单因素方差分析方法

1、单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V、组内方差.、组间方差。vwvB-2总方差v=、Xi._x2组内方差=、.Vw-XijXi、2组间方差VB=b<xix从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值对总均值7的偏离程度，反映了抽样随Xu机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值Y.对组均值X的偏离程度，而组间方差则衡Xij量的是组均值7对总均值7的偏离程度，反映系统的误差。Xi在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差：组间均方差SbVba1组内均方差2SwVwab-a在方差相等的假定下，要检验n个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。原假设H。：均值相等即

2、=匕=，=匕备择假设h1:均值不完全不相等则可以应用F统计量进行方差检验：2A.Vba-1SbF=2Vwab-bSw该统计量服从分子自由度a-1,分母自由度为ab-a的F分布。给定显著性水平a,如果根据样本计算出的F统计量的值小于等于临界值Fa(a-1,ab-a),则说明原假设h0不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。下面通过举例说明如何在EXcel中实现单因素方差分析。例1:单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水

3、平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。表2三块农田的产量甲504649524848乙495047474649丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H0：三者产量均值相等；备择假设h1:三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。新建工作表“例1”,分别单击B3:D8单元格，输入表2的产量数值。计算组均值，对应甲的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE(B3:B8)”,再次单击B9单元格，拖曳鼠标至D9单元格，求出乙和丙的组均值。计算总均值，单击B10单

4、元格，在编辑栏输入“=AVERAGE(B9:D9)”。计算机结果如图1所示ABCD1单因素力差分析2甲乙丙35049514465050549474965247467143465084S49509组均值10总均值11图12计算kux)并求各组的组内方差Vw的值。2求甲组(XjXJ的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=(B3-$B$9)八2"。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至B19单元格。2求乙组(Xij-XJ的值，单击C14单元格，在编辑栏输入“=(C3-$C$9)八2"。再次单击C14单元格，拖曳鼠标至C19单元格。2求丙组(XijXJ的值，单击D14单元格，在编辑栏输入

5、“=(D3-$D$9)八2"。再次单击D14单元格，拖曳鼠标至D19单元格。计算Vw的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“=SUM(B14:D19)”。计算结果如图2所示。AB1CDE748465084849509组均值48.8348.0049.3310总均值48.7248.6749.331112求组间方差13甲乙丙141,36111112.777778158.02777840.444444160.02777810.1111111710.02778111,11111180.69444440.444444190.69444410.44444420Vw48.1721图32根据组均值和总均

6、值求(x.-x)的值，单击B24单元格，在编辑栏输入“=(B9-$B$10)八2"。再次单击B24单元格，拖曳鼠标至D24单元格，求出三个组的值。计算组间方差VB,单击C25单元格，在编辑栏输入“=6*SUM(B24:D24)计算结果如计算F统计量的值，单击C28单元格，在编辑栏输入“=C25/(C27-1)/(020/(C27*E27-C27)”。计算Fa的值，单击C30单元格，在编辑栏输入“=FINV(029,027-1,C27*E27-C27)”。根据临界值给出的检验结果，单击031单元格，在编辑栏输入“=IF(C28>C30,”三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相

7、等最终结果如图4所示。从图4中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设h0，因此在0Q5的显著性水平下可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后面介绍的Excel单因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。对应方差分析的结构如表3所示，其中对于组间方差的计算可直接根据公式VwVw=V-VB给出。表3方差分析表力差自由度均方差F统计值组同力差VB2Vb=b£（Xi-x）a-

8、1A2_VbSb1a-12AF=srASw组内方差VwVw=v-VbAb-a2Aif_VwSw-ab-a总力差V一2v=工"j-xiAb-1下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。例2方案分析表某公司研制出了A、B、C、D4种新型生产设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。4种机器生产的零件数量A754650567348B475065724649C485052464965D684849635170Ho：4种需要检验4中设备单位时间内生产的零件数是否存在显

9、著差异，对应原假设设备生产的零件数均值相等；备择假设H1:4种设备生产零件数均值不相等，可采用单因素方差分析予以检验。新建一工作表“例计算组均值。对应再次单击B9单元格,计算总均值。单击所示。2”，分别单击B3:E8单元格,输入表4中的零件数。A组的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE(B3:B8)”,B、C、D的组均值。=AVERAGE(B9:D9)”。计算结果如图5123456组均值1011总均值BCD方差分析表ABC75476846504S50654956726373465148497058,0054,8358,1757.00拖曳鼠标至D9单元格，求出B10单元格，在编辑

10、栏输入“根据组均值和总均值计算组间方差VB。求(Xi-x2的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=(B9-$B$10)用。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至E14单元格，求出三个组的值。计算Vb的值，单击C15单元格，在编辑栏输入“=SUM(B14:E14)*6"。计算结果如图6所示。10111213141516组均值总均值58.0055.6754.835L6758,17求组同方差A5.44VBB0.69170.33C16.00D6.25根据总均值计算方差V。2求(X.X5的值，单击B19单元格，在编辑栏输入“=(B3-$B$10)人2"。再次单击B19单元格，拖曳鼠标至E2

11、4单元格，求出所有的值。计算v的值，单击C25单元格，在编辑栏输入“=SUM(B19:E24)”。计算结果如图7所示。161.7求总方差18ABCD19373.7875,1158.78152.112093.4432,1132.1158.782132.1187.1113.4444.44220.11266.7893.4453.7823300.4493.4444.442LT8245S,7844.4487.11205.4425262323.33方差分析表结构，根据总方差和组间方差计算组内方差，单击C33单元格在编辑栏输入”=034-032"分别给出自由度，单击D32单元格，在编辑栏输入“=0

12、27-1”；单击D33单元格，在编辑栏输入“=C27*E27-C27"；单击D34单元格，在编辑栏输入“=C27*E271”。计算方差分析表中的均方差。组间均方差，单击E32单元格，在编辑栏输入“=C32/D32”。组内均方差，单击E33单元格，在编辑栏输入“=C33/D33”。计算F统计量的值，单击F32单元格，在编辑栏输入“=E32/E33"。结果如图9所示。彳a4b528a0.0.12930方差分析表31方本自由度F值P®32组间方差Vb170.33356,776670.52741933蛆内方差215320107.65加总为差¥2323.33233

13、536261IIIIIII图9(10)根据F值计算p值，单击G32单元格，在编辑栏输入“=FDIST(F32,D32,D33)”。如果计算的p值小于给定的显说明：1-p值反映了可以以多大的把握认为原假设成立。著性水平0.05则应该接受原假设，否则应拒绝原假设。(11)给出检验结论，单击C36单元格，在编辑栏输入“=IF(G32<C28,“四种设备生产的零件数均值相等”，“四种设备生产零件数均值不相等“)"。结果如图10所示30方嗟分析表31方差自由度均方差F值P值32组间方差170.33356.777780.5274290.66852333组内方差215320107.6534总方差M2323.33233536检验结论四种设备生产的零件数均值不相等37图10从图10可以看出，运用方差分析表，拒绝原假设h。，因此在0-01的显著性水平下认为三者均值不相等，即四种设备单位时间内生产的零件数的均值不相等。在Excel运用方差分析-单因素方差分析工具进行方差分析。例3方差分析：单因素方差分析仍采用例2中的数据，某公司研制出了A、B、CD4种新型设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计生产的零件数量如表4所示，试应用方差分析：单因素方差分析在0-01的显著性水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著