研究生数理统计模拟试题

1、研究生?数理统计?模拟试题一、填空题1设X1,X2 Xn为母体X的一个子样，如果 g(X1,X2 Xn),那么称g(Xi,X2,Xn)为统计量。不含任何未知参数2、 设母体XN(亠二2),二，那么在求均值 的区间估计时，使用的随机变量为 CJ.n3、 设母体X服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，那么X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。15U 0.025104、 假设检验的统计思想是 。小概率事件在一次试验中不会发生5、 某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。H0: p 空0.056、 某

2、地区的年降雨量 XNCr"2)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为：(单位：mm) 587672701640650，那么二的矩估计值为。1430.87、设两个相互独立的子样X1,X2,，X21与Y,，丫5分别取自正态母体N(1,22)与N(2,1)，S*2,S；2分别是两个子样的方差，令12=aS*2, ；=(ab)S；2，晋 (20)722 ，那么 ,b=。*2用(n _呼 2(n -1)，a =5,b 1二18、 假设随机变量 X t(n)，那么二 服从分布。 F(n,1)X9、假设随机变量 X t(10),P(X 人)=0.05那么扎= 。用 X2 F1,n得 一 Fo.

3、951,n10、设子样XX2,，来自标准正态分布母体N(0,1) , X为子样均值，而PX，： = 0.01,那么，-X N0,1 =4 - z0.0110 16211、假设子样XX2,，X16来自正态母体N(；2)，令Y =3 Xi-Q Xi，那么Y的771分布N10170；212、设子样X1,X2 / ,X10来自标准正态分布母体N(0,1)，X与S2分别是子样均值和子样方差，令Y10X 2假设 PYKA=0.019几=二 F°.011,913、如果都是母体未知参数B的估计量，称9?比幺有效，那么满足 D& <D 霭n -12 2 2 214、假设子样X1,X2/

4、,Xn来自正态母体N( = ；) , 二(Xi1-Xi)是二的一i=1个无偏估计量，那么C=12n -115、 假设子样X1,X2/ ,X9来自正态母体 N(=0.81)，测得子样均值x -5，那么的置信0 9度是0.95的置信区间为 。 5 _ 09 u0 025316、 假设子样 X1,X2/ ,X100来自正态母体 N(»二)，与二 未知，测得子样均值x = 5，子样方差s2 = 1，那么)的置信度是0.95的置信区间为 。15 亠z' t0.025 (99), t0.025 (99) ： Z0.0251017、假设子样X1,X2/ ,Xn来自正态母体NC点2),与二2

5、未知，计算得1 16 Xi =14.75，那么原假设H。：亠-15的t检验选用的统计量为 。16 i 1I_ /、/ V*S、n、选择题1、以下结论不正确的选项是 设随机变量X,Y都服从标准正态分布，且相互独立，那么X2 Y2 2 2 X,Y独立，X 210,X Y 215= Y 25 XX2,Xn来自母体XN&2的子样，X是子样均值,那么 JXi；X2 2ni 4；-X-X2,Xn与丫1, 丫2,Yn均来自母体XNU2的子样，并且相互独立，X,YnZ (Xi -X)2分别为子样均值，那么 气 F(n -1,n -1)送(Y -Y)22、设 闵，呂是参数日的两个估计量，正面正确的选项是

6、 D? >D®?，那么称闵为比闵有效的估计量 D& cD&，那么称冈为比兔有效的估计量 e?,e2是参数日的两个无偏估计量，D& a D区，那么称0?为比倒有效的估计量 是参数日的两个无偏估计量，D 说< D 色，那么称电为比兔有效的估计量3、 设壬是参数二的估计量，且D角 0，那么有 ？ 不是二$的无偏估计？ 是二彳的无偏估计金不一定是二2的无偏估计？ 不是二2的估计量4、下面不正确的选项是 u.u. 12_-.n = - 2 n t.(n) - -t.(n)1F-.(m, n)5、母体均值的区间估计中，正确的选项是 置信度1 _： 一定时，子样

7、容量增加，那么置信区间长度变长; 置信度1 _ : 一定时，子样容量增加，那么置信区间长度变短; 置信度1 -:-增大，那么置信区间长度变短； 置信度1 -:-减少，那么置信区间长度变短。 P(U )=1-： P|U 卜：u：2=:P(U u_a P(|U | u ：2)=：7、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布N%,；0,%,；0为，现从某日生产6、对于给定的正数:-，0 ：:： 1,设u.是标准正态分布的:-上侧分位数，那么有的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，那么应提出假设 Ho :二二-0H1 :- % H 0 ：=% H

8、1% Ho :匚 2 一 ；2 出：二 -0Ho:H1 :8、测定某种溶液中的水分，由它的9个测定值，计算出子样均值和子样方差x -0.452%，s =0.037%，母体服从正态分布，正面提出的检验假设被接受的是 在：=0.05 下，H0 :=0.05% 在：=0.05 下，H0:=0.03% 在：=0.25 下，H。：=0.5% 在：=0.25 下，H。：； -0.03%9、答案为设子样X1,X2,Xn抽自母体X , ¥,丫2,Ym来自母体丫，X N 2 n无(XT)2丫 nc122)，那么坪的分布为无“ -購)2i丑 F(n,m) F(n- 1,m-1) F(m,n) F(m-1

9、, n-1)10、设X1,X2, ,Xn为来自X N崇2的子样观察值,2未知,Xn Xin i =1那么二2的极大似然估计值为1 n 2 1 n 1 n 2、(Xi -X)2 (人-X) -区-X)2 nign i 丄n 1 i 41 n (Xi-x) n -1 ij11、子样XX2，Xn来自母体XN(0,1)，X二1 J Xin i 4，S*2匕' (Xi -X)2n _ 1 i 4那么以下结论正确的选项是 nXN(0,1) X N(0,1)nv Xi2 2(n)i JX t(n _1)S12、假设随机变量X N(1,22),X1,X2, ,X100是来自的子样，X为子样均值。已丫二

10、 aX b N(0,1)，那么有(a-5, b=5a=5,b=5玄二打小二-打a二一13、设子样Xi,X2,，Xn(n 1)来自标准正态分布母体 N(0,1)，X与S2分别是子样均值和子样方差，那么有( X N(0,1) nX N (0,1)nXi2 2(n)i吕14、设子样 X1,X2/ ,Xn来自正态母体差，那么下面结论不成立的是(N(j；2)，X与S2分别是子样均值和子样方X与S2相互独立X与(n -1)S2相互独立1 n - oX与v (Xj -X)相互独立1 nX与v (Xj - j2相互独立 二 id15、子样X1,X2,X3,X4,X5取自正态母体 N(M2) , J，匚2未知。

11、那么以下随机变量中不能作为统计量的是( X X1 X1 5 _ 1 5 _H (Xi -X)2 (Xi - X)2a i =13 im16、设子样XX?,，Xn来自正态母体NCs2)，X与S*2分别是子样均值和子样方差，那么下面结论成立的是( 2X2 -X1 NC点2)2nZSF(1,n1)*2s22 P(a b) =0.95 P(a ： X :：: b) = 0.95X _ L1 Jn 1 t( n1)S17、 答案设子样 XX2,Xn来自母体X，那么以下估计量中不是母体均值的无偏估计量的是。 X Xi X2Xn 0.1 6Xi 4Xn Xi X2-X318、 假设子样 Xi,X2,Xn来自

12、正态母体Nif2。母体数学期望 ，那么以下估2计量中是母体方差二的无偏估计是1门_1n_1n1门 '、(Xi -X)2 (Xj -X)2 (Xi - )2 '、(Xj -)2nyn 1i=an Tyn -1 i -419、假设母体 X的数学期望J的置信度是 0.95，置信区间上下限分别为子样函数bX1,Xn与 aX1,Xn，那么该区间的意义是 Pa ： X : b二 0.95 Pa ： X - ： b二 0.9520、 假设母体 X服从区间0户上的均匀分布，子样 X1,X2/ ,Xn来自母体X。那么未 知参数d 的极大似然估计量 乡为 2X maxX ,Xn min X- ,X

13、n不存在21、在假设检验中，记 H。为原假设，那么犯第一类错误是 H 0成立而接受H 0 H 0成立而拒绝H 0 H °不成立而接受H 0 H °不成立而拒绝H 022、假设子样X1,X2/ ,Xn来自正态母体NC；2，X为子样均值，记-X)2 s； = 1 ' (Xi -X)2 n T T2 S：二丄 v (Xj -丄)2n 1 i =±m XXXX _、n-1、n-1,n ，nS1S2S3S4每题前面是答案！二、计算题1、( 1)1 - X N(12,-)(2) 1 一 (1)F15(3) 1 一 外(1.5) 5设母体XN(12,4)，抽取容量为5的

14、子样，求(1) 子样均值大于13的概率；(2) 子样的最小值小于 10的概率；(3) 子样最大值大于15的概率。2、解:X N(10,0.5) P(X -11) =0.079假设母体 X N(10,22)，X1,X2/ ,X8是来自X的一个子样，X是子样均值，求P(X _11)。3、X N(10,0.5) P(X_c)二 0.05= c =11.162 母体XN(10,2)， X1,X2/ ,X8是来自X的子样，X是子样均值，假设P(X _c) =0.05，试确定c的值。X -104、由N (0,1)2 n所以 P'9.02 乞乂 乞 10.98 ；= Pj X 一10匸0.98】0.

15、95二 n -16设X1,X2 / ,Xn来自正态母体 N(10,22)，X是子样均值,满足P(9.02乞X <10.98) = 0.95，试确定子样容量 n的大小。1625d5、第 八 Xj,Y2Xj -篦N(140,152)得 PM -丫2 乞 182； =0.997i =1i =17假设母体X服从正态母体N(20,32)，子样X1,X2/ ,X25来自母体X ,计算1625P松 Xi -E Xi <182；>ki =ii =17/1 n99|96、 1 ?=3140,；? =178320 2 :?人-X =198133n -1第假设新生儿体重 XN,；2，现测得10名新

16、生儿的体重，得数据如下：3100 34802520370025203200280038003020326021求参数和二的矩估计；2求参数二2的一个无偏估计。7、 1EX =1 宀故？ = X -12似然函数L(X1,X2, ,XnR)二Xj_ r i 二 1,2, n其他n艺(Xi e i-0min xi -:其他i =1,2, n 故mirKX-X?； ,Xn)e_x_盲x >6假设随机变量 X的概率密度函数为 f x=丿，设X1, X2, Xn来自母体0 x <9X的一个子样，求二的矩估计和极大似然估计。8、估计误差|X4|的置信区间为一空U0.05,罕U0.05JnJn估计

17、误差| X -卩|二00。兰0.01 n n 3 96.04故子样容量n最小应取97。拒绝域 J 二|U |一 1.96丄 i X |一 0.620.62Jn应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的子样容量n最小应取多少9、 1取检验统计量X心U10X N(0,1)1 n在测量反响时间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反对二=0.05的水平下,(2) X =1 0.62，故X1, X2 / ,X10，J.，因此不能据此推断J = 0成立(3) PHX|_1.15；=1 -2(1.15、一10)-1 =0.0003= ： - 0.0003假设随机变量X N

18、,1，X1,x2/ ,x10是来自X的10个观察值，要在】-0.01的水平下检验 H 0 ：=0 , H1 : J - 0 取拒绝域J -.=斗Xc/(1) c =?(2) 假设x =1,是否可以据此推断= 0成立？ (: =0.05)(3) 如果以 J二jX|_1.15l检验H0 -0的拒绝域，试求该检验的检验水平:-oX _5 2 比5210、H0-5.2 , H1 ：=5.2 取检验统计量 U 二一N(0,1)/jnJ - =：|u|亠1.96?答案：可认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X (单位mm)服从正态分布N (5.2,0.16),现在随

19、机抽出15根纤维，测得它们的平均长度X =5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm11、置信区间公式为 X 孚t0.025(8),X +孚t0.025 (8)得(29.31,30.69)l m7 n丿(2)检验X 31 5 H 0H0 :- 31.5, H1 : J -31.5取检验统计量 T 二 *' t(8)S / ,拒绝域= |T底t0.025 答案：不能认为该地区九月份平均气温为31.50C(3)对于同一:而言，在显著水平:-拒绝H0 ：=31.5与31.5在置信度为1 - :的置信区间之外是一致的。某地九月份气温 XN(*；2)，观察九天，

20、得X=30°C , s = 0.9°C，求(1) 此地九月份平均气温的置信区间；(置信度95%)(2) 能否据此子样认为该地区九月份平均气温为31.50C (检验水平=0.05)(3) 从(1)与(2)可以得到什么结论？t0.025(8) = 2.306X _ 72 H012、检验 H。：二-72, H1 : J -72 取检验统计量 T 二一*t(9)拒绝域= * T Qt0.025 答案：可认为患者的脉搏与正常成年人的脉搏有显著差异正常成年人的脉搏平均为 72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为54 68 65 7770 64 69 72 62 71,假设人的脉搏

21、次数XN(,；2)，试就检验水平=0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异?13、( 1) Ho :2 2 2 2c1 = ；2 , H 1 :二1飞匸2取检验统计量F =Ho2 F(4,3)=F AFo.o54,3或F MF°.954,3答：可认为Xi与X?的方差相等(2)Ho :叫，Hi :叫由Xi X2的方差相等,X xH 0取检验统计量T 2t(7)，卩丄+丄S*2ni m*9*9S*2(ni _1)S1(n2 -1)S2*2拒绝域J二='| T | _ to 05 7V答：故可认为Xi与X2的均值相等。设随机变量Xj N7，2,讥,2均未知,X!与 X

22、相互独立。现有5个Xi的观察值,*2子样均值Xi =19，子样方差为S = 7.505，有4个X2的观察值，子样均值 x 18，*2子样方差为s22 =2.593，(I)检验 Xi与 X2 的方差是否相等？。=O.1,Fo.o5(4,3)=9.12,Fo.o5(3,4) = 6.591 在1的根底上检验 X1与X2的均值是否相等。二=0.1* 14、Ho：匚2 = 822，H1 :匚2= 822取检验统计量-驴82J = 乞 2.7or 2 一 19.02；答：故可认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性无显著变化假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布 N 10600,822，现在从改良工

23、艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差s*2 =6992。当显著水平为=0.05 时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？*215、 1Ho : - 2 =0.0052，Hi：二 2= 0.0052 取检验统计量2=° 1S0.0052 乞 2.18or 2-17.答：故可认为新生产的一批导线的稳定性有显著变化2二2的置信区间为(n -i)S*2(n -i)S*2v7) = ( 0.0003 ,0.00023)2.025 (n-1)0.975(n-1)某种导线的电阻 X N(J,0.0052)，现从新生产的一批导线中抽取9根，得s = 0.00

24、9"。(1) 对于=0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？. 2(2) 求母体方差 二 的95%的置信区间16、母体均值 卩的置信区间为乂土t0.025答:(99.05 , 100.91 )某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X N0,二2)，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.398.7100.5101.298.399.7102.1100.599.5 (单位：千克) 试求母体均值的置信区间，给定置信水平为0.95。17、叫-已的的置信区间为*11*2(n -1)S12(n2 -1)S22X -丫 -t-. g n2 -2)S,S 112( -0.88 , 2.0

25、4)2m n2m n2-2设有甲、乙两种安眠药，现在比拟它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，10人服用甲药，10人服用乙药，经计算得 2.33,s -1.9; y-1.75,sf -2.9，设2 2XN(叫，二)，丫 N(2,二);求叫-丄2的置信度为95%的置信区间。182二 2的置信区间为F 0.95 (17,12) F 0.05 (17,12)(0.45,2.79 )研究由机器A和B生产的钢管的内径， 随机地抽取机器 A生产的管子18根，测得子样方差2 2s =0.34，抽取机器B生产的管子13根，测得

26、子样方差S2 =0.29，设两子样独立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布NCI,二12),N(2,為)，试求母体方差比的置信度为90%的置信区间。219、二的置信区间(n_ 1)S*2(n _ 1)S*2；05(n T)0.95( n -1)2- 的置信区间(0.0575,0.1713 ) 二的置信区间(0.2398,0.4139 )设某种材料的强度 XN()f2)，J，二2未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm*2 2为强度单位，由20件子样得子样方差s0.0912，求二和匚的置信度为90%的置信区间。'm1 Im m,、20、 p 的置信区间为一土Uq 沃(1一

27、一)( 0.504,0.696 )(n刁 Jn nn也可用中心极限定理作近似计算，所得答案为(0.50,0.69 )设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信度为95%的置信区间。21、卩的置信区间为 乂士U0.025 善，U0.025 1800000 =500= n = 27.65JnJ n即这家广告公司应取 28个商店作子样一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验说明，母体方差约为1800000，如果置信度为 95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？1W1 x _22、 似然函数L( ) =

28、()ne的极大似然估计量？=X设电视机的首次故障时间 X服从指数分布，二EX，试导出的极大似然估计量和矩估 计。23、叫-'I的置信区间为* 2*2-* / 11*2(m -1)® +(n2 1)X1-X2-1-. (m n2-2)s.,S 2112-(-10.2 , -2.4 )力 n n2m + n2 - 2为了比拟两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了 10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间(单位：分钟)相应的子样均值和方差为：* 9* nX1 =22.2,X2 =28.5; $ =16.63, s2 =18.92。

29、假设每位职员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。24、P1 - P2的置信区间为g_m2_u_1 仆少厂1m2(1 m2)，卫=0.18，匹=0.14rijn2'2 | rijn1n1n2n2n2m压所以 5 一 P2的置信区间为 (0.0079,0.0721 )某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比拟，他们从两个城市中分别随机地调查了 1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。25、Ho : J <1200H!:取检验统

30、计量歹-1200300 ,100拒绝域J二_ u J 答案：不能认为该厂的显像管质量大大高于规定标准电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？26、H 0 :=55H1 : J - 5 取检验统计量T*拒绝域 J疔>U-(n J 计算得 5.x%0=3.16?20.3(1) a =0.05n t >t0.025 ( 9)，所以在0.05的显著水平下不能认为机器性能良好(2) a =0.01

31、二t <t°.05(9)，所以在0.01的显著水平下可认为机器性能良好某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为子样，测得其平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？(假设肥皂厚度服从正态分布)27、检验 H0 :丄1 = "2 H1 : .- '-2 UX；"；拒绝域J. = ju|一 u计算得故可拒绝H。，认为两种方法生产的产品的平均抗拉强度是有显著差异有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标

32、准差为8kg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从 两种 方法生 产的产品各抽取一个子样，子样容 量分别为 32和40 ,测 得x1 = 50kg,x2 = 44kg。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差异a = 0.05, Z0.025 =1.9628、检验 H 0 :丄1 - "2 H1 : -2检验统计量T ： 1 一 2 拒绝域J-.- t经计算得不能认为用第二种工艺组S*1 + 1n2装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短。一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间

33、为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为10.5分钟，用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？:=O.O5,t0.05(16) =1.745929、H o :乜250 比：.250 取检验统计量UX -25030 .25=；u计算得拒绝H ° ,可认这种化肥是否使小麦明显增产某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为 30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使

34、小麦明显增产？-0.0530、H 0: p _0.05 H1 : p 0.05接受H。:p < 0.05，批食品能否出厂某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250kg。假设规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？:-二 0.05X 22531、H0： 乜225 H1 :丄$ 225 取检验统计量T*Sn拒绝域J；t L(n-1)f，不能拒绝H0，不能认为元件的平均寿命大于225小时。某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 21222437917926422236216

35、8 250149260485170,问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。a = 0.05, t0.05 (15) = 1.753132、 ( 1)0.998407(2) ? -26652.8 170.1603x(3)0.996817畀门 77(4) t = I (xi -x)2 = 35.39138 > 1.7531线性关系和回归系数显著城市编号销售量户数万户154251892631919336827197477432025836520668916209某电器经销公司在 6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大 关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据：要求：1计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数;2 拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；23计算判定系数R对回归方程的线性关系和回归系数进行显著性检验=0.05，并对结果作简要分析。33、Sa/(I -1)Se /(n-l)计算得68.4/438/10二 4.5 > 3.48在每种温度下各做三次试验，测得其得率如下:温度AAAA4得率86