线性代数秩和逆

1、一、 矩阵的秩定义1在一个mxn矩阵A中，任意选定k行和k列（k兰minm, n）,位于这些选定的行和列的交点上的 k2个元素按原来的次序所组成的 k k矩阵的行 列式，称为A的一个k阶子式。例1在矩阵"131、0 214A =0 005卫 00 0;中，选第1,3行和第3,4列，它们交点上的元素所成的2阶行列式3 1=150 5就是一个2阶子式。又如选第1,2,3行和第1,2,4列，相应的3阶子式就是1 1 1024 =10.0 0 5定义2非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩 规定为0。矩阵A的秩记为rank A。例2证明：矩阵A与其转置矩阵A有相同的秩。例

2、3证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。证 设A是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是 r。选取这r个非零行以及各 非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r阶子式是 一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。而A的 所有阶数大于r的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。所以r a n A = r。由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以m n矩阵A的秩rank A乞min m,n 。而如果rank A二m，就称A是行满秩的；如果rank A二n， 就称A是列满秩的。此外，如果 A的所有r 1阶子式全为零，由行列式的定义 可知，A的r 2阶

3、子式也一定为零，从而 A的所有阶数大于r的子式全都为零。 因此秩有下面等价的定义：定理1 m n矩阵A的秩为r充分必要条件是：在A中存在一个r阶子式不为零，且在rank A : min m, n时，矩阵A的所有r 1子阶式都为零。定理2初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。证 设Am n经初等行变换变为 Bmn，且ranA = r1, r a nB二r2。当对A施 以交换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵 B中的任何r1 1阶子式等于 某非零数c与A的某个ri 1阶子式的乘积，其中c=：T或其他非零数。因为A的 任何r1 1阶子式皆为零，故B的任何r1 1阶子式也都为零

4、。当对A施以第i行的k倍加到第j行的变换时，矩阵B的任何一个r11阶子式|BJ，若它不含B的第j行或既含第j行又含第i行，则它等于A的一个*十1阶 子式；若冋|含B的第j行但不含第i 行,则B1 =|州+k A?，其中|鯨闷是A的 两个r11阶子式，由A的任何r11阶子式均为零，知B的任何几 1阶子式也全为零。根据以上分析，若对A施以一次初等行变换得到B，则r2 ： r1 1，即r2 _ *。 由于B可经一次适当的行变换变回 A，同样地就有r,乞r2。所以r r2。显然，上述结论对列变换也成立。现在我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩。因为初等变换不改变矩阵的秩， 而阶梯形矩阵的秩就等于它的非零

5、行的个数。所以，为了计算一个矩阵的秩， 只要用初等变换把它变成阶梯形（根据第一节定理1,仅用行的初等变换就可以 做到），这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩。例4设136-2-43-164、-1A =2015-3<32050丿求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式 解 对A作初等行变换，使之变成阶梯形:q6-4-14、16-4-14、r20-431-10-431-1AtT2015-34 -3<10-1297-11<32050<016128-12;6-4-14、6-4-14、3-320-431-14丄0-431-14-420004-80004-80048000&

6、#176;因为上式右端阶梯形矩阵的非零行数是 3，所以rank A = 3。再求A的一个最高阶非零子式。由rank A =3知，A的最高阶非零子式是3 阶的，A的3阶子式共有C：C； =40个，要从中找出一个非零子式是比较麻烦的。如果B是矩阵A仅用行的初等变换变成的阶梯形矩阵，用B的各非零行第一 个非零元素所在的列按在 B中的次序构成矩阵B1，把A中相应列按在A中的次 序构成的矩阵记作A,。那么Bi也是阶梯形的，它的非零行个数与 B的相同，并 且就等于B,的列数。因此，Bi是一个与B有相同秩的列满秩矩阵。同时，用那 些将A变成B的行变换可将A变成Bi，这说明A是与A有相同秩的列满秩矩阵。 考虑

7、到A是由A的某些列按在A中的次序构成的矩阵，A的子式必是A的子式， A的最高阶非零子式必是A的最高阶非零子式。在本例中，卩6-4-14、卩6-T卩6-1、0-431-10-413-26B =，B1 =A1 =lt;00000丿<000丿<325丿A的三阶子式只有C：二4 个,其中必有不为零的，如子式1 6 -13-26 =-32205就不为零，那么它也是A的一个最高阶非零子式。 例5设Z1 -1 1 2、A= 3 人-12<53 卩6已知rank A 1=2，求与丄的值2亠-112、C2 C4<12 1 1 '解 At0九十3-4-4

8、T0-4-4 扎+3r3 -5r18卩-5-4>-44-58 ;q 21-13上T0-4-4Z + 3e o4 -15 °因 rank(A )=2，故卩1 =0,5 -人=0，从而卩=1,九=5。例6证明：矩阵添加一列（或一行），则秩或不变，或增加1。证 设矩阵A =匕耳逑的秩为r。在A中任意添加一列B =也,b2，,bm f , 通过一些列的交换，总可以使所得矩阵变成 A= A,B，而秩不变。因此我们只 需研究A的秩与A的秩之间的关系。用初等行变换将 A化成阶梯形矩阵 A，相应地，A的子矩阵A也化成了 A = Ai,Bi的m n阶子矩阵A，并且Ai也是阶梯形的，其非零行都在矩

9、阵的上 部。因为rank A二r，所以A恰好有r个非零行。这样，A的前r行也都是非零 行。如果A只有这r个非零行，则rank A = r。要不然，A的第r 1行也是非零 行。这时，因为A只有r个非零行，所以A的第r 1行的前n个元素必定都是零， 只有最后那个元素不为零，由于A|是阶梯形矩阵，A的第r 1行之后的各行（如果还有的话）必定都是零行，因此，ran k（A）=r+1。这就证明了添加一列的情形，类似地可证明添加行的情形定理2还说明，在m n矩阵A的标准形Er0r,nm £r中，r二rank A。从而，n阶方阵A非退化的充分必要条件是n二rank A 。逆方阵定义3对于方阵A，如

10、果存在同阶方阵 B，使得AB = BA 二 E则称A可逆，B就称为A逆矩阵，记为 A。若方阵A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，如果A还有一个逆矩阵C，则由定义AC二CA二E，所以C 二 EC 二 AAC 二 A，AC 二 AE 二 A，F面要解决的问题是：在什么条件下方阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求AJ ？定义4设Aj是方阵aiiai2ai na2ia22a2na nian2ann J中元素aj的代数余子式，矩阵AiiA2iAniAi2A22An2AinA2 nAnn称为A的伴随矩阵。由行列式的定义和性质立即得出如果A = 0，那么Aa =aAA= E(ii 3 i)定理 矩阵A可逆的

11、充分必要条件是 A非退化，而4i *证明当AHO，由(ii 3 i)可知，A可逆，且A =丄A。IA反过来，如果A可逆，那么有A*，使AA = E，两边取行列式，得a| A| = E = i因而A =0,即卩A非退化。逆方阵适合以下规律：AJ =Aat < atAB=B *丄 1 jkA A ,k=0 kA二其中A, B都是可逆方阵，k是不为零的常数。推论 对于同阶方阵 代B，如果AB = E，那么代B都是可逆的并且它们互为逆矩阵。证 B =EB 二 AAB 二 A AB 二 AE 二 A不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵。事实上Pi,j =P i,j ,Pi k &

12、#39;二 Pi k,Pi, j k '二 Pi,j k 。定理 n阶方阵A可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：定理两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩。特别地，当有一个因子是可逆矩阵时， 乘积的秩等于另一因子的秩。证 设A是一个丨m矩阵，B是一个m n矩阵，并且rank A二r。由第一节定理2, 可以用初等变换将 A化为fEr 0、 A =。<0 0丿换句话说，存在I阶初等矩阵P,，Ps和m阶初等矩阵Ps1 / ,Pt，使PPsAPs卅P = A，于是RRAB = RRAR十RPPsB = APPsB = ABi，这里Bi =R4Ps；B。显然，A Bi除了前r行外，其余各 行的元素 都是零，所以rank A