第三章第九讲：燕尾定理.例题精讲

1、燕尾定理燕尾定理：在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 0，那么S abo : Saco = BD : DC .4- 2- 4燕尾定理 题库page 1 of 5燕尾定理上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为.ABO和厶ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S ：S4 =S2=BD : DC4- 2- 4燕尾定理 题库page # of

2、 5燕尾定理4- 2- 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S : S4 =BD : DC ；三角形 ABE与三角形EBD同高，S ：S ED : EA ；三角形 ACE与三角形 CED 同高，S4=ED : EA，所以 S ： ：S3 ;综上可得 S ： S4 =5 : S3 =BD : DC .【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD : DC =1：2，AD与BE交于点F 则四边形DFEC的面积等于 .4- 2- 4燕尾定理 题库pa

3、ge # of 5燕尾定理4- 2- 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理【例2】D如图所示，在四边形 ABCD中，AB =3BE , AD =3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边 形BODC的面积为 .4- 2- 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是平方厘米.【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米, 面积是平方厘米.E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF 的4- 2- 4燕尾定理 题库page 2 of 5燕尾定理4- 2-

4、 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理【例 5】如图所示，在 ABC中，BE : EC =3:1 , D是AE的中点，那么 AF : FC =4- 2- 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理4- 2- 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形 ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且11AE AB , CF BC , AF与CE相交于G，若矩形 ABCD的面积为120，则.：AEG 与 :CGF的 34面积之和为4- 2- 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理4- 2- 4燕尾定理 题库page #

5、 of 5燕尾定理【例 7】如右图，三角形 ABC中，BD : DC =4:9 , CE :EA =4:3，求AF : FB .4- 2- 4燕尾定理 题库page # of 5燕尾定理【例8】（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF : FB二BD : DC二CE :AE =3:2 , 且三角形ABC的面积是1，则三角形 ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形GHI的面积为.【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积 分别是3 , 7 , 7 ,则阴影四边形的面积是多少？【例10】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知

6、其中 4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少？【例11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分 的面积.【例12】如右图， ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点， AD与BG交于M ,AF与BG交于N ,已知 ABM的面积比四边形 FCGN的面积大7.2平方厘米，则 ABC的面积是 多少平方厘米？4- 2- 4燕尾定理 题库page 3 of 5燕尾定理【例13】 如图，三角形 ABC的面积是1 , BD =DE = EC , CF =FG =GA，三角形ABC被分成9部分, 请写出这9部分的面积各是多少？【例【例【例

7、14】如右图，面积为1的厶ABC中，BD求阴影部分面积.I15】如图，面积为影部分面积的三角形ABC中,:DE:EC =1: 2 :1 , CF : FG : GA =1: 2 :1E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、，AH : HI : IB =1: 2 :1，CA的三等分点，求阴16】如图，面积为心六边形面积I的三角形ABC中,E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA的三等分点，求中4- 2- 4燕尾定理 题库page 4 of 5燕尾定理【例17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形A , A , A , A , a5 , A的面积是2009平方厘米，Bi , B2 , B3 , B4 , B5，Be分别是正六边形各边的中点