.1587【分析】本题考察正态分布的概率问题.918160305【解析】已知XN(75,152),设ZN(0,1),为其分布函数，(1)X-151560-75'15卜二产Z之-1) = 1 一产2 <-1)=-1，一二=11即本次考试的及格率为84.13%,优秀率为15.87%.手写板图示1603T10.5小()=65=也k=75(2)设考试分数至少为x分可排名前50%即加心，则工-751 1x-7515I 15 )=05中已出|=0,5=氯0)±2=0所以I15