第4章--指数函数与对数函数-Microsoft-Word-文档

1、第四章指数函数与对数函数考点精析了解n次根式的意义，理解有理指数幕的概念和运算性质，指数函数的定义；理解指数函数的图像和性质考题回忆河南考题1. 2007年设m>n> 1且0v a v 1，那么以下不等式成立的是m nA. a v aB.mnC. a v aD.2. 2006 年 0v av b v 1,那么ab0.20.2A. 0.2 v 0.2 B. a v b解答：B0.2 . 0.2C. a = bbD. a3. 2006年函数y ax与ya x a> 0且az 1的图像关于直线 y = x对称解答：x备考指导一、知识清单1正整数指数幕n aa a -n个1an是正整

2、数；aa2零指数幕：a1aaz 03负整数指数幕：an1n an是正整数，且az 04正分数指数幕：amn n amm , n是正整数，且n > 1,a> 05负分数指数幕：am 1nmm, n是正整数，且n > 1,a> 06根式：an性质：当n为奇数时n an = a；当n为偶数时n an = a a(a 0)a (a vo)7根式(n an)n性质：8实数指数幕的运算法那么：设a>0, b>0, r R, s Rr s r sa = a(ar)sar s(ab)r ar br1指数函数的定义：函数y= ax a>0且az 1叫做指数函数，其中 x

3、是自变量，函数定义域是R.2指数函数y = ax a> 0且1的图像和性质:【例1】计算a> 10v av 1图像定义域：R性值域：0, +8质过点0, 1，即 x = 0 时，y=1质既非奇函数又非偶函数在R上是增函数在R上是减函数、典型例题1210.064 3(、2)3163【解答】1原式=(34/331 28旦272原式0.4 3(24)= (0.4) 110 144【评述】此题综合考查指数概念及运算法那么,丄 238 8通过上面的解题过程， 注意学习利用这些概念及法那么进行计算的具体方法。【例2】当a> 0时,的值是202201 1 1 1A. a3B. a8 C.

4、a8D. a2【解答】A.【评述】此题考察正分数幕与根式的互化关系【例3】以下函数中，定义域为XXR,且x0的是A. y xB.12y x2C.D.【解答】因为所以，正确选项为此题考查点是求幕函数的定义域, 属容易题给出以下三个命题：C.【评述】后求解,【例4】要求能将幕的形式复原为根式或分式的形式,1函数a> 0，且aM 1不是指数函数2指数函数在基定义域上是增函数.3指数函数不具有奇偶性.那么三个命题中正解命题的个数是 【解答】2个，由指数函数定义：函数 y ax a> 0，且aM 0叫做指数函数，可知11 1正确，因f (x) ;由指数函数的图像知其既不关于y轴对称，也不关于

5、原点对a a称，因此2也正确；因当 0 v av 1时，指数函数为增函数，故3不正确所以三个命题中正确命题的个数是 2个.【评述】此题考查指数函数的定义，考查指数函数的奇偶性及单调性X 1【例5】当x v 1时，a >1 a> 0,且aM 1，那么a的取值范围是 .【解答】0v av 1，: ax 1> a0又 xv 1 即 x -1 v 0/ 0v a v 1【例6】假设指数f(x)= ax，且f(4)=4，那么a等于【解答】2【评述】此题考查指数函数的概念，及待定系数法因 f(x) = ax，且 f(4)=4，得 a4 =4所以a= 2，又由指数函数的定义可知a>0

6、,且aM 1所以a= . 2 .x2 81【例7】求等式<3 2x【解答】原不等式1V3 2x可变形为如下x232x1一从而可得38> 2x解得x> 4或x v -2所以原不等式8V3 2x的解集为x x>4 或 xv强化训练一、选择题1以下各式中等式成立的是A. 3 16 B. 6 ( 2)2 3 2C. . a3b3(a3b)2D.1a5b5上单调增加 上单调增加7.函数y=22. 函数f (x) = 0.5凶，那么该函数八4A. y xB. y ( 4)x C. y4x D.xy 44.函数f(x)2x 1 =x2x 1那么以下命题为真的是A.f(x)是奇函数B.

7、f(x)是偶函数C.f(x)是非奇非偶函数D.f(x)既是奇函数也是偶函数5.假设集合s= yy3x,x R , T yyx22, xR，那么Snt 是A.SB.TC.06.把函数'y =f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数y 2x的图像，那么A. f (x)2x 2 2B. f (x)2x 22C. f (x)x 22 2D. f (x) 2x 222x5的单调递增区间是A. 是非奇非偶函数，且在-R, 0B. 是非奇非偶函数，且在0, +8C. 是偶函数，且在-8, 0上单调减小D. 是偶函数，且在0, +8上单调减小3.以下函数中为指数函数的是Y2A. (1B. (

8、1,)D. 4, +口y1ex的定义域为A.4, 0B. -, 0U 0, +8C.-m, +mD. 0, + 8、填空题y5x 1的定义域为，值域为C. 1 , 41 110.假设指数函数y=f(x)的图像过点4,，贝y f =,2 2(0.6)m>(0.7)mm R成立，那么m的取值范围是 .三、解答题12.计;算以下各I式:21318 3(3-6)2 0.0001 427251112152(6a3b4)(2a2b3) ( 3a 6b12)13求以下函数的定义域:1 y2x 10.60.30.60.6,0.6 , 0.3 的大小.考点2对数与对数函数考点精析1. 理解对数的定义含常用

9、对数、自然对数的记号及运算性质，能进行根本的对数运算.2. 理解对数函数的定义；理解对数函数的图像和性质3. 了解反函数的定义及互为反函数的函数图像间的关系，会求简单函数的反函数 考题回忆河南考题2 21. 2022 年设 x (1,10), a=(lgx) ; b= lg x ; c=lg(lgx),那么以下各式中成立的是A.c v av b B.av c< b C.cv bv a D.a v bv c解答：A2. 2022 年方程 logx3 log 3 4 log93 的解是解答：、23. 2022年设函数f(x)是定义在0, + 8上的增函数，且对于任意的x, y 0, + d都

10、有 f(x y)=f(x)+f(y)1试给出一个符合上述所有条件的函数f(x).2证明：f(1)=03假设 f(2)=1，求 f(64)的值.解答：1f(x)= log2 x(x>0)2由题设 f(1)=f(1 1)=f(1)+f(1)=2f(1)，因此 f(1)=03因为f(4) = f(2 2)=f(2)+f(2)=2 , f(8)=f(2 4)=f(2)+f(4)=3所以 f(64)=f(2 X 4X 8)=f(2)+f(4)+f(8)=64. 2022 年设 lgx=a，那么 Ig 1000x=解答：a+35. (2007 年)log 2 6 Iog3 6 ( log 2 3Io

11、g3 2) =解答：a+3备考指导一、知识清单1对数的定义一般地，如果aa>0,1的b次幕等于N，就是ab N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作loga N b , a叫做对数的底数，N叫做真数.底数的取值范围0, 1U 1, +8；真数的取值范围0, +82对数的类型常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，N的常用对数log10 N简记作lgN.为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数loge N简记作lnN.对数的性质负数与零没有对数；loga 1 0a>0, a丰1；loga a 1a>0, a 1.4对数恒等式、换底公式 对数

12、恒等式：如果把中的b写成loga N，那么有alogaNN a> 0, a 1 对数的换底公式：loga N = logm N a>0, a丰 1, m> 0,1,N >0logma5积、商、幕的对数运算法那么：如果 a> 0,1, M> 0, N>0 有： loga(MN) logaM loga N-M loga -Nlog a M loga Nloga M nnloga M n r1对数函数的定义函数y log a x a> 0且aM 1叫做对数函数；对数函数 y log a xa> 0且1 的定义域为0, + g，值域为-g, +8.

13、2对数函数的图像由于对数函数y logaX的图像与指数函数 y ax的图像关于直线 y=x对称因此，我 们只要画出和y ax的图像关于y=x对称的曲线，就可以得到 y loga x的图像，然后根 据图像特征得出对数函数的性质 3对数函数的性质由于对数函数的图像，观察得出对数函数的性质a> 10v av 1图像定义域：0, +g性值域：R质过点0, 1，即 x = 1 时，y=0x (1,0)时yv 0x (1,0)时y>0x (1,+ g)时 y > 0x (1,+ g )时y v 0既非奇函数又非偶函数在0, +g上是增函数在0, + g上是减函数、典型例题【例1】求log

14、 9 27的值【解答】方法一：设log927 = x,即9x 27 ,得32x 333 3-2x = 3 x ,即 log 9 27 =2 2lg 273lg 3 3万法一：log9 27 =lg92lg3 2方法三：333log9 27 = log 32 33log3 3log 3 3【评述】此题三种解法分别考查对数定义、换底公式以及性质1log334 2722log218 2log263log16 7 -log49 32【例2】求以下各式的值：【解答】1log334 272 = log334 36 = log3 310 = 10log 2 22log 218 2log 26 log 218

15、 log 2 363啦7 炖932=lg25lg 7?lg2 = 54lg2?lg7 8【评述】采用换底公式时，往往化为以10为底的对数进行计算c的大小关系为【例 3】设 a= log0.5 6.7 ,b= log2 4.3, c= log2 5.6，那么 a, b,A.a v bv cB. av cv bC. b v cv a D. cv bv a【解答】A.【评述】此题考查对数函数的单调性，及利用零搭桥比大小的方法方法一：由 a= log0.5 6.7 v log0.51 0, b= log24.3>log21 0c= log2 5.6 > log21=0可知，a是负数，而b和

16、c都是正数，得a最小，再据对数函数y log2 x在0, +为增函数，得 log24.3v log25.6.所以 av bv c,选 A.注意：一般地，对数logab的正负，可以直接判断：a与b同时大于1或同时大于0而小于1时，logab为正；a与b中，一个大于1，另一个大于0而小于1时，logab为负.方法：由对数的换底公式得a=log 0.5 6.7 =log 2 6.7log 2 6.7log 216.7对数函数y=log2x在0, + 8为增函数1 log 2 v log2 4.3v log 2 5.6 即 av bv c 6.75114535【例4】比拟1,5, log 1的大小3

17、43 4【解答】考查函数y1-,y=35.-，y log1 x435114535可知> 1,v 1, log 1v 03434155531 4所以log1v v -3443【例5】求以下函数的定义域：1y 叽(5 4x) 2y log! (x 1) 2【解答】1由4x >01> 0且 x 14x V5x> 1 且 x 03xv log 4 5厂x> 1且 x 01v xvlog45 且 X 0函数 log (x 1) (5 4x)的定义域为 x 1vxv log45,且X 02由 log 1 (x31) 20 log 1 (x 1)3log1 931> 01

18、 91v x 10函数y logjx 1)2的定义域为1, 10.【评述】给出函数解析式的情况下，求函数的定义域时，应注意1偶次根式下的式子非负；2分母不为零；3x0中xm0；4对数式中，真数大于零，底数大于零且不等于1.【例6】函数f (x) = log21求函数f (x)的定义域2判断函数f (x)的奇偶性并证明3求出函数f (x)的反函数解析式1 x【解答】1要使函数解析式有意义，由对数函数的定义知丄01 x 解得-1 v xv 12因为1f (-x) log 2x1 x log21x1 x所以,函数f (x)为奇函数3由y1 x log?-得-x 2y1 x1x所以，函数定义域为-1,

19、 1log仁 f(x)进而x =2y271所以，函数y log2 1x的反函数解析式为1 x2x 1厂【例7f (x)3xx x R，求 f1 3110的值.【解答】10=m,那么 f(m)=103m1 3m10 10m m3 = 3 +1 m= -2 即 f=-210强化训练一、选择题1血=log 2 3A.3 B. log2C.2D.log2 612.a= log2, b =3,c=123 ,d = log1 2 ,3那么a, b, c, d的大小顺序为A.a v bv cv dB.a v dv bv cC.d v av bv c D.b v av dv c13.设 a= log 4 31

20、 ，那么a的取值范围是log 7 3A.1 v av 2B.2v av 3C.3 v av 4D.4 v av 5y log(2x 1) '- 3x 2 的定义域是2A. ,1 U 1 , +s3B.1 1 U 1 , +s2,C.23,D.12,5.设 x 0.8 0.1, y 0.8 02 ,z log3 0.8，那么 x,z的关系是A. x v yv z B.z v x v yC.x v zv y D.y v x v zxy log2a 4 x在其定义域上是增函数，函数y (a 2)在其定义域上是减函数，那么a的取值范围是 555A. 2, 3 B. -,C. 2, D. -,3

21、2227假设函数在0, +s上是减函数，贝Ua的取值范围是A. a >1 b. a vj2C. a X2 d. 1v a vf(x)log0.5( x2 4x)的递减区间是A.-s, 2B.2, +s) C. 0, 2 D. 2, 4)9. 函数y=f(x)的图像经过点2, 3，那么y= f 1 (3)的值是A.2B.3二、填空题10. f(lgx)x，贝U f(2)=.11. 函数y = log3(x 13)的定义域是.1f(x)=的定义域是.log 0.3(2x 1)13. 函数f (x)= Iog2(1 x)的单调减区间是 三、解答题f( 51) f(、51)，求 f( . 2)的值15. (lg 0.01) 2 log 5 3 Iog3 25 log