第-05-讲-开放探索题解法(高中版)

1、第5讲开放探索题解法高中版第课时神经网络准确记忆!按开放对象分开放探索题重点难点分类按操作模式分解题指导思想：观察，直接求观察猜测用解法赋值推合数形结合联想类比特殊一般条件开放型 结论开放型 策略开放型 综合开放型 规律探索型 问题探究型 数学建模型 操作设计型 是否存在型 类比创新型分析，尝试，判断，归纳，表达，修正，创新证明特殊好好把握!形成解决问题的思路。重点：创造性思维方法。难点：选择适宜的方法和探索的经验技巧,考纲要求注意紧扣!1 勇于探索，自主探索，积极探索；2 能解决开放探索问题。命题预测仅供参考!在试卷中开放探索题大约占 15分左右。可以涉及各种知识以及各个层面。点热丿| 一定

2、掌握！开放探索题是指那些题目条件条件多余或缺乏、结论不明确或不唯一、解题方法多样，能给学生留有较大探索余地的问题。开放探索题主要考察学生的创新意识。开放探索题的特点：形式新，解法活、无固定解题模式。开放探索题的分类：按开放的对象可分为：条件开放型条件多余或缺乏，结论开放型结 论不明确或不唯一，策略开放型解题方法多样，综合开放型条件、结论、策略的综合；按解题目标的操作模式可分为 ：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，是否存在型， 类比创新型。常见的出题方式有三种：第一种做法是从课本上的一些题目出发，引申出开放题。我们平时所做的题目，大多是具有完备的条件和确定的答案。命题者往往会对原有

3、问题加以改造，形成开放题。第二种做法是为表达某一种数学研究方法而编写开放题。第三种做法是从学生所学的知识结构的交汇点切入编写开放题。所谓交汇点，其实质就是中学数学内容中没有遇到过的新知识， 可以是新概念、新定义、新定理、新规那么、新情境，并且这些信息有可能不是直接给出的，要求 解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂新概念，理解新情境，获取有用的新信息， 然后运用这些有用的信息进一步演算和推理，从而考察在新的信息、 新的情景下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力。开放探索题的解题指导思想：对问题进行全面观察、分析、尝试、判断、归纳，以充分揭示 问题的本

4、质特征。组织相应的原材料，选择适宜的方法和探索的经验技巧，形成解决问题的思路，然后进行表达、修正、创新。开放探索题的常用解法：1直接求解；2观察t猜测t证明；3赋值推断；4数形 结合；5联想类比；6特殊t般t特殊。1 条件开放型探索题条件开放型探索题实质上是寻找使命题为真的充分条件或充要条件。我们往往采用分析法， 即先假设结论成立，从结论和局部的条件入手，导出所需的条件。需要注意的是，这一类问 题所求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件。例高二在四棱锥P ABCD中，四条侧棱长都相等， 底面ABCD是梯形，AB/CD ,AB CD 。为保证顶点P在底面ABCD所在平面上的射影 0在梯形A

5、BCD的外部，那么梯 形ABCD需满足条件填上你认为正确的一个条件即可.BE分析：观察条件，由于四条侧棱长相等，所以，顶点P在底面ABCD上的射影0到梯形ABCD四个顶点的距离相等.即 梯形ABCD有外接圆，且外接圆的圆心就是0 显然梯形ABCD必须为等腰梯形。观察结论，结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可。显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧。不难发现， ACB应该为钝角三角形。故当 ACB 90 且AC>BC丨时可满足条件。点评：此题为条件探索 -问题探究型题目，同时考查空间想象能力。此题结论明确，需要 完备使得结论成立的充分条件，可

6、将题设和结论都视为条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件。其余等价的或类似的条件也可以。2.结论开放型探索题对于结论开放的探索题，结论往往不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需 要通过特例归纳。解决这一类问题，要注意使用类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法。是否存在型问题属于结论开放题，相对于其他的开放题来说，由于这类问题的结论较少只有存在、不存在两个结论，所以往往从成认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或 由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘条件，注意条件的完备性。例高一奇函数 f(x)的定义域为R,且f(x)在0, +R)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos

7、2 0 3)+ f (4 mv 2ncos 0 )> f (x)对所有0, 都成立？假设存在，求出符 2解： f(x)是R上的奇函数，且在0, +8)上是增函数， f(x)是R上的增函数。于 是不等式可等价地转化为f (cos2 0 3)>f (2 mcos 0 - 4m),2即 cos2 0 3>2mcos 0 4m,即 cos 0 mcos 0 +2n 2>0,2设t =cos 0 ,那么问题等价地转化为函数g(t) =t2 mt+2m-2=(t n )2 n +2m-2在0,241 上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0, 1 上的最小值为正，当 m<0,即

8、 n<0 时，g(0)=2 m- 2>0n>1 与 n<0 不符；22当 0w m < 1 时，即 0W n 2 时，g(n)= +2n 2>04 2 J2 <n<4+2j5 ,2 _4 4 2 .2 <m< 2,当 印>1, 即卩 m>2 时，g(1)= m- 1>0 m>1 , m>22综上所述，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4 22。点评：此题属于结论开放 -是否存在型题目，同时考查函数的单调性和奇偶性，求最值。例高三设等比数列an的公比为 q ，前n项和为Sn ,是否存在常数 c

9、 ,使数列Sn c也成等比数列？假设存在，求出常数c ；假设不存在，请说明理由。分析：设存在常数 c,使数列Sn c成等比数列。2(Snc)(Sn 2 c)(Sn 1 c)，Sn Sn 22S n 1 c(2Sn 1SnSn 2,(i) 当q 1时，Snna1代入上式得2 2 2a n(n 2) a1 n 1 ca (a(n 1) n (n 2),2即a1 =0 ,但a10 ,于是不存在常数c，使Snc成等比数列；n2 nn(ii) 当q 1时，Sn山,代入上式得-aq?(1 q2)(1 q)21 q(1 q)2(1 q)-1 c q 1c ，使Sn c成等比数列。q 1-是否存在型题目，同时

10、考查数列。等比数列n项求和公式中注意综上所述,存在常数点评：此题属于结论开放 公比q 1的情形。例高三如图，圆A、圆B的方程分别是22254，x22y2十，动4 PA圆P与圆A、圆B均外切，直线I的方程为：x -11求圆P的轨迹方程，并证明：当 -1时，2点P到点B的距离与到定直线I距离的比为定值；2延长PB与点P的轨迹交于另一点 Q,求PQ的最小值；3如果存在某一位置，使得 PQ的中点R在I上的射影C,满足PC QC,求a的取值范围。5分析：1设动圆P的半径为r，那么丨PA| = r+ -,2| PB| = r + 丄,2|PA| -| PB| =2 ,为x2y31X?1,假设a11那么1的

11、方程x为双曲线的右准线，点P到点B的距离与到1的距离之2，2比为双曲线的离心率e = 2。点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程2(2)假设直线PQ的斜率存在，设斜率为 k，那么直线PQ的方程为y = k ( x - 2 )代入双曲线 方程，得 3 k2 x2 4k2x 4k23 04k2, 解得.2由.0k2>3X1X23k24k2301八223 k| 6(k21)24| PQ|=、1 k2|X1X26| 22k33, y2k 3当直线的斜率存在时，X1X22，得y13,| PQ|的最小值为603当 PQL QC寸，P、CQ构成Rt,6I PQ|

12、=6 R到直线I的距离| RC|=xR2a 2又点P、Q都在双曲线 x2 1上,3|PB|1Xp 2|QB|1Xq 2|PB| |QB|2，即|PQ| 4xrXr|pq | 2 将代入得|PQ| 224PQ|=2-4 a> 6 ,故有aW1 。点评：此题属于结论开放-是否存在型题目，同时考查轨迹方程。例高三数列an中,a1 1,且点P(an,an1)(n N)在直线x-y+1=0上,求数列an的通项公式；1假设函数f(n)n a11n a21na3(n N,且n 2),求函数f(n)an的最小值;设bnSn表示数列b n的前n项和.试问：是否存在关于n的整式g(n),使得anS, S2

13、S3Sn1 (Sn 1) g(n)对于一切不小于 2的自然数n恒成立？假设存在,写出g(n)的解析式，并加以证明；假设不存在，说明理由。解：1/ an an 110 ,a, a210,a2 a3 1 0,an 1an1 0,以上各式相加，得a1 ann10,f( n)1 115n 1 n 22n11f(n 1)n 2n3f(n1) f (n)-112n1 :2nf (n)是单调递增的1故f(n)的最小值是f (2)712.3bn-Sn1丄15n2nSnSn 12(n2),即nsnan 印 n 1 n.n(n 1)Sn 1 (n 2)Sn 2Sn 21112n2n11 2n12,1102 n12

14、n 22n 2 n 1(n1)s- 1Sn 11,1.2s2 s1S11,nSnS1S1S2s- 1 n 1S1 S2Sn 1nSnn (Sn1)2),g(n) n.故存在关于n的整式g(n) n,使等式对于一切不小 2的自然数n恒成立。点评：此题属于结论开放 -规律探索是否存在型题目，同时考查数列。事实上，数列an是等差数列。3 策略开放型探索题一般的题目，题型与方法是相对固定的，所以解题者可以根据题目的条件和结论的特点，确定解题策略。但有些题目，并不是按照“题型加方法的思维定势编拟的。这些题目的背景比拟 新颖，解题的方法比拟开放， 有时甚至需要实际操作和巧妙设计。这就要求解题者具有灵活的思

15、维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策。例.高二假设四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体，那么其体积的值是只需写出一个可能的值。分析：此题为策略开放题， 由于四面体的棱长未 给出，故首先需要学生自己构造符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论。由于此题只要求写出一个可能的值，所以，我们应该尽量构造相对简单、易求值的图形，例如底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为 2。不难算得,12点评：此题属于策略开放 -数学建模型题目，同时考查体积的计算。作为此题的延伸，我们 可以考虑所有符合题意的图形。由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只

16、有一边长为1，或者3边长全为1。如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，那么将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2； 一边为1，两边长为2;三边长全为2。通过简单的考察不难知道， 只有最后一种情况是可能的。如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，那么只可能有两种情况：四面体的6条棱中, 只有一组相对棱的长度为 1，其余棱长全为2;只有一条棱长为1,其余棱长全为2。综上所述，共有3种情况，如以下列图所示：Jv J14 Jv其体积分别为：12 12 64 综合开放型探索题有些题目条件、结论与解题策略都是不确定的，但是给出了一定量的信息和情景，要求解题者在题目给出的情景中

17、，自行设定条件，自已寻找结论，自己构建命题并进行演绎推理。例高一设f(x)是定义域为R的一个函数，给出以下五个论断： f(x)的值域为R; f(x)是R上的单调递减函数； f(x)是奇函数； f(x)在任意区间a, b (a<b)上的最大值为f(a)，最小值为f(b),且f(a)> f(b); f(x)有反函数。以其中某一论断为条件，另一论断为结论例如：，至少写出你认为正确的三个命题：.分析：根据函数单调性的定义，不难知道：等价，又由于单调函数必有反函数，所以， 不难写出三个正确命题：；或.进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之 间也不是等

18、价的关系所以，可以知道，只有上述三个正确命题。点评：此题属于综合开放 -问题探究型题目，同时考查对于函数性质的理解。例高二 ，是实数，给出以下四个论断：1丨丨丨丨丨丨； 2丨丨丨| ；32运，22 ；45。以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题。分析：显然，1、2等价，它们的含义均为:同号。在此前提之下，由3必可推出4所以，正确的命题为：13 4 2 3 4点评：此题属于综合开放 -情景研究型题目，同时考查不等式的性质。对于这一类只给出了一个特定的情景，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回忆相近的题型、 结论、方法，进行

19、类比猜测。在给定的情境中自己去假设， 去求解, 去调整方法，去确定结果。例2003年高考文科题. 仝ABC的两边AB, AC互相垂直，那么AB2 AC2 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系， 个 侧 面 ABC、ACD、ADB在平面几何里，有勾股定理：“设BC2。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A BCD的三 两 两 互 相 垂 直， 那么答案： S ABC S ACD S ADB S BCD °点评：此题属于综合开放-类比创新型题目，同时考查立几知识。点评：类比创新型题目的特点是给出一个数学情景或一个数学命题，要求解题者发散思维去联想，类比

20、，推广，转化，找出类似的命题，深入的命题，或者根据一些特殊的数据，特殊的情 况去归纳出一般的规律。能力测试认真完成!仔细核对!规律探索问题探究数学操作类比创新是否存在开放探索题解法建模设计条件开放型1函数、2数列、3解几、9数列、104立几、5二项式、6解7函数+数列、8解几、结论开放型数列、几、16概率、17立几14统计、12算策略开放型法13立几、11平几-立几、综合开放型15三角、1 高一老师给出一个函数 y f x，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个 性质：甲：对于x R，都有fix f 1 x ；乙在，0上函数递减；丙：在0,上函数递增；丁： f 0不是函数的最小值。如果其中

21、恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：。分析：首先看甲说的话，所谓“对于x R，都有fix f 1 x ，其含义即为：函 数f x的图像关于直线 x 1对称。数形结合，不难发现，甲与丙的话相矛盾在对称轴的两 侧，函数的单调性相反。因此，我们只需选择满足甲、乙、丁或乙、丙、丁条件的函数即可。如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，那么需要认识到，所谓函数在，0上单调递减，并不是说函数 f x的单调递减区间只有，0。考虑到关于直线 x 1的对称性，我 们不妨构造函数，使之在 ,1上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质， 2例如 fXx1即可。如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函

22、数，那么分段函数是必然的选择，例如x1,x0f x。x,x0点评：此题属于条件开放 -问题探究型题目，同时考查学生对于函数性质的理解和掌握。注 意分段函数的使用。2*.高三对任意函数 f x，x D，可按图示构造一个数列 发生器，其工作原理如下： 输入数据x0 D，经数列发生器输出 f xd ； 假设为 D，那么数列发生器结束工作；假设 为 D，那么将为 反应回输入端，再输出 x> f x，并依此规律继续下去。现定义4x 2x 1I假设输入Xo，那么由数列发生器产生数列xn，请写出数列 人 的所有项；65n假设要数列发生器产生一个无穷的常数数列xn，试求输入的初始数据 X的值；川假设输入

23、Xo时，产生的无穷数列 Xn满足：对任意正整数 n,均有Xn Xn 1，求X 的取值范围；W是否存在Xo ,当输入数据Xo时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列。分析：I对于函数 f X4x 2D丿J 1丿1 LX 1假设Xo4911，代入计算可得:Xi, X26519故产生的数列 Xn只有三项。n要使数列发生器产生一个无穷的常数数列,Xn 1Xn,4Xn2n 1n?丿刀?Xn 1解之得x 1 或 x 2。由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列,1 1, ，1,X31 ,5实际上是对于任意的正整数 n ,都应该有只需令f X X ,的一个充分条件，所以，令X 1或2即可，此时必有

24、 Xn 1:事实上，相对于此题来讲,4x 2函数f X是一一对应X 1满足条件的初值xo ?川要使得对任意正整数Xn = 1或 2。，Xo 1或2是产生“无穷常数数列的充要条件这是因为x2 3x 2x，请你思考：有多少个2x。如果把函数换成n,均有Xn 1，我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件，即x-iX?4x-i 2事实上，不等式X|14x 2x的解为x 11 x12。1 或 1 X 2 *,-Xi1 或下面我们来研究这个条件是否充分。4x121 时，X2141当X14 ,所以，虽然有X1 X2，但此时X3 4X2 ,X1X1显然不符合题意。当1 x12时，由上可知任意正整数n,均有综上

25、所述，1XnXnX12 。Xii成立。X2 ,且不难求得 1 x22，以此类推，可知必有:“要求使得 Xn 0由为任取n及*不难得知X的取值范围为1,2。那么由Xnf Xn 1不难解得1 Xn 1f XoN成立的初值Xd，实质上是执果索因，令Xn12 ，1又由xn 1 f xn 2，可解得Xn 2557由此我们知道，如果 xn 0，那么必有15Xn 257，即xn与xn 2不可能同时小于 0。故在此题的规那么下，不可能产生各项均为负数的数列冷。点评：此题属于条件开放 -问题探究型题目，同时考查数列 与流程图知识。3*.高三如图，三条直线 a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间

26、的距离为 ，A、B为直线a上两2定点，且丨AB | =2p, MN是在直线b上滑动的长度为 2p的线 段。1建立适当的平面直角坐标系，求AMN的外心C的轨迹E;2接上问，当厶AMN的外心C在E上什么位置时，d+ | BC |最小，最小值是多少？其 中d是外心C到直线c的距离。解：1以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为 y轴建立直角坐标系.设厶 AMN 的外心为 C(x,y),那么有 A(O,p)、Mx- p,0), N(x+p,O),由题意，有| CA | = | CM |-x2 (y p)2 (x x p)2 y2 ,化简，得x2=2 py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的

27、抛物线.2由1得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知 d= | CF |,其中F 0,卫丨是抛物线的焦点2 d+ | BC | = | CF | + | BC |由两点间直线段最短知,直线BF的方程为y线段1x4BF与轨迹E的交点即为所求的点1p联立方程组21 1x p42p得2py1即C点坐标为(-41 p(117)49.17p.1617p).16B1BDCV17此时d+ | BC |的最小值为| BF | = p .2点评：此题属于条件开放-问题探究型题目，同时考查建立坐标系的能力与二次曲线的性质。建立恰当的直角坐标系是解决此题的关键。此题考察能否运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，

28、然后加以论证和计算，得出正确结论。4.如右图，在正方体 ABCD A1BC1D1中，写出过顶点 A的一 个平面，使该平面与正方体的12条棱所成角都相等写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况。分析：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以，只需考虑与过同一顶点的 三条棱所成角相等即可。正方体是我们较为熟悉的根本图形，不难知道，面ADBi即符合条件与 BA、BD、BBi所成角相等。点评：此题属于结论开放 -问题探究型题目，同时考查空间想象能力。5.高三规定 cm X X 1 X m 1 ，其中x R，m是正整数，且 c： 1，这 m!是组合数Cmn, m是正整数，且m n的

29、一种推广。I求c515的值；组合数的两个性质：cnm cnm，cm cm1 cnm1是否都能推广到x r, m是正整数的情形？假设能推广，那么写出推广的形式并给出证明；假设不能，那么说明理由；川我们知道，组合数 cn"是正整数那么，对于 cm , X R , m是正整数，是否也有 同样的结论？你能举出一些 cj R成立的例子吗？分析：Ic5151516 195!n一个性质是否能推广的新的数域上，很快可以看出：性质不能推广，例如当x11628 。首先需要研究它是否满足新的定义。从这个角度2时，C；有定义，但c : 1无意义；性质如果能够推广，那么 ，它的推广形式应该是：C正整数。类比于

30、性质的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的， 证明过程来证明这个结论。事实上，当m,mxC"1 C；1，其中 x R, m 是那么，我们不妨仿造组合数性质的1时,cmc： c0 x 1 c：1x x 1 x m 1，当m 2时,m!m!m由此,川 点放在xcx 1可以知道，性质能够推广。从c"的定义不难知道，当 x Z且m 0时，Z不成立，下面，我们将着眼Z的情形。先从熟悉的问题入手，当x m时，c"就是组合数，故c" Z ,当x Z且x m时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形c" , x Z且x m与的结论cn" Z相联系？方

31、面再一次考察定义：cx x 1 x m 1m!;另一方面，可以从具体的问题入手。论，因此，将c515转化为G；可能是问题解决的途径。事实上，当x 0时，x x 1 x m 1cmm x m 1 -X 1 x 1 - 假设 假设算不难发现:m!11cmx m 1?mc3 = 0 这个结论不难验证,m，即xm，即0，可以猜测，此时 事实上，当0 xm!1，那么C； m 1为组合数，故Z ；x m时，无法通过上述方法得出结论，此时， cm o z ,m时，在x, x 1,，x m 1这m个连续的整数中,由具体的计必存在某个数为0，所以，C；0 Z 。综上所述，对于x Z且m为正整数，均有 cm Z

32、。点评：此题属于结论开放-问题探究型题目，同时考查二项式定理。 类比是创造性的“模仿， 联想是“由此及彼的思维跳跃。在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类 比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法那么、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移， 可由探索未知，由旧知探索新知。6. 高三直线y= x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可移动的点， 且点P在点A的左侧，过P作x轴的垂线交y= x+6于M，有一动圆0 '，它与x轴，直线PM 和y= x+6都相切且在x轴上方，且O0'与y轴也相切时，求满足上述条件的点P的坐标。分析：从点P的位置移动中找出符合

33、题设条件的三种情况是解决此题的关键。解：直线y= x+6与x轴交点A 6,0，与y轴交点B 0,6满足题设条件有以下三种情况： 1假设直线PM与y轴重合，贝U OO '为 AOB的内切圆，P点坐标为0, 0；2O 0'在y轴右侧，PM在O 0'右侧见图5 7，设r为OO'的半径，AB=6 2 , r 66? 6 26 3 2,OP 12 6.2,点 P 坐标为 126、2,0；3O O '在y轴左侧，PM在O O'左侧见图 5 8，设r为OO'的半径，O O '切x 轴于C,切PM于D，切AM于E。AP = MP = 6+ 2r,

34、 MA = 6+ 2r2 , MA =ME + EA=6+r+6+r=12+2r, 12+2r=(6+2r) 2 , r=3 x 2，即点 P 坐标为(-6 . 2 ,0)。点评：此题属于结论开放 -问题探究型题目，同时考查解析几何知识。-(x<-2),417. 高三函数 f(x)=2=勺x(1) 求f (x)的反函数f- (x)；设ai=1,an 1 设S=a12+a22+a：, bn=S+1-S是否存在最小正整数m使得对任意假设存在,求出 m的值；假设不存在说明理由。解:(1)y=-= , x<-2 ，x 4x=-1,即 y=f (x)a1=1 ,=4， an1 2 是公差为4

35、的等差数列, an-1 z (=-f( an)( n N),求an ;an >0 ,2 1(3) bn=S1+1 - S1=an +1 =4n 1由bn<g ,得m>4n25-对于n N成立,125 w 5 , m>5 ,存在最小正数 n=6,使得对任意n N有bn< 成立。4n 125点评：此题属于结论开放 -是否存在型题目，同时考查函数与数列综合应用。关键是为了求11an ,先求 £ ,这是因为是等差数列。anan8.高三动圆过定点 P 1, 0，且与定直线I : x1求动圆圆心的轨迹 M的方程；2设过点P,且斜率为一3的直线与曲线M相交于A,i丨问

36、： ABC能否为正三角形？假设能，求点C的坐标；ii当厶ABC为钝角三角形时，求这种点解：1由曲线M是以点1相切，点C在I上。P为焦点，直线2i丨由题意得，直线AB的方程为yB两点假设不能，说明理由；C的纵坐标的取值范围。为准线的抛物线，知曲线 M的方程为y24x.占(x 1),由y為(x 1),消y得y24x,3x210x 30,解出X!13，X，B 3，2 3丨，假设存在点C 1,y,使厶ABC为正三角形,即有2216 2(3 1) (y2 3)(y1 22 216 2(一 1) (y33)弓由一得42 (y2 3)2(4)2 (y 2'3)2,于是，A点和33B点的坐标分别为那么

37、| AB | x1 x22解得yI4卫.9因为y 伫不符合，所以由，组成的方程组无解9故知直线I上不存在点C,使得 ABC是正三角形.ii设C一 1, 丫使厶ABC成钝角三角形，即当点3(X1),得 y1,C的坐标是一1,2 3.21 2|AC |2 ( 1 -)2 (y322|BC |(3 1) (y25692 3丨时,2 3)2V)2.3)228928三点A, B, C共线,4.3y3 24.3y y ,|AB |2(i)当 | BC|2|AC |2| AB|2，即 282894 3Ty256?9CAB为钝角(ii)当 | AC |2 | BC |2| AB |2 ,4 3vy2843y2

38、56?9即y时CBA为钝角-3(iii)当 | AB |22 2|AC| |BC| ,即2569284 3y43°，(y3)0-93该不等式无解，所以/284.3y y2,ACB不可能为钝角.故当 ABC为钝角三角形时，点 C的纵坐标y的取值范围是y钝角的位置可能有三个，需要我们进行一一探10, 3 亠 2 3 或y(y 2 3).39点评：此题属于结论开放 -是否存在型题目，同时考查直线、圆与抛物线的根本概念及位置 关系。需要提及的是，当厶ABC为钝角三角形时， 讨。9高三是否存在常数a、b、c,使得an an2 bn c满足a1 1 , 3Sn (n 2)an 对一切自然数n都成

39、立？请说明理由。分析：可视a、b、c为未知数，设法建立关于 a、b、c的三个方程。3(a1a2) 4a2a23在3Sn (n 2)an中，分别令n 2,3，可得、匚°3(a1a2a3)5a3a36a 1 a b c 11 1再由 a234a2b c3a ,b ,c 0.2 2a369a3b c61 21故猜测an n n.2 2再用数学归纳法证明，这里从略。 点评：此题属于结论开放-规律探索型题目，同时考查求数列通项。10 高三f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a, b R都满足关系式 f (a b) af (b) bf (a)。1求 f0，f 1的值；2判断f (x

40、)的奇偶性，并证明你的结论；f(2 n)3假设f(2) 2,un(n N)，求数列un的前n项的和Sn。n解：1在 f (a b) af (b) bf (a)中,令 a b 0,得f (0)f(0 0)0 f (0) 0 f(0)0 ,在 f(a b) af (b) bf (a)中,令 a b 1,得 f (1)f(1 1)1 f(1)1 f (1)，有 f(1)0。2f (x)是奇函数，这需要我们进一步探索，f(1) f( 1)2 f ( 1) f( 1) 0，f( 1) 0，f( x) f( 1 x) f(x) xf( 1) f (x),故f (x)为奇函数。3从规律中进行探究，进而提出猜

41、测。由f(a2) af (a) af (a) 2af (a),f (a3) a2 f (a) af (a2) 3a2 f (a),f (an) nan 1 f (a).猜测于是我们很易想到用数学归纳法证明.1 01 °当n=1时，f(a ) 1 a f (a)，公式成立；kk 12 °假设当n =k时，f(a ) ka f (a)成立，那么当n=k+1时，f(ak 1) ak f (a) af (ak) ak f (a) kak f (a) (k 1)ak f (a)，公式仍然成立.综上可知，对任意f(2 n)n从而Unf(2)2, f (1)f(2)故Sn-f(2)4h1

42、丄n N, f (an) na1(2)n1 f(2).f(2 1)2f(1)2 21(刁n 1 f (a)成立.12(扩Un(1)n1(n12f(2)0,21 n 1 ( ) (n N),.2N).2点评：此题属于结论开放 -规律探索型题目，同时考查函数和数列的知识，考查从一般到特 殊的取特值求解技巧。11 2000年高考上海理科题.在等差数列an中，假设a100，那么有等式a1 a2an印 a2a19 n (n 19,n N)成立，类比上述性质，相应地：在等比数答案：b1b2 bn b|b2 b17 n (n 17, n N)。点评：此题属于综合开放-类比创新型题目，同时考查数列知识。12

43、2000年高考北京理科题在研究并行计算的根本算法时，有以下简单模型问题：n用电脑求n个不同的数Vi,V2,，vn的和viv1v2v3vn，计算开始前，n个i 1数存贮在n台由网络连接的电脑中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法，比方n= 2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：机 器 号初 始 时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1V 12V1 + V 22V

44、21V2 + V1I当n = 4时，至少需要多少个单位时间可完成计算?把你设计的方法填入下表机 器 号初 始 时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1V12V23V34V4n当n = 128时，要使所有机器都得到V ,至少需要多少个单位时间可完成计算？结i 1论不要求证明解：I当n= 4时，只用2个单位时间即可完成计算方法之一如下：机 器 号初 始 时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1V12V1+ V23V1 + V 2+ V3 + V42V21V2 + V14V2 + V1+ V4 + V33V34V3 + V41V

45、3 + V4 + V1+ V24V43V4 + V32V4 + V3 + V2 + V1当n= 128= 27时，至少需要7个单位时间才能完成计算 点评：此题属于策略开放 -操作设计型题目，同时考查算法知识。13 1999高考理科题.、 是两个不同的平面， m、n是平面 及 之外的两条不同直线给出四个论断：m丄n;丄；n丄；m丄；以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题:。答案：12。点评：此题属于综合开放 -问题探究型题目，同时考查立几知识。14(1994年高考试理科题).在测量某物理量的过程中， 因仪器和观察的误差使得几次测量分别得到a1 , a2，an，共n个数

46、据。我们规定所测量的“最正确近似值a是这样的一个量，与其他近似值比拟，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1 , a2，an推出a=。分析：首先搜索信息，然后将问题数学化，再找出本解题方法。策略1建立数学模型 f(a) (a aj2，再配方求解出a aj。策略2：利用统计学性质：平均数到n个点距离平方和最小，立即得出a ai点评：此题属于策略开放 -问题探究型题目，同时考查统计知识。15. 高一观察sin220 ° +cos250+sin20 ° cos5022 csin 15 +cos 45写出一个与以上两式规律相同的一个等式+sin15-cos45 °分

47、析:由 50° t20°=(45 ° -5°)=30。可得22。.o 3sin a+COs ( a+30 °)+sin aCOs( a+30 °)=4答案:sin2 a+cos2( a+30 °)+sin aCOs( a+303)蔦点评：此题属于结论开放 -类比创新型题目，同时考查三角知识。16. 高三三个元件 Ti、T2、T3正常工作的概率分别为 0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并 联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？解：设元件、T2、T3能正常工作的事件为 A1、A

48、2、A3,电路不发生故障的事件为 A,那么PA1=0.7, P A2=0.8, P A3=0.9.又 P A1+A2=1 -P A,1按图甲的接法求 P A：A=A1+A2，由A什A2与A3相互独立，那么P A=P A什A2P A3A2=1 -p A A丨由A1与A2相互独立知 A与A2相互独立, P(A1+A2)=0.1 卩(a -A2 )=1 -0.06=0.94 ,得:p A A=p AP A2= : 1 -P A1- : 1 -P A2= 1 -0.7*1 -0.8)=0.06 , P(A)=0.94 >0.9=0.846.(2) 按图乙的接法求 P A: A= A1+A3 A2且 A1+A3与 A2相互独立，贝U P A=P A1+A3PA2，用另一种算法求 PA什A