第3章-工业机器人静力计算及动力学分析

1、第 3 章 工业机器人静力计算及动力学分析章节题目： 第 3 章 工业机器人静力计算及动力学分析 教学内容 3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析3.2 工业机器人力雅可比与静力计算3.3 工业机器人动力学分析 教学安排 第 3 章安排 6 学时，其中介绍工业机器人速度雅可比 45 分钟，工业机器人速度分析 45 分钟，操作臂中的静力 30 分钟，机器人力雅可比 30 分钟，机器人静力计算的两类问题 10 分钟，拉格朗日方程 20 分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程 60分钟，关节空间和操 作空间动力学 30 分钟。通过多媒体课件结合板书的方式， 采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法， 首先

2、讨论与 机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 知识点及其根本要求 1、工业机器人速度雅可比掌握2、速度分析掌握3、操作臂中的静力掌握4、机器人力雅可比掌握5、机器人静力计算的两类问题了解6、拉格朗日方程熟悉7、二自由度平面关节机器人动力学方程理解8、关节空间和操作空间动力学了解 重点和难点 重点： 1、速度雅可比及速度分析2、力雅可比3、拉格朗日方程4、二自由度平面关节机器人动力学方程难点： 1、关节空间和操作空间动力学 教学法设计 引入新课：至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论， 还没有涉及力、 速 度、加速度等。 机器人是一个

3、多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载 荷和关节驱动力矩 驱动力 作用下将取得静力平衡； 也像刚体在外力作用下发生运动变化 一样，整个机器人系统在关节驱动力矩驱动力作用下将发生运动变化。新课讲解：第一次课第三章 工业机器人静力计算及动力学分析3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析一、工业机器人速度雅可比y1f1(x1,x2,x3,x4 ,x5,x6 )假设有六个函数， 每个函数有六个变量，即：y2 f2 (xi , x2, X3 , X4 , X5, X6 )，可写成 Y=F(X),y6f6(x1,x2,x3,x4,x5,x6)T1f1f 1dy1-dx1dx2-dx6X1X2

4、X6f2 ,f2f2 ,dy2-dx1dx2-dx6X1X2X6f6f6f6dy6-dx1dx2-dx6X1X2X6将其微分，得:，也可简写成dY _FXdx。该式中6X 6矩阵_F叫做雅可比矩阵。X在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比矩阵。二自由度平面关节机器人，端点位置X 11 cos y 11 sinx, y与关节B 1、B 2的关系为：11 ldxdy12 cos( 1 2) 0sin( 12)X .Xd 112yd1y12即：XyX( 1, y( 12)，将其微分，得： -2)d 2d 2，将其写成矩阵形式为XXdx12 d

5、1dyy1y d 22XX令J12，那么上式可简写为dXJ d 。式屮：dXdx ； d1 。y ydy21 2将J称为该二自由度平面关节机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d B与手部作业空间微小位移dX的关系。假设对J进行运算，那么2R机器人的雅可比写为：li sin i 12 sin( 12)12 sin( 12)J11 cos 1 12 cos( 1 2)12 cos( 12)从J中元素的组成课件，J阵的值是B 1及B 2的函数。对于n自由度机器人的情况，关节变量可用广义关节变量q表示，q=q1 q2qnT,当关节为转动关节时，qi= B i，当关节为移动关节时，qi=di,

6、dq=dq 1 dq2dqnT反映了关节空间 的微小运动；机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q),并且是一个6维列矢量，dX=dx dy dz x 3© y 3© zT反映了 操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角位移组成，因此有：dX=J(q)dq ,式中，J(q)是6X n的偏导数矩阵，称为 n自由度机器人速度雅可比矩阵。它的第 i行第j列元素为：Jj(q),1=1 , 2，6; j=1 , 2,，n。qj、工业机器人速度分析对dX=J(q)dq左右两边各除以dt，得:兰 j(q)dq，或V J(q)q。

7、式中，V表示机 dtdt器人末端在操作空间中的广义速度，V X , q表示机器人关节空间中的关节速度，J(q)表示确定关节空间速度 q与操作空间速度 V之间关系的雅可比矩阵。对于2R机器人来说，J(q)是2X 2矩阵。假设令Ji、J2分别为雅可比的第一列矢量和第 二列矢量，那么有： V Ji i J2 2，式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点 速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点 速度。前面提到的二自由度机器人的手部速度为：Vxhs in 1VVyh cos 1

8、12 si n( 1I2 cos( 12)l2 sin( 12)12)l2 cos( 12)2hsin !h COS 1l2 sin( 1 2) 1 12 sin( 1 2) 2l2 cos(12) 1 l 2 COs( 12) 2假设关节上.1及2是时间的函数，1人，2f2(t)，那么可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t)，即手部瞬时速度。反之，假设给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度：q J FV，式中，J 1称为机器人逆速度雅可比。通常可以看到机器人逆速度雅可比J1出现奇异解的两种情况：1工作域边界上奇异。当机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于机器人工作域的边界上或边界附

9、近时，出现逆雅可比奇异，这时机器人相应的形位叫做奇异形位。2工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。当机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在 空间某个方向或子域上，不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能实现移动。对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人的情况，机器人速度雅可比J是一个6X 6矩阵，q和V分别是6X i列阵，即V(6 1) J(q)© 6)q(61)。手部速度矢量 V是由3x1线速度矢量和3X 1角速度矢量组合而成的6维列矢量。关节速度矢量q是由6个关节速度组合而成的6维列矢量

10、。雅可比矩阵 J的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比； 后三行代表手部角速度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J的每一列那么代表相应关节速度qi对手部线速度和角速度的传递比。第二次课3-2工业机器人力雅可比与静力计算一、操作臂中的静力以操作臂中单个杆件为例分析受力， 杆件I通过关节i和i+1分别于杆件i-1和i+1相连 接。令fi-1，i及ni-1，i表示i-1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩；fi，i+1及ni，i+1表示i杆 通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩；-fi，i+1及-ni，i+1表示i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和反作用力矩；fn, n+1及nn, n+

11、1表示机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩；-fn，n+1及-n n，n+1表示外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩；fo, 1及no, 1表示机器人底座对杆1的作用力和力矩；mig表示连杆i的重量，作用在质心 Ci上。连杆 i 的静力平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零,因此力和力矩平衡方程式为：fi-1,i+(-fi,i+1)+mig=oni-1,i+(-ni,i+1 )+("1,i + riCi)X fi-1,i +(riCi) x (-fi,i+1 )=0式中，ri-1,i表示坐标系i的原点相对于坐标系i-1的位置矢量；riCi表示质心相对于坐 标系 i 的位置矢量。假设外界

12、环境对机器人最末杆的作用力和力矩, 那么可以由最后一个连杆相零连杆 机座依次递推,从而计算出每个连杆上的受力情况。为了便于表示机器人手部端点的力和力矩,F可将 fn, n+1 和 nn, n+1 合并写成一个 6 维矢量：n,n 1n,n 1各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n 维矢量的形式,即：12 ,式中, n 表n示关节的个数，t表示关节力矩或关节力矢量，简称广义关节力矩，对转动关节，Ti表示关节驱动力矩；对移动关节，Ti表示关节驱动力。二、机器人力雅可比假定关节无摩擦,并忽略各杆件的重力,那么广义关节力矩 t 与机器人手部端点力 F 的 关系可描述为：T =JTF，式中，JT为n x

13、 6阶机器人力雅可比矩阵或力雅可比。可用虚功原 理证明。该式表示在静力平衡状态下,手部端点力 F 向广义关节力矩 T 映射的线性关系。式中 JT与手部端点力F和广义关节力矩T之间的力传递有关，所以叫做机器人力雅可比。显然， 力雅可比JT正好是机器人速度雅可比 J的转置。三、机器人静力计算的两类问题从操作臂手部端点力 F与广义关节力矩T之间的关系式T =JTF可知，操作臂静力计算 可分为两类问题：1外界环境对机器人手部作用力F'即手部端点力F=-F'，求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩 T 。2关节驱动力矩 T ,确定机器人手部对外界环境的作用力 F 或符合的质量。这类问题是

14、第一类问题的逆解。这时F=(JT)-1T ,但是,由于机器人的自由度可能不是6,力雅可比矩阵就有可能不是一个方阵，那么JT就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多,在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果 F 得维数比 T 的维数低,且 J 是满秩 的话,那么可利用最小二乘法求得 F 的估值。3-3 工业机器人动力学分析 动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器人动力学问题有两类： 1给出的轨迹点上的 、 、 ,即机器人关节位置、速度和加速度,求相应的关节 力矩向量 T 。这对实现机器人动态控制是相当有用的。2关节驱动力矩,求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说,给出关节力矩向量t ,

15、求机器人所产生的运动、。这对模拟机器人的运动是非常有用的。一、拉格朗日方程1 、拉格朗日函数拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能Ek和势能Ep之差，即L = Ek-Ep。令qi i=1，2,，n是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，qi是相应的广义关节速度。由于系统动能 Ek是qi和qj的函数，因此拉格朗日函数也是qi和qi的函数。2、拉格朗日方程系统的拉格朗日方程为：dllzi, i=1 , 2,n，式中，Fi称为广义关节驱dt qiqi动力。如果是移动关节，那么Fi为驱动力；如果是转动关节，那么Fi为驱动力矩。3、用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤1选取坐标系，选定完全而且独立的

16、广义关节变量qi, i=1 , 2，n。2选定相应的关节上的广义力Fi :当qi是位移变量时，那么 Fi为力；当qi是角度变量时，贝V Fi为力矩。3求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。4代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。第三次课二、二自由度平面关节机器人动力学方程1、广义关节变量及广义力的选定选取笛卡尔坐标系。 连杆1和连杆2的关节变量分别为转角B 1和B 2,相应的关节1和 关节2的力矩是t 1和t 2。连杆1和连杆2的质量分别是 m1和m2，杆长分别为11和b,质 心分别在k1和k2处，离关节中心的距离分别为p1和p2。因此杆1质心k1的位置坐标为：X1=p1sin

17、 B 1, y1=pcosB 1, 杆 1质心k1的速度平方为：x2 y (p, J2。杆2质心k2的位 置坐标为：X2=11sin 0 1+p2sin( 0 1+ 0 2), y1=-11cos 0 1-p2cos( 0 1+ 0 2)，杆 2 质心 k2 的速度平方3、4、X2 l1 cos !1P2 cos( 12)( 12)y2 h sin 11p2 sin( 12)( 12)。2 2. 2X2y2h21p；( 12) 211 p2 ( 1 1 2 ) cos 2系统动能EkEkii 1,2Ek11 2-m! »221Ek21 2_m2h21221 _ m2 p2 ( 1 2

18、 ) m21 1 p2 (22为:2、系统势能21Epi iEp拉格朗日函数LEk1m22) cos 21,2E p1Ep2m1gp1(1cos 1)cos 1)ggP2【1cos( 12)12222Ep 2(mP1 m2h ) 1 m2hP2( 1 pl( 12)2 (m1 p1 m2b)g(1 cos1)2) cosmhgp21 cos( 12)5、系统动力学方程根据拉格朗日方程Fidt qi,i=i , 2，n,可计算各关节上的力矩，得到系 qi统动力学方程。关节i上的力矩t(mi pi2m2li ) im2li P2(2 i 2) cos2m2 P2 (i 2)(mi pimhljgs

19、in im2gp2 sin( i所以：鳥i(2m2li p2 sin(mi p' m2P；m2li2 2m2li p2 cos2) i(m2 p2m2li p2cos 2)上式可简写为:由此可得:DiiDi2Dii2Di22Di2)(mzlasin 2) 22 Pimi)gsin im2 p2 g sin( i2)i Dii iDi2 2 Dii2 i 2 Di222mi pimbpf m2li P2 cos 22m2li p2sin 2m2liP2sin 2(mipi m2li)gsin i关节2上的力矩t 2:d L所以：2 dt(上式可简写为:由此可得:22 Di。2 2m? p

20、? imJi 2mJip2C0S2m2p2gsin( i2)m2 p!( im2li p2(2m2lip2s in2ID2im211 P2 i cos 2i 2) sin 2m2gp2 sin(2)(m：2I2 P2mJi P2 cos2) i m2P；2m：l i P2 sin 2) i 2i D22 2ID2i2 i 2(m2li p2 sin2ID2ii i D2i2 m2gp2Sin( iD2iD22D2i2D2iiD22m2P22m2P2m2li P2 sin 2m2li P2 sinm2li P2 sin 2m2gp2 sin( i 2)m2li p2 cos 2以上表达式分别表示

21、了关节驱动力矩与关节位移、动之间的关系，称为图 3-6所示二自由度机器人的动力学方程。对其进行分析可知:速度、加速度之间的关系， 即力和运i含有i或2的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中:1 。所以：D(q)2m1 p122 m2(l12 m2 (p22p22 2l1 p2 cos 2 ) m2( p22 l1 p2 cos 2) 2l1p2 cos 2)m2p2H(q,q)m2l1 p2 sinml p si2nm2l1p22sin 2 1 2,G(q)m2l1 p2 sin 2 1(m1p1 m2l1) g sin 1 m2 p2 g sin( 12)m2gp2 sin( 12)含有D

22、ii和D22的项分别表示由于关节 1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩项；含有D12的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项； 含有D21的项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。2含有 12 和 22的项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中：含有D122的项表示关节2速度引起的向心力对关节 1的耦合力矩项； 含有D211的项表示关节1速度引起的向心力对关节 2的耦合力矩项。3含有 1 2 的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项，其中：含有D112的项表示哥氏力对关节 1的耦合力矩项； 含有D212的项表示哥氏力对关节 2的耦合力矩项。4只含关节变量1、 2的项表示重力引起的关节力矩项

23、，其中：含有D1的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项； 含有D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。从上面的推导可看出，很简单那的二自由度平面关节机器人动力学方程已经很复杂了， 包含很多因素，这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于复杂一些的多自由度机器人， 动力学方程更庞杂， 推导过程也更复杂。 不仅如此， 对机器人实时控制也带来了不小的麻烦。 通常，有一些简化问题的方法： 1当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略； 2当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有12、 22、 1 2等项可以省略；3当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是

24、很突然时，那么含有1、 2的项有可能给予省略。当然关节加速度的减少，会引起速度升降的时间增加，延长了机器 人作业循环的时间。三、关节空间和操作空间动力学1 、关节空间和操作空间n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量所决定，这n个关节变量也叫做n维关节矢量q，所有关节矢量q构成了关节空间。而末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行 的，即操作臂末端位姿 X 是在直角空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学 方程X=X(q)就是关节空间向操作空间的映射；而运动学逆解那么是由映射求其在关节空间中 的原像。 在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应

25、关系。2、关节空间动力学方程将前面二自由度平面关节机器人动力学方程写成矩阵形式，那么t D(q)q H(q,q) G(q),该矩阵方程就是操作臂在关节空间中的动力学方程的一般结构形式，反映了关节力矩与关节变量、速度、角速度之间的函数关系。对于n个关节的操作臂，D(q)是nx n的正定对称矩阵，是q的函数，称为操作臂的惯性矩阵；H(q,q)是n x 1的离心力和哥氏力矢量；G(q) 是nx 1的重力矢量，与操作臂的形位q有关。3、操作空间动力学方程与关节空间动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间中，可以用直角坐标变量即末端操作 器位姿的矢量 X来表示机器人动力学方程。因此，操作力F与末端加速度X之间

26、的关系可表示为：F M x(q)X Ux(q,q) Gx(q)，式中，Mx(q)、Ux(q)和Gx(q)分别为操作空间中的惯性矩阵、离心力和哥氏力矢量、重力矢量，它们都是在操作空间中表示的；F是广义操作力矢量。关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力F与广义关节力T之间的关系T =JT qF和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系J(q)qJ(q)q求出。J(q)q应用第一次课1、图3-7所示二自由度机械手，杆长为li=l2=0.5m，试求下面三种情况时的关节瞬时速度和 。第二次课2、二自由度机械手的雅可比矩阵为j l1Sin1 l2Sin( 12)l2Sin( 12)。假设h COS! l 2 COS( !2)l2 COS( !2)忽略重力，当手部端点力F=1 0T时，求于此力相应的关节力矩。3、 图3-7所示二自由度机械手，杆长l1=l2=0.5m ,手部中心受到外界环境的作用力Fx'及Fy'试求在下面三种情况下，机械手取得静力平衡时的关节力矩T1和T 2。Fx 7N0Fy '/N00 130°30