等腰三角形三线合一

1、1 如图， AC平分/ BAD,CE丄AB于E, CF丄AD于F,且BC=CD.1求证： BCE DCF2、如图， AB=AC, / A=36 , AB的中垂线 MN交AC于点D,交AB于点M, 求证：1BD平分/ ABC ;2 BCD为等腰三角形.3、：如图/ BAC的角平分线与BC的垂直平分线 DG交于点D,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E, F.试说明：BE=CF ;假设AF=3 , BC=4，求 ABC的周长.4、如图， ABC中，AC = BC,/ ACB = 90 点D为BC的中点，点 E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点 F、G ,连接BE、BF、GD求证：1

2、 BEF为等腰直角三角形 ；2 / ADC = / BDG.5、如图，在等腰 Rt ABC中，/ C = 90 D是斜边上 AB上任一点，AE丄CD于E, BF丄CD交CD的延长线于 F , CH丄AB于H点，交AE于G.1试说明AH = BH2求证：BD = CG .3探索AE与EF、BF之间的数量关系6、此题14分如图1，在 ABC和厶EDC中，D ABC边AC上一点，CA平分/ BCE , BC = CD, AC = CE.1求证： ABC EDC ;2如图2，假设/ ACB = 60连接BE交AC于F, G为边CE上一点，满足 CG =CF，连接DG交BE于H. 求/ DHF的度数；

3、假设EB平分/ DEC，试说明：BE平分/ ABC.共 7 页，第 3 页参考答案1、 1证明见解析212、 1证明见解析2证明见解析3、 证明详见解析；210 .4、 1证明见解析；2证明见解析.5、 1见解析；2见解析；3AE=EF +BF，理由见解析6、 1略2 丨/ DHF=60 略【解析】1、 试题分析：1根据角平分线的性质可以得出CF=CE,在证明-七-U 就 可以得出DF=BE ；先证明-，就可以得出 AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出 8+x=10-x，求出方程的解即可试题解析：1： AC平分/ BAD,CE丄AB于E,CF丄AD于F CE=CF,在 Rt BCE 和 R

4、t DCF 中,/ CE=CFBC=CD, Rt BCE 也 Rt DCF HL 丨.2由1得，RtA BCE也 Rt DCF DF=EB，设 DF=EB=X由 Rt AFC 也 Rt AEC HL可知 AF=AE 即: AD+DF=AB-BE/ AB=17 , AD=9 , DF=EB=x 9+x=17-x 解得，x=4 AE=AB-BE=17-4=1点睛：此题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等直角三角形全等的判定定理是SAS, ASA , AAS , SSS, HL .2、试题分析：1由AB的中垂线 MN交AC于点D,交AB于M，求得

5、 ABD是等腰 三角形，即可求得/ ABD的度数，然后根据等边对等角，求得/ DBC的度数，从而得证；2根据1的结论和外角的性质，可得/BDC= / C,再根据等角对等边得证.试题解析：1： MN为AB的中垂线， AD=BD ,贝A= / ABD=36 ,/ AB=AC , / A=36 , / ABC= / C=72 , / DBC=36 ,因此，BD平分/ ABC ；2 丨由和/ 2=36 / C=72 ,/ BDC=180 -36 -72 =72 ,/ C=Z ABD+ / DBC= / BDC , BCD为等腰三角形.3、试题分析：1连接DB、DC,根据角平分线性质和垂直平分线的性质得

6、：DE=DF ,DB=DC，证明 Rt BED 也 Rt CFD HL，得出结论；2先证明 AED AFD，得AF=AE=3，再将 ABC的周长进行等量代换，即 ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC，代入求值即可.试题解析：连接 DB、DC ,1t AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 AC , DE=DF ,/ DG垂直平分BC , DB=DC ,在 Rt BED 和 Rt CFD 中，DE=DF, BD=CD , Rt BED 也 Rt CFD HL， BE=CF ;21；/ DAE= / DAF，/ AED= / AFD=90 , AD=A

7、D , AED AFD , AF=AE=3 ,由1得：BE=CF , ABC 的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF - CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10.考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.4、试题分析：1连接DE,根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出 CF=EF , CD=DE ,推出CD=ED=BD ,根据直角三角形的判定推出 BEF是直角三角形，求出/ AFC= / BEC= / ACD=90 , / CAF= / ECB ,根据全等三角形的判定定理得出 ACF CBE ,根据全等三角形的性质得证；2丨作/ ACB的平分线交 AD于M

8、 ,根据 ASA推出 ACM CBG得出/ ADC= / M ,CD=BM ,根据SAS推出 DCM DBG ,求出/ M= / BDG ,即可得出答案试题解析：1连接DE,点E、C关于AD对称， AD为CE的垂直平分线, CD=DE , / D 为 CB 中点， CD=DE=DB , / DCE= / CED , / DEB= / DBE ,DCE+ / CED+ / DEB+ / DBE=180 , / CEB=90 ,ECB+ / ACF=90 , / CAF+ / ACF=90 , / ECB= / CAF ,在厶ACF和厶CBE中， AC = CB.乙匹C = NC曰 ACF CBE

9、 AAS, CF=BE，右 T CF=EF EF=EB , EFB为等腰直角三角形.2作/ ACB的平分线交 AD于M , 在厶ACM和 CBG中，= Z5CG( ACCB.-_ _5 ACM CBG ASA， CM=BG ,在厶DCM和 DBG中，MC=GB(Z.VCD = GBD =45. 2_ DCM DBGSAS，/ ADC= / GDB.5、试题分析：1根据等腰三角形的三线合一证明；2证明 ACG CBD，根据全等三角形的性质证明;3证明 ACE CBF 即可.试题解析：1. AC=BC , CH 丄 AB AH = BH2. ABC为等腰直角三角形，且 CH丄AB./ ACG =

10、45/ CAG + Z ACE = 90, / BCF +Z ACE = 90/ CAG = Z BCF在厶ACG和厶CBD中ZCAG=BCD AC=CB ACG CBD ASA BD = CG3AE=EF + BF理由如下：在厶ACE和厶CBF中，也 CAE= ZBQFLECZCFBAC=CB ACE CBF , AE=CF , CE=BF, AE=CF=CE+EF=BF+EF .6、 1. CA 平分/ BCE , / ACB = Z ACE.在厶ABC和厶EDC中/ BC = CD，/ ACB= / ACE , AC = CE ABC也厶 EDC SAS2丨在 BCF和厶DCG中/ BC=DC,Z BCD= / DCE,CF=CG, BCFS DCGSAS,/ CBF = Z CDG./ CBF + Z BCF = Z CDG+ / DHF/ BCF = Z DHF =60.：EB平分/ DEC ,/ DEH = / BEC./ DHF =60,/ HDE=60- / DEH ./ BCE=60+60=120,/ CBE=18