复合曲线坐标计算

1、浅谈复合曲线坐标计算曹 国 平在大型互通式立交的匝道以及受地形条件限制的公路设计中，常把中线设计成复合曲线直线、圆曲线、缓和曲线的复杂组合的线型。随着测量仪器的发展和计算机的普及，道路中线的测设常采用极坐标法。极坐标法的关键之一是求出中线上任意点在路线测量坐标系中的坐标。对于一般的线形，中桩坐标计算比较简单，而复合曲线中桩坐标计算比较复杂，本文提出一种复合曲线上任意中桩坐标计算的方法和过程。一、 计算原理及方法任何复杂的路线线形都是由多个直线段、圆曲线段、缓和曲线段组合而成的，把它设在路线导线测量坐标系统中（如图1）可以用一个参数函数表示：L是路线上任意点的里程。这个函数是一个分段函数，L在不

2、同的区间里Fx(L)、Fy(L)是不同的表达式，这个不同的区间是由不同的直线区间、圆曲线区间、缓和曲线区间所组成的。根据要求，这个函数必定是一个连续可导的函数，即线形上任何一点都有切线。现在的问题就是：给定任意点P（里程Lp）如何判断P所在区间，并计算出P点坐标（Xp、Yp）及切线方向Tp，因为知道切线方向就可以计算出该点的法线方向，这在弯道上确定边桩及在曲线桥施工中确定桥墩的纵轴线方向时很重要。对于直线段，可以把它看成是任意一点的曲率半径R均为的一种曲线，所以这是把组成路线的三种基本线形：直线、圆曲线、缓和曲线称为曲线单元。任何一个曲线单元都可以由该曲线单元起点的曲率半径R1、终点半径R2及

3、曲线单元长度S确定该曲线单元的几何形状和大小，故把R1、R2、S称为曲线单元要素：（1）R1=R2=时，为直线，直线长度为S；（2）R1=R2=R时，为圆曲线，圆曲线半径为R，长度为S；（3）R1R2时，为缓和曲线，缓和曲线的长度为S，参数A为：A= 通过分析得出：只要知道了每个曲线单元的起点O的里程L0、坐标（X0，Y0）及切线方位角To和曲线单元的左右偏情况（用cc表示，cc=-1表示左偏，cc=+1表示右偏），就可以求出曲线单元上任意一点的坐标和切线方位角。下面分三种情况讨论计算过程：1、 直线单元曲线要素R1=R2=，图2所示，里程为Lp的P点坐标及切线方位角为：l=Lp-L0Xp=X

4、0+l·cosT0Yp=Y0+l·sinT0Tp=T0当Lp=L0+S时，计算出的结果就是曲线单元终点E的坐标（XE，YE）和切线方位角TE，求终点E的目的是为了得到下一个与它相连的曲线单元起点的（X0，Y0）、To，因为路线是连续可导的，即：X0下=XE上，Y0下=YE上，To下=TE上。2、 圆曲线单元曲线要素R1=R2=R，图3所示，按切线支距法求出P点在O点切线坐标系中的坐标（xp，yp），l=Lp-L0=l/R （=180°/）然后通过坐标旋转公式求得P点在路线导线测量坐标系中的坐标和方位角，计算公式如下： （1）把曲线单元终点里程Lp=L0+S代入上面

5、的式子中去就求得（XE，YE），TE，下面类似。3、 缓和曲线单元由于缓和曲线要素中R1R2，根据实际情况可分为下列四种情况计算：（1） R1=，R2=R这是最常规的也是最简单的情况，一般把它称为缓和曲线的基本型，这时Ls=S，图4所示。类似于圆曲线单元的方法，去计算切线支距法时P点坐标（xp，yp），l=Lp-L0xp=l-l5/（40·R2Ls2）+（2）yp=l3/（6·R）·Ls-l7/（336·R3·Ls3）+=l2/（2·R·Ls）然后按（1）式的计算公式求出（Xp，Yp）和Tp。在程序设计中把基本型计算当成子程

6、序，以便后面调用。（2） R1=R，R2=图5所示，在E点处的曲率半径为无穷大，可以先计算出E点的坐标和切线方位角：Ls=S1=Ls/（2·R）·按切线支距法得出O点在E点切线支距坐标系中的坐标：x0=Ls-Ls3/（40·R2）+y0=Ls2/（6·R）-Ls4/（336·R3）+根据（x0，y0）就可以求出OE直线段（图中虚线）的长度和方位角ToES0E=2=1-arcty(y0/x0)ToE=To+cc·2那么:XE=X0+SoE·cosToEYE=Y0+SoE·sinToETE=To+cc·1有了

7、TE、XE、YE就可以采用（1）的计算方法，在程序中就调用（1）的子程序，这时（XE、YE）相当于子程序中的（X0、Y0），E点切线反方位角Te=（TE±180°）相当于T0，但要注意的是此时： l=Ls-(Lp-L0)(见图中) cc=-1cc 求出的切线方位角是切线的反方位角（这里把顺着路线方向的方位角称为正方位角），还需把它正过来。（3） R1>R2，R1、R2这种情况以及下面的（4）在同向圆曲线用缓和曲线连接以及匝道设计中经常遇到，有时把这二种缓和曲线称为不完全缓和曲线。如图6所示，如果顺着大半径O点端把缓和曲线补充到曲率半径为无穷大处的O点处，就可以利用（1

8、）的计算公式进行计算。由R1，R2及S得出缓和曲线回旋参数AS=-A=Ls1=即O点到无穷大处的缓和曲线长度为Ls1。下面计算O点的坐标和切线方位角。按切线支距求出以O点切线为x轴的O点坐标（x0、y0），x0=Ls1-Ls13/（40·R12）+y0=Ls1/（6·R1）-Ls14/（336·R12）+1=Ls1/（2·R1）则To=To-cc·12=arcty(y0/x0)，Soo=OO直线段方位角为Too=To+cc2则Too=Too±180°Xo=Xo+Soo·cosTooYo=Yo+Soo·sinToo有了上述数据，就可以按（1）计算任意点P的坐标，此时To、Xo、Yo相当于To、Xo、Yo，而l=（Lp-L0）+Ls1