第四章-圆与方程知识点总结及习题(答案)(20220216043522)

1、第四章圆与方程1圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。2、圆的方程2 2 21标准方程 x a y b r ,圆心a, b，半径为r ；222点M(xo,y)与圆(x a) (y b) r的位置关系：当(xa)2(y0b)2r2，点在圆外当(xa)2(yb)2=r2，点在圆上当(xa)2(y0b)22 _3C.-2 v a v 0答案 D 2. 2022 河南新郑模拟丨圆x2+y2+2x-4y+仁0关于直线2ax- by+2=0 a、b FS对称，那么ab的取值范围是 A.1 B. 0,丄1 C 一,0D1444答案AA 1, -1丨，B-1 ,1

2、，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是2 2 2 2A.x-3+(y+1) =4B.( x+3) +(y-1) =4C.x-12+(y-1) 2=4D.( x+1)2+(y+1)2=4答案 C4. 以点2, -1丨为圆心且与直线3x-4 y+5=0相切的圆的方程为A.( x-2) 2+(y+1)2=3B.( x+2) 2+( y-1) 2=3C.( x-2) 2+(y+1)2=9D.( x+2)2+(y-1) 2=9答案 C5. 2022 宜昌模拟丨直线y=ax+b通过第一、三、四象限，那么圆x+a2+(y+b) 2=r2 (r 0)的圆心位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

3、限答案 B典例剖析 22B x +y +4x=022D. x +y -4 x=0例1圆C的半径为2 ,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，那么圆C的方程为A. x2+y2-2x-3=022C. x +y +2x-3=0答案 D2112+2 3-3=0，=1， m=3.圆心为丄,3，半径为-.2 212分实数x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.，毬O-3) y=0.例2 圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P, Q两点，且 0P丄0Q0为坐标原点，求该圆的圆 心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2

4、-20 y+12+m=0.设 PXi, yj , Q(X2, y2)，那么 yi、y?满足条件：yi+y2=4, yy= _m5/ OPL OQ / XiX2+yy2=0. 而 Xi=3-2 %, X2=3-2y2./ xiX2=9-6( yi+y2)+4yiy2.m=3,此时 0,圆心坐标为 -,半径r = 5 .2 2方法二如下列图，设弦PQ中点为MTOIVL PQ / kOM 2 ./. OM的方程为：y-3=2 x 丄，1 2即: y=2x+4.由方程组 y 2X 4.x 2y 30解得M的坐标为-1 , 2.那么以PQ为直径的圆可设为x+12+y-22=r2./ OPL OQ 点O在

5、以PQ为直径的圆上 0+12+0-22=r2，即 r2=5, MlQ=r2. 在 Rt OMQ中, O(Q=oM+mQ2(3-2) 2+5=1_L6)如4m=3.半径为5 ,圆心为 1 3 .2 2方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6 y+m+ (x+2y-3)=0. 由 OP丄OQ知，点 O0，0在圆上.m3 =0，即 m=3.圆的方程可化为x2+y2+x-6 y+3 + x+2 y-3 =0 即 x2+(1+ )x+y2+2(圆心M 1一，一)，又圆在 PQ上.2 21求y- x的最大值和最小值;2求X+y2的最大值和最小值5分6分8分12分最小值，此时2 0 b .3 ,解得b

6、=-2 6.所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2- J6 .2x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2 02 0 02 =2，所以x+y2的最大值是2+J3 2=7+43，x2+y2 的最小值是2-32=7-43 .圆与直线方程例 1 圆 x2+y2-6m*2 mly+10ni-2 n-24=0 mE R.1求证：不管 m为何值，圆心在同一直线I上；2与I平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；3求证：任何一条平行于I且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等1证明 配方得：x-3m 2+ y- ml

7、 丨2=25，设圆心为x，y，那么x 3m ,消去m得y m 1I : x-3 y-3=0，那么圆心恒在直线 I : x-3y-3=0上.2解 设与I平行的直线是11 : x-3y+b=0,贝U圆心到直线11的距离为3m 3m 1 b 3 b怖10t圆的半径为r =5，当dv r，即-5 10 -3 b r，即bv -5 10-3或b 5 10-3时，直线与圆相离(3)证明 对于任一条平行于I且与圆相交的直线li： x-3y+b=0,由于圆心到直线11的距离d3(4)弦长=2 r2 d 2且r和d均为常量.任何一条平行于I且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.2 2x +y -4 x-4 y+

8、7=0例2从点A-3 , 3发出的光线I射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，求光线I所在直线的方程.解方法一 如下列图，设I与x轴交于点B b,0)，那么kAB=3 ,根据光的反射定律,b 3反射光线的斜率k反= .反射光线所在直线的方程为y= (x- b), 即3x-( b+3)y-3 b=0.b 3b 3t圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C2,2丨， 半径为1, 6(b 3)2 3b=1,解得 b1=-3,b2=1.9 (b 3)2443 kAB=- 或 kAB=- . I 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.34方法二 圆C: x2+y2-4x

9、-4y+7=0关于x轴对称的圆为 C: ( x-2) 2+(y+2)2=1，其圆心 G的坐标为2,-2，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C相切.设 I 的方程为 y-3=k(x+3),贝U 冰一5 =1,即 12k2+25k+12=0.仰k2匕=-4，k2=- 3 .贝U I 的方程为 4x+3y+3=0或 3x+4y-3=0.3 4方法三设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且,消去b得1魁=11 k2后者与圆相切.243即 12k +25k+12=0, k1=-, k2=-.34那么 I 的方程为 4x+3y+

10、3=0 或 3x+4y-3=0.例 3 圆 Ci： x2+y2-2 mx+4y+ni-5=0,圆 G： x2+y2+2x-2 my+n,i-3=0, m为何值时,1圆C与圆C2相外切；2圆C与圆C2内含？解 对于圆Ci与圆C2的方程，经配方后G:( x-n)2+(y+2)2=9; C2：( x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果 C 与 C2外切，那么有(m 1)2 (m 2)2 =3+2.(n+1)2+( n+2) 2=25.m+3m10=0,解得 n=-5 或 n=2.2如果 C 与 C2 内含，那么有 (m 1)2 (m 2)2 3-2.(n+1)2+( n+2) 2 1,m+3m+2

11、 0,得-2 m-1,当m=-5或m=2时，圆C与圆G外切；当-2 m-1时，圆G与圆G内含.例 4 12 分点 P0，5丨及圆 C: x2+y2+4x-12y+24=0.1假设直线I过P且被圆C截得的线段长为4.3，求I的方程;2求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解 1方法一 如下列图，AB=4.3，D 是 AB 的中点，CD丄 AB, AD=2 . 3，圆 x2+y2+4x-12 y+24=0 可化为x+22+ y-62=16,圆心 C-2，6，半径 r=4,故 AC=4, 在 Rt ACD中，可得 CD=2.设所求直线的斜率为 k，那么直线的方程为y-5=kx.即 kx- y+5=0.

12、由点C到直线AB的距离公式：2k 6 5 =2 ,典(I)此时直线I的方程为3x-4y+20=0.又直线I的斜率不存在时，此时方程为x=0.那么 y2-12y+24=0,yK+2 . 3 y=6-2 3 ,: y2-yi=43 ,故x=0满足题意.所求直线的方程为 3x-4 y+20=0或x=0.方法二设所求直线的斜率为k,那么直线的方程为联立直线与圆的方程y2 kx2 5,x y 4x 12y240消去 y 得1+k2x2+(4-2 k)x-11=0设方程的两根为X-X2,由根与系数的关系得由弦长公式得1 k2 | X1-X2F (1 k2)(Xj x2)2 得 k= 3 .44分6分8分y

13、-5=kx,即 y=kx+5,2分X1X22k 41 k24分11X1X221 k4从4 3,将式代入，解得k=3 ,此时直线的方程为3x-4y+20=0.4又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.所求直线的方程为 x=0或3x-4 y+20=0.8分2设过P点的圆C的弦的中点为 Dx,y, 那么CD丄PD,即CD PD =0, x+2,y-6 (x, y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11 y+30=0.P4, -1且与圆C: x2+y2+2x-6 y+5=0切于点M 1 , 2的圆的方程解 方法一 设所求圆的圆心为 A n, n)，半径为r,那么AMC三点共线，且有|MA=|Ap=r,因为圆 C: x2+y2+2x-6 y+5=0 的圆心为 C-1 , 3，那么 m 111(m 1)2 (n 2)2(m 4)2 (n 1)2 r解得 m=3, n=1, r = 5 ,所以所求圆的方程为(x-3) 2+(y-1) 2=5.方法二 因为圆C: x2+y2+2x-6y+5=0过点M 1, 2的切线方程为 2x-y=0,所以设所求圆A的方程为