第21练-关于平面向量数量积运算的三类经典题型

1、第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型分析 髙考展望平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛， 对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有选择题、填空题，也在 解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查体验咼考D.3a1. 2022山东菱形 ABCD的边长为a,/ ABC = 60 °，那么BD CD等于A. - 2a2 B. - 4a2 Ca2244答案 D解析如下列图,由题意，得 BC = a, CD = a, / BCD = 120°1BD

2、2= BC2+ CD2- 2BC CD cos 120 = a2+ a2-2a ax - = 3a2,BD = if3a.二 BD CD = |BD|CD|cos 30 =°3a2x 3 = |a2.222. (2022重庆)假设非零向量a,b满足旧|=一3-卜|,且(a b)丄(3a + 2b),那么a与b的夹角为()7tn 3 nB.2 C.4答案A解析2T2由(a b)丄(3a + 2b)得(a- b) (3a + 2b)= 0，即 3a2 a b- 2b2： |a|= |b|,设a, b>=e,即 3|a|2- |a| |b| cos e 2|bp= 0, 3|b|2-

3、 bl2 cos e- 2|b|2= 0,二cos e=¥又 0< e< n, e= n3. (2022陕西)对任意向量a, b,以下关系式中不恒成立的是()A.|ab|w |a|b|B.|a b|w |a|b|C.(a+ b)2= |a + b|2D.(a+ b)(a b)= a2 b2答案 B解析 对于A，由|a b|= |a|b|cos < a, b> |< |a|b恒成立；对于 B，当a, b均为非零向量且 方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.应选B.4. (2022 课标全国乙)设向量 a= (m, 1), b= (1, 2)，且 |a

4、+ b|2= |a|2+ |b|2，那么 m =.答案 2解析由 |a + b|2= |a|2 + |b|2,得 a丄b，所以 mx 1+ 1 x2 = 0,得 m = 2.5. (2022上海)在平面直角坐标系中，A(1, 0), B(0, 1), P是曲线y = ,1 x2上一个动点，贝y BPbA的取值范围是 .答案0, 1+ 2解析由题意知 y=p 1 x2p(cos a, sin a, a 0, n, BA= (1, 1), BP = (cos a, sin a+ 1),所以 BP BA = cos a+ sin a+ 1 =2sin( a+?+ 1 0, 1 +2EBP BA的范围

5、为0 , 1 + 2.高考必会题型题型一平面向量数量积的根本运算例1(1)(2022四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|= 6, |AD|= 4,假设点M , N满足BM=3Mc , Dn= 2Nc，那么 Am nm等于() (2022福建)AB丄Ac, |AB|= *, |AC|= t,假设点p是厶abc所在平面内的一点， 且AP =号+ 4BC，那么PBPC的最大值等于()|AB| |AC|答案(1)C(2)A解析(1)AM = AB+ 4AD , NM = CM CN = AD + 3AB，二 AM NM = ：(4aB+ 3AD) (4 3AD)= 48(16Ab2 9Ad2)

6、 = 48(16x 62 9X 42) = 9,应选 C.建立如下列图坐标系，那么B * 0 , C(0, t), AB = 1, 0 , AC = (0, t),AP = AB + 警=t *, 0 + 4(0, t)= (1, 4) , P(1 , 4), PB PC = *- 1,- 4 - 1 , t- 4) |AB| |AC|=17 1 + 4t W 17 2 ,.1 4t= 13,应选 A.点评 a, b的数量积a b与代数中a, b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的".向量的数量积运算需要注意的问题：a b= 0时得不到a= 0或b = 0,根据平面向量数量积的性质有 |

7、aF= a2, 但 |a b|< |a| |b|.变式训练1 在厶ABC中，AD丄AB, BC = 2 3 BD , |AD|= 1，那么AC AD等于()3 B. 3 C. 23 D. 33答案 A解析在厶ABC中，BC= 2 3 BD ,所以 AC AD = (AB+ BC) AD = (AB + 2 3 BD) AD,又因为BD = AD AB,所以 AC AD = (1 2,3)AB+ 2 .3 AD AD=(1 - 2 3)AB AD + 2 ,3 AD AD=(1 - 2 _3)AB AD + 2 3 AD2,因为AD丄AB,所以AD丄AB,所以AD AB= 0,所以 AC

8、AD = (1 - 2,3) X 0+ 2 _3X 1 = 2 . 3,应选 A.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)设a, b为非零向量，|b|=2|a|,两组向量 X1,X2,X3, X4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个bx1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + x4 y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2,那么a与b的夹角为()2 nnA丐B.3nC.6向量a, b 满足 |a|= 2|b|z0，且关于 x 的函数 f(x) = - 2x3+ 3|a|x2+ 6a bx+ 5 在 R 上单调递减，那么向量a, b的夹角的取值范围是nnn2 na. 0, 6b.

9、 0，3c. 0, 6d. 3， n答案(1)B(2)D解析 设a与b的夹角为0,由于Xi, yi(i = 1, 2, 3, 4)均由2个a和2个b排列而成,4记S=(Xi yi),那么S有以下三种情况：i =1S= 2a2 + 2b2;S= 4a b;S= |a|2+ 2a b+ |b|2.2|a|, 中 S= 10|a|2,中 S= 8|a|2cos 0 中 S= 5|a|2+ 4|a|2cos 01易知最小，即 8|a|2cos 0= 4|a2, cos 0= ,又 Own, 0= n,应选 B.3设向量 a, b 的夹角为 0,因为 f(x)= 2x3 + 3|a|x2 + 6a bx

10、+ 5，所以 f' (x) = 6x2 + 6|a|x+ 6a b,又函数f(x)在R上单调递减，所以f' (x)< 0在R上恒成立，所以= 36|a|2 4 x (1 16)x (6a b)< 0，解得 a b< |a|2,因为 a b= |a|b| cos 0,且 |a|= 2|b|z0，所以 |a|b|cos 0=?|a|2cos 0w 4|a|2,解得cos 0w 2,因为0 0, n,所以向量a, b的夹角0的取值范围是 刍5, n , 应选D.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律.(2)数量积大于0说明不共线 的两向量的夹角为

11、锐角， 数量积等于0说明两向量的夹角为直角， 数量积小于0且两向量不 能共线时，两向量的夹角为钝角变式训练2假设非零向量a, b满足|a|=|b|, (2a + b) b = 0，那么a与b的夹角为()A.30 ° B.60 ° C.120 ° D.150 °答案 C解析设a与b的夹角为0,由题意得 |a|=|b|, (2a + b) b = 0，可得 2a b+ b2= 2|a| |b|cos 0+ b2 = 2|a| |a|cos 0+ |a|2= 0,解1得 cos 0= 2，因为 0°< w 180°,所以 0= 120

12、°,应选 C.题型三利用数量积求向量的模例 3 (1)向量 a, b 的夹角为 45° 且 |a|= 1, |2a b|=i0，贝U |b| =.直角梯形 ABCD中，AD / BC,/ ADC = 90 ° AD = 2, BC = 1,点P是腰DC上的动 点，那么|PA+ 3PB|的最小值为.答案(1)3 2(2)5解析 (1)由 |2a b|= . 10，那么 |2a b|2= 10,及 4a2 4a b + b2= 10,又向量 a, b 的夹角为 45°,且|a|= 1,所以 4X 1 4x 1 x |b|cos n+ |b|2= 10,即 |

13、b|2 22|b| 6 = 0，解得 |b|= 3 2方法一 以点D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如下列图的平面直角坐 标系，设 DC = a, DP = x. D(0, 0), A(2, 0), C(0, a),门in IB(1, a), P(0, x),PA= (2 , x) , PB= (1 ,a x), PA + 3PB = (5 , 3a 4x), |FA+ 3PBf= 25 + (3a 4x)2> 25 , |PA + 3PB|的最小值为5.方法二 设 Dp = xDC(0 v xv 1), Pc = (1 x)DC, PA= DA Dp = DA xDC

14、,PB = PC+ CB = (1 x)DC + ?DA ,->-> 5 >-> PA + 3PB = DA + (3 4x)DC ,|PA+ 3PB|2= DA2 + 2X 2x (3 4x)DA DC + (3 4x)2DC2 = 25+ (3 4x)2DQ2> 25 , |PA + 3pB|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向 量a= (x , y),求向量a的模只需利用公式|a|=“x2+ y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法那么及其几何意义或应用向量的数

15、量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|= ,a2.变式训练3 向量a , b , c满足|a|=4 , |b| = 2,2 , a与b的夹角为j, (c a) (c a)= 1 , 那么|c a|的最大值为()A. 2 + 2 B.¥+ 1 C. 2尹D. 2 + 1答案 D解析 在平面直角坐标系中，取 B(2 2 , 0) , A(2 .2 , 2 2),那么OA = a , OB= b,设 c= OC =(x , y),那么(c a) (c b) = (x 2 2 , y 2.2) (x 2 2 , y) = (x 2 ,2)2+ y(y 2.2) = 1 ,即(x

16、2 2)2+ (y- 2尸=1，所以点 C(x, y)在以 D(2 2 ,2)为圆心，1为半径的圆上，|c a| =x-2 2+ y 2一22,最大值为|AD|+ 1= 2+ 1.应选D.高考题型精练ABCD的每条边和对角线的长都为 1,点E、F分别是AB、AD的中点，那么EF DC等于()1331B.C.-D.-；444答案D解析由题四边形ABCD的边和对角线的长都为 1,点E、F分别是AB、AD的中点，那么EF> >1 > >1 1平行于 BD，那么 EF DC = BD DC =1 X 1 X cos 120 °-.2. (2022课标全国丙)向量BA

17、= 2，j ， BC= 3， 1，那么/ ABC等于()A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.120 °答案 A解析 |BA|= 1, |BC|= 1,cos/ABC = 23t t 2|BA| |BC|又 0°<Z ABC w 180°/ ABC = 30°3. (2022湖南)点A, B, C在圆x2+ y2= 1上运动，且AB丄BC.假设点P的坐标为(2, 0),那么|PA + PB+ PC|的最大值为()答案 B解析由A, B, C在圆x2 + y2= 1上，且AB丄BC, AC为圆的直径，故PA +

18、PC= 2PO = (-4, 0),设 B(x, y),那么 x2 + y2= 1 且 x - 1, 1, PB = (x-2, y), 所以 PA+ PB+ PC= (x- 6, y).故 |PA + PB+ PC|=- 12x+ 37,- 1w x< 1 ,当x=- 1时有最大值.49= 7,应选B.A( 1, 1)、B(3, 1)、C(1, 4)，那么向量BC在向量BA方向上的投影为()A.D.2 '1313答案 A解析 BC = ( 2 , 3), BA = ( 4 , 2)，向量BC在向量BA方向上的投影为BC BA|BA|4 + 3X 25一+=芈，应选A.5，:4

19、2+ 225.(2022安徽) ABC是边长为那么以下结论正确的选项是(2的等边三角形，向量a, b满足AB = 2a, AC=2a + b,A.|b|= 1B.a丄b C.a b= 1答案 DD.(4a+ b)丄 BC解析 在厶ABC 中，由 BC= AC Ab = 2a + b 2a = b，得 |b|= 2.又|a|= 1,所以 a b= |a|b|cos 120 = 1,所以(4a+ b) BC= (4a + b) b = 4a b + |b|2= 4X ( 1)+ 4 = 0,所以(4a+ b)丄BC，应选D.i, j为互相垂直的单位向量,a = i 2j, b = i +莎，且a,

20、 b的夹角为锐角，那么实数入的取值范围是()a.(-® 2B.(2,+ )C.( 2, 3) U (2,+s )1D.( , 2) U ( 2, ?)答案 D解析/ a, b的夹角为锐角,a b= 1 X 1 + ( 2)心 0 且 1 X ( 2) 1 X 炉 0,1.疋(一a, 2)U ( 2,刁，应选 D.a, b,其中ai= .3, |b|= 2，且(a + b)丄a，那么向量a和b的夹角是答案解析-(a + b)丄 a,.(a+ b) a= a2 + a b= 3 + 3 X 2cos a, b>= 0,cosa, b>= 2，又 a, b> < n

21、, a和b的夹角为茫68.2022浙江向量a, b, |a|= 1, |be,均有|a e|+ |be|w6,那么a b的最大值是 答案12解析由可得，-6> |a e|+ |b e|> |a e+ b e|= |a + b e|,由于上式对任意单位向量e都成立.:：； 6?|a + b|成立. 6 > a+ b2= a2 + b2 + 2a b= 12 + 22+ 2a b.1即 6>5 + 2a b, - a b< 9如图，在 ABC中，点O为BC的中点，假设 AB = 1, AC= 3, AB, AC > = 60°那么|OA1=答案弓3 解

22、析因为Ab, Ac>= 60°所以 Ab AC = |AB| |AC|cos 60 =°x 3 x = 3,又AO = 2AB+ AC,所以 Ao2= 4AB+AC2=4AB2+ 2AB AC+ AC2,即AO2 = 11 + 3+ 9=严，所以 |OA|=O 是锐角 ABC 的外心，AB= 8, AC= 12, A = 3假设AO = xAB+ yAC,贝V 6x+ 9y =答案 5解析 如图，设点O在AB, AC上的射影分别是点 D , E,它们分别为AB, AC的中点，连 接OD , OE.由数量积的几何意义，可得 Ab AO = |AB| |AD|= 32, AC AO = |AC| |AE= 72,依 题意有 AB AO = xAB2 + yAC AB= 64x+ 48y= 32,即 4x+ 3y= 2, AC Ao= xAB AC+ yAC2= 48x + 144y= 72, 即卩 2x+ 6y = 3，将两式相加可得 6x+ 9y= 5.a= ( 1, 1), b = (x, 3), c= (5,ny), d = (8, 6),且 b / d, (4a + d)丄 c.(1)求b和c;求c在a方向上的投影；求力和茏，使c= ?ia+尼b.解 / b / d, / 6x 24= 0,