四阶行列式的一种展开法1

1、四阶行列式的一种展开法笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。具体方法如下:四阶行列式:现1%ai3ai4a2ia22a23a24a3ia32a33a34a4ia42a43a44D4=第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线,然后在此七列中作出相应的平行线，可得（图表一）:作乘积关系，可得如下八项:aiia22a33844,ai2a23a34a4i,ai3a24a31a42

2、,ai4a21a32343,a41a32a23ai4,a42a33a24aii,a43a34a21ai2,a44a31a22a13,这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。同前理可得如下八项:aiia23a34a42,ai3a24a32a4i,ai4a22a31a43,ai2a21a33a44,a41a33a24ai2,a43a34a22aii,ai4a32a21ai3,a42a31a23a14,这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变

3、到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三:（图表三）同前理可得如下八项：aiia24a32843,ai4322333a41,ai2a23a31a44,ai3a2l934342,a41334a22a13,344a32a23ai1,a42333a21a14,a43331a24a12,这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展开如下：D4=ai1a22a33344-a12323a34a4i+a13324a31342-a14a21332343+341a323

4、23a14-a42333a24311+a43a34321a12-a44331a22a13+aiia23334a42-a13324a32341+a14322a31a43-a12321a33a44+a41333a24a12-a43334a22aii+a14332a21a13-a42331a23a14+aiia24332a43-a14a22333a41+ai2a23a3ia44-ai3a21a34342+341a34322a13-a44332a23aii+a42333a21ai4-a43a31a24a12四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。下面将从三个方面进行证明。证明：一、前述展开四

5、阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个元素取自不同的排列。由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每项的元素绝对不会相同。即满足行列式的展开项的特征。二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。所以只能得六项含有该元素，在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有（n-1）!种。对于四阶行列式而言，且有（4-1）!=6种，所以该展开法符合上述原则。三、按上述三次所作的展开项中，每一项

6、的行标的排列应为1234或4321,此二排列的逆序数为0和6,均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一项的列标为1234,其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。而第二项恰为将1234作一次向前的轮换而得的2341,由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序数发生改变，并由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。第三项又是对第二项的列标作一轮换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特

7、性未发生改变，所以它们所得八项的符号仍与第一次一样为正负相间的。因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，依此下去，各项符号是正负相间的。下面举例说明。例1:计算四阶行列式：01111011D4=11011110解：D4=-1+1-1+1-1+1-1-1-1=-3例2:计算四阶行列式：展开图表如下:D47637357254355654763776335、723575435、5435654565（例题2图表一）3蕊烂253545、355546554（例题2图表二）解:D4=7*6*3*4-6*7*5*5+3*2*5*6-7*3*4*5+5*4*7*7-6*3*2*7+5*5*

8、3*6-4*5*5*3+7756-3245+7555-633,4+5*3*2*6-5*5*5*7+4*433-6577+7245-7535+6*7*5*4-3*3*5*6+5*5*5*3-4*4*7*7+6*3*3,7-5*5*2*6=420-1056+180-420+980-252+450-300+1470-120+875-216+180-875+144-1470+280-525+840-270+375-784+378-300=-10例3:计算四阶行列式：展开图表如下:D42-5433-4754-985-32-5-32-5.43、2,一543-47.53-474-985、4'_9、8

9、-32-53-32-5解:D4=2*(-4)*8*3-(-5)*7*5*(-3)+4*5*4*2-3*3(-9)(-5)+(-3)(-9)75-2*8*5*2+(-5)*5*3*(-5)-3*4*(-4)*4+2*7*5*2-45*(-9)*(-3)+3(-4)*4(-5)-(-5)*3*8*3+(-3)*8*5*(-5)-(-5)5(-4)2+3(-9)34-2*4*7*3+2*5*(-9)*5-3*(-4)*8*(-3)+(-5)*7*4*3-4*352+(-3)5(-4)4-3*(-9)72+2*8*3*3-54*5*(-5)=-192-525+160-405+567-160+375+192+140-540+240+360+600-200-324-168-430-288-420-120+240+378+144+500=4通过以上三例说明，该展开式简单易学，在