51不定积分的概念与性质

1、第五章第五章 不定积分不定积分微分法微分法:)?()( xF积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算第一节第一节 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念二、二、 不定积分的几何意义不定积分的几何意义三、不定积分的基本性质三、不定积分的基本性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,的作tAFsin下沿直线运动下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为因此问题转化为:已知已知,sin)(tmAtv 求求?)( tv在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律, 加速度加速度mFta )(

2、tmAsin 定义定义 1 . 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足满足)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 或或在区间在区间 I 上的上的一个一个原函数原函数 .则称则称 F (x) 为为f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的原函数有的原函数有 ,cos tmA , 3cos tmA一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念问题问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示 ?初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连

3、续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数.)(,)(的的原原函函数数一一定定存存在在则则在在此此区区间间上上在在某某区区间间上上连连续续如如果果函函数数xfxf结结论论.,)()(,)()(1 . 5为任意常数为任意常数其中其中的原函数的原函数也是也是则则的一个原函数的一个原函数是是如果如果定理定理CxfCxFxfxF .)(,)(,多多个个原原函函数数就就有有无无穷穷那那么么有有一一个个原原函函数数如如果果这这说说明明xfxf.)()(,)()()(2 . 5为常数为常数它们的差它们的差则则的原函数的原函数都是都是和和如果如果定理定理xGxFxfxGxF .)()(只只相相

4、差差一一个个常常数数与与这这说说明明xFxG,( )( ),( )( ),( )( ).F xf xF xCf xf xF xC 因因此此 当当为为的的一一个个原原函函数数时时 一一方方面面都都是是的的原原函函数数 另另一一方方面面的的其其它它原原函函数数都都可可以以表表示示成成.)()(,的的任任意意一一个个原原函函数数就就可可以以表表示示表表达达式式为为任任意意常常数数时时当当xfCxFC ( ),f x 的的全全体体原原函函数数所所组组成成的的集集合合 就就是是函函数数族族 CCxF)(的的称称为为为为任任意意常常数数原原函函数数的的全全体体则则的的一一个个原原函函数数为为设设定定义义)

5、()()()(,)()(2 . 5xfCCxFxfxfxF ,不不定定积积分分若若, )()(xfxF 则则( ),f x dx记记为为.)()(CxFxxfd积分号积分号被被积积函函数数积分变量积分变量被被积积表表达达式式C 称称为积分常数为积分常数不可丢不可丢 !21x dx 例例求求,)3(23xx 由于由于解解.323的的一一个个原原函函数数是是因因此此xx323xx dxC 12dxx 例例求求 xln由于由于解解,1x 1lndxxCx 2. .不定积分的几何意义不定积分的几何意义.)(,)(,)()(积积分分曲曲线线的的一一条条称称为为系系上上的的一一条条曲曲线线的的图图形形是是

6、平平面面直直角角坐坐标标那那么么方方程程的的一一个个原原函函数数是是设设xfxFyxfxF.)(,)(,积分曲线族积分曲线族的的称为称为一个曲线族一个曲线族它们构成它们构成多条积分曲线多条积分曲线的无穷的无穷就可以得到就可以得到轴方向任意平行移动轴方向任意平行移动将这条积分曲线沿着将这条积分曲线沿着xfxfyOxyx例例3. 设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121

7、C因此所求曲线为因此所求曲线为12 xyyxo)2, 1 (三、不定积分的性质三、不定积分的性质. 1微分互为逆运算微分互为逆运算求不定积分与求导数或求不定积分与求导数或性质性质(1)( )( )f x dxf x ( )( )df x dxf x dx 或或(2)( )( )Fx dxF xC ( )( )dF xF xC 或或,()( ),d 由由此此可可见见 微微分分运运算算与与不不定定积积分分运运算算是是互互逆逆的的.,后后差差一一个个常常数数或或者者抵抵消消或或者者抵抵消消连连在在一一起起时时与与记记号号当当记记号号d .2分号之前分号之前非零常数因子可提到积非零常数因子可提到积性质性质( )( )(0)af x dxaf x dxa).()(3差差的积分等于积分的和的积分等于积分的和差差函数和函数和性质性质 ( )( )( )( )f xg xdxf x dxg x dx4.性性质质有有限限个个函函数数线线性性组组合合的的积积分分等等于于积积分分的的线线性性组组合合11221122( )( )( )( )( )( )nnnna fxa fxa fxdxafx dx afx dxafx dx 例例4求下列不定积分求下