立体几何中的距离问题

1、立体几何中的求距离问题集美中学数学组 刘海江、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗 ?1 两点间的距离：连接两点的线段的长。 求法：( 1)纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得(2)用公式， A(xi,yi,zi), B(X2,y2,Z2) ，贝 V |AB|= (3) 利用向量的模， |AB|=| AB |= . AB =?(4) 两点间的球面距离 ：A，B 为半径是 R 的球 0 上的两点，假设 v OA,OB >"那么 A，B 两点间的球面距离为 。2、点到直线的距离：从点向直线作 ( 相交)垂线，该点与垂足间的线段长。 求法： ( 1)解三角形：所求 距离是

2、某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。(2) 等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。(3 )利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。(4)利用公式：A (Xo, y。),到直线I : Ax By0的距离为 根本思想是将点线距转化为点点距。3、点到平面的距离与直线到平面的距离 (重点)(1) 从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和 的距离，叫做这个点到这个平面的距离。求法：利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此距离；利用向量、 点A，平面，满足A，0三：J n _，利用等积法、

3、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；| OA.nl那么点 A 到平面 : 的距离 d( n 是平面的法向量 )|n|(2) 一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意 到这个平面的 ，叫做这条直线和这个平面的距离。( 一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等 )求法： 转化为点到平面的距离来求；( 具体方法参照点到平面的距离的求法 )4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也 另一个平面，这条直线叫做两个平面的 ，它夹在两个平行平面间的局部叫做这两个平面的 , 它的长度叫做两个平行平面的 。求法： 转化为点到平面的距离来求；(具体方法参

4、照点到平面的距离的求法 )(两个平行平面时，一个平面上任意两点到另一个平面的距离都相等)5、异面直线的距离难点1 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做 。公垂线夹在异面直线间的局部叫做。公垂线段的长度叫做 。2 任意两条异面直线 公垂线，公垂线段长是分别连结两条异面直线上的点的线段中 。两平行线间的距离略求法：1 利用距离公式：两条异面直线a,b所成的角为-，AA是a,b的公垂线，A'在 a上，A在b上，在a,b上分别取E, F,AE=m，AF= n , EF= l，那么公垂线 AA 的长度d = 。2利用向量，点 A ? a, B ? b，向量n _ a,n _ b，那么两条异面直线

5、a,b的距离d I AB ? n|空间的距离主要指以下八种：1两点间的距离；2点到直线的距离；3点到平面的距离；4两平行线间的距离；5两异面直线的距离；6平面的平行直线与平面间的距离；7两个平行平面的距离；8两点间的球面距离。八种距离都是指两个点集的元素之间距离的最小值。八种距离之间有密切联系， 有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化 为点到直线的距离， 平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离。在八种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线的距离是难点。】、练一练，写一写，这些题目尔能独立完成吗?1、直二棱柱ABC - AB C 中，ACB =90，AC二AAi二

6、a，那么点A到平面AAC的距离是B、.2aC、Aa2D、. 3a中, 距离都是2、在 ABCA、13AB=15 , - BCA =12014,那么P至心的距离是B、11 C、9假设ABC所在平面外一点3、设P是60的二面角-I -1内一点，PA 面 a, PB 平面-,A、B分别为垂足，PA=4 , PB=2 ,贝U AB 的长是A、2 3B、2 5C、2.74、将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，那么这正四面体某顶点到其相对面的距离是5、B、§1 3 1C、3D、匸3平面直xOy中，A(-2,3),B(3,-2),将平面沿X轴折成120 ?的二面角，那么折

7、后B两点间的距离为A、211 B、.11C、5 2D、以上均不对6、 正方体ABCD - A B 1C1D1的棱长为1，那么异面直线 AiCi与AB间的距离为。7、异面直线 a、b的公垂线段 AB的长为10cm，点A、M在直线a上，且AM=5cm假设直线a、b所成的角为60。，那么点M到直线b的距离是。8、 在120 0的二面角内，放一个半径为5 cm的球，切两个半平面于 A, B两点，那么这两点在球面上的最短距离是。9、 空间三点 A (1,1,1), B (-1,0,4), C(2,2,3 )那么 AAEC 的面积是。10、正方形 ABCD边长为1，过D作PD_平面ABCD且PD=1 , E、F分别是AB和BC的中点。 求D点到平面PEF的距离； 求直线AC到平面PEF的距离。11、在棱长为1的正方体ABCD - ABQ jDj中, 求点A到直线B1C的距离； 求点A到平面BD1的距离。12、在棱长为1的正方体 ABCD - ABQQ 中,求点A到平面ABiDi的距离； 求平面AB1D1与平面BC1D的距离; 求直线AB到平面CDABi的距离13、平行六面体 ABCD-AB 1C1D1， A/ =2，AD=3，AB=4 且 /A,AD =60 ，AAB =60， DAB =45 求ACi的长；求DBi的长。D， F，14、在直三棱柱 ABC-A