立体几何三大公理-的应用(2024160306)

1、、共线问题 例1.假设 ABC所在的平面和 AiBCi所在平面相交，并且直线AA、BB、CG相交于一点0,求证:(1)AB和AiBi、BC和 BG、AC和 AG分别在同一平面内;(如图).如果AB和AB、BC和B C、AC和AC分别相交，那么交点在同一直线上例2. 点P、Q R分别在三棱锥 A-BCD的三条侧棱上，且POP BC= X,QRA CD= Z,PRA BD= Y.求证：X、Y、Z三点共线.例3. ABC三边所在直线分别与平面a交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。二、共面问题例4.直线m n分别和平行直线 a、b、c都相交，交点为 A、B C D E、F,如图, 求证：直线

2、 a、b、c、m n共面.例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内 ：如图，直线11, 12, |3，14两两相交，且不共点 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内例6.：A、B、C和A、B、C2分别是两条异面直线 l 1和l 2上的任意三点， M N R、T分别是 AA2、BiA2、B1B2、CC2的中点求证：M N、R、T四点共面.MBCNNB例7.在空间四边形 ABCD中, MNP、Q分别是四边上的点,AQ CP ,=k.QD PD(1)求证：M N P、Q共面. 当对角线 AC= a,BD = b，且MNPQ!正方形时，求AC BD所成的角及k的值(用a,b 表示

3、)三、共点问题 例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行1、(1)证明：T AAQ BB = O,AA、BB确定平面 BAQ/ A Ai、B、Bi 都在平面 ABO内, AB 平面 ABQ AiBi 平面 ABO.同理可证，BC和BiCi、AC和AiG分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2,证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上2证明：如图，设ABA AiB= P;ACn AC= R;面 ABCA 面 A Bi Ci = PR./ BC 面 ABC BiCi 面 AiBiC,且 BC n Bi

4、C= Q Q PR,即P、R、Q在同一直线上.3解析：/ A、B、C是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又 ABP,且AB点P既在内又在内，设I,那么p同理可证:Q |,R IP,Q,R三点共线.4解析：证明假设干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合证明 / a / b, 过a、b可以确定一个平面a .T A a,aa,. Aa ,同理 B a.又T A m B m, m a .同理可证n a ./ b/ c, 过b,c可以确定平面B,同理可证 m 3 .平面a、3都经过相交直线b、m,平面a和平面3重合，即

5、直线a、b、c、m n共面.5、解析：a,然后证其它直线也在a内证明：图中，l iA l2= P, I i,l 2确定平面a .又 I i A I 3= A,l 2n I 3= C,- C,A a .故 I 3 a .同理I 4 a .- I i,l 2,l 3,l 4共面.图中，I i,l 2,l 3,l 4的位置关系，同理可证I i,l 2,l 3,l 4共面.所以结论成立.6、证明 如图，连结 MN NR贝U MIN/ li,NR/ 12,且MN R不在同一直线上(否那么， 根据三线平行公理，知li/ I 2与条件矛盾). MN、NR可确定平面3,连结 BG,取其中点 S.连 RSST,

6、贝U RS/ 12,又 RN/|2,.B，又ST/l1,MN l i,.MIN/ST,又 SB,. ST 3 .MQ / BD,且AMAM MBM、N、R、T四点共面.7解析：/ AM = AQ = kMB QDMQ = AM = _k_BD AB k 1 kMQ=BDk 1CNNBCPPDPN / BD,且CNCN NBNP = CN BD CB从而kNP=BDk 1MQ/NP, MQ NP共面，从而MN P、Q四点共面.BM =丄 BN =丄 MA = k , NC = kBM = BN = 1BM = _±_MA NC k，BM MA k 1MN / AC,又 NP/ BD.M

7、N与NP所成的角等于AC与BD所成的角.AC与BD所成的角为90°,又 AC=a, BD=b,MNACBM =BA k 1MN =又MQ =b,且 MQ= MNk 1说明：公理4是证明空间两直线平行的根本出发点 ：平面 a Q平面 3 = a,平面 卩Q平面 y =b,平面 Y门平面 a = C. 求证：a、b、c相交于同一点，或 a II b II c.证明： a n 3 = a, 3 Q Y = b a、b 3a、b 相交或 a / b.(1) a、b相交时，不妨设 an b= P,即P a, P b而 a、b 3 , a a P 3 , P a，故P为a和3的公共点又T an 丫 =