知识讲解复数代数形式的四则运算

1、复数代数形式的四那么运算【学习目标】1. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。2. 会进行复数乘法和除法运算。3. 掌握共轭复数的简单性质，理解z、z的含义，并能灵活运用【要点梳理】要点一、复数的加减运算1. 复数的加法、减法运算法那么：设 zi a bi， z2 c di ( a, b, c, d R )，我们规定：zi Z2 (a bi ) (c di ) ( a c) (b d )iZ2 zi(c a) (d b)i要点诠释：(1 )复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，两个复数的和(差)仍然是一个复数，复数的加(减)法可以推广到多个复数相

2、加(减)的情形.(2)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法那么计算，不必死记公式。2. 复数的加法运算律:交换律：zi 2 21+z =z +z结合律:(Z1+Z2)+ Z3=Z1+(Z2+Z3)要点二、复数的加减运算的几何意义1.复数的表示形式：代数形式：z a bi ( a, b R )几何表示：坐标表示：在复平面内以点Z (a, b)表示复数z a bi ( a,b R )；表示复数 z a bi .向量表示：以原点0为起点，点 Z (a,b)为终点的向量 0Z要点诠释：复数z a bi对应复平面内的点Z (a, b)对应平面向量0Z2 .复数加、减法的几何意义:uuur如果复数z1、z

3、分别对应于向量20P1uuuruuur，那么以0巨OP、1OP为两边作平行四边形2uuuurOS表示的向量 OS就是Z1Z2的和所对应的向量OPSP，对角线12.对角线P2 P1表示的向量P2 P1就是两个复数的差Z1Z2所对应的向量设复数Z1=a+bi , Z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ 2，即OZ1、OZ2的坐标形式为 OZ1 =(a, b), OZ 2 =(c, d)'以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，那么对角线oz对应的向量是0Z ,由于 0Z= OZ1 + OZ2 =( a , b)+(c , d)=(a+c , b+d)，所以 0Z1 和

4、 OZ 2的和就是与复数(a+c)+( b+d)i对应的向量类似复数加法的几何意义，uuuurhr-=*由于 z1 - Z2=( a - c)+( b - d)i，而向量 Z 2 Zl = OZl OZ 2 =(a, b)-(c, d)=(a-c,b-d)，所以OZl和OZ 2的差就是与复数(a c)+( b d)i对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：(1) 利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理(2) 反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。要点三、复数的乘除运算1.共轭复数:当两个复数的实部相等，虚部互为相

5、反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数 Z的共轭复数为 Z。2 .乘法运算法那么：设Z1a bi,Z2c di(a, b, c, dR )，我们规定:Z1 Z2(abi )(cdi )(acbd )(bcad )iZ1 abi(abi )(cdi )acbdbcadZ2cdi(c di )(c di )c 2d 2c 2id2要点诠释:1.两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 两个复数的积仍然是一个复数i 2换成-1，并且把实部与虚局部别合并2.在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，母实数化)，化简后写成代数形式。再把

6、分子与分母都乘以分母的共轭复数3 .乘法运算律:(1)交换律：Z1(Z2Z3)=(Z 1Z2)Z3(3)分配律:Z1(Z2+Z3)=Z 1 Z2+Z 1Z3 z (z +z )=z z +z z1231213要点四、复数运算的一些技巧:1. i的周期性：如果n N，那么有：i 4n 1i 4n 1 jj 4n 2, ,11 , i 4 n 3 i ( n N *)2. (1 i )22iz、z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方,3.共轭复数的性质：两个共轭复数即 Z ZX2y2，其中 z=x+yi ( x, y R).【典型例题】 类型一、复数的加减运算例 1.计算：(1) (5

7、-6i)+(-2-i)-(3+4i)(2) (1 -2i) -(2 -3i)+(3 4i) -(4 飞i)+? +(1999 2000i) (2000 2001i)【解析】(1) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)= (5-2-3)+(-6-1-4) i= - 11.i(2)解法一：原式=(1 ?+3 4+? +1999 2000)+( 2+3 4+5+ ? 2000+2001)i= 1000+1000i。解法二：(1 -2i) -(2 3i)= 1+i,(3 4i) -(4 "i)= 1+i,?(1999 2000i) (2000 !001i)= +i。 将上列1000个式子

8、累加，得原式=1000( +i)= 1000+1000i。【总结升华】复数的加减法，相当于多项式加减法中的合并同类项的过程。如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住式子中相邻两项之差是一个常量这一特点，适当地进行组合，那么可简化运算。举一反三：【变式】 设z1=3+4i , z2=2 i，求Z1Z2 ,(2) z =(3x+y)+(y4x)i , z =(4y 2x) (5x+3y)i ( x , y R)，求 z z,1 2 1 2【答案】(1) z 1+Z2=(3+4i)+(2 1)i=(3-2)+(4-1)i=1+3i(2) z 1 Z1=(3x+y)+(y 4x)i =+i =(5x

9、 3y)+(x+4y)i ,类型二、复数的乘除运算例 2.计算：(1) (1 i) 2;(2) (1 2i)(3 + 4i)(1 + 2i).【思路点拨】第(1)题可以用复数的乘法法那么计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算.(1) 解法一：(1 i) 2 = (1 i)(1 i) = 1 i i + i 2 = 2i ；2 2解法二：(1 i) 2= 1 2i + i2 = 2i.2(2) 解法一：(1 2i)(3 + 4i)(1 + 2i) = (3 + 4i 6i 8i 2)(1 + 2i)=(11 2i)(1 + 2i) =

10、 (11 + 4) + (22 2)i = 15 + 20i ;解法二：(1 2i)(3 + 4i)(1+ 2i) = (3 + 4i) = 5(3 + 4i) = 15 + 20i.【总结升华】此题主要是稳固复数乘法法那么及运算律，以及乘法公式的推广应用.特别要提醒其中(2i) 4i，而不是8.举一反三：【变式1】在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B vz=i(1+2i)=i+2i2_2+i,二复数z所对应的点为(一2, 1),应选B .【高清课堂： 复数代数形式的四那么运算401753 例题1】【变式2】计算：(1)

11、 in ( nN );()23100 ；( )231002i ii L i3 i i i L in 4k 3【答案】(1) in1n4k2其中k*N ;in4k11n4k(2) i4k i 4k 1i 4k 2i 4 k3i 4k (1 i 2i i )0100(100 1)(3) i i2 i3 L i100i2.5050i1【高清课堂：复数代数形式的四那么运算401753例题2】【变式3】计算:(1)8(2)(13i)3(1i_)3 .(1i )(1 i) 2(1 i )2【答案】(1) (1 i )8(1i )2 4 (2i )424 i 4 16(2) (1¥2i(1 i )

12、2i (1 i )1(1i) 2(1i )22i2i1例3. (2021 新课标I )设复数Z满足 _z i，那么I z |1 z(A) 1( B) 2(C) 3(D) 2【答案】A【思路点拨】在复数的乘除法中，要时时注意i 21 ,不能出错。【解析】1 Z i1 Z二 1+z=i zi (1+i)z=i 1i 1 (i 1)(1 i ) 2iz 一 i1 i22 |z|=1应选A【总结升华】1先写成分式形式2然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)3化简成代数形式就得结果举一反三：【变式1】复数 J等于(1 iA.1+2i B. 1 2i【解析】3 i (3i)(1).

13、C. 2+i D .i) 3 2i i 24 2i2 i，应选C.1 i (1i)(1 i)1 i2【变式2 计算：(1) (i1)3 ( 2) 1 3ii3 - i【答案(1) (i-1)3 (i-l)3)38i 3 8i .ii3 - i -i (1 3i ) -i类型三.复数代数形式的四那么运算例4.计算以下各式：(1(1)=4i)(1 i) 2 4i ；( 2) (i 2)(i 1)3 4i(1 i)(i 1) i【解析门)(14i)(1i) 2 4i(14) ( 41)i2 4i7 i(7 i)(34i)34i3 4i34i(3 4i)(34i)(214)(328)i2525i252

14、51 i。(i(2)2)(i1)(21)(12)i1 3i(13i)(2 i)(1 i)(i1) i(11)(11)i i2 i(2i)(2 i)(23)(6 1)i5 5i .1 i。55【总结升华题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号，再算乘除，最后算加减.举一反三:【变式1 计算:(1) (1 2i )(3 4i )(2 i )(2) i i 2 i 3 l i 100(3) (1 i )3(1 i )3；(1 i )2(1 i) 2【答案(1) (1 2i )(34i)(2 i )(11 2i)(2 i) 24 7i(2) i i 2 i3 L i 100

15、 i1 2 l 10O i 5050 (i 4 )1262 i 2 i 21(1 i )3(1 i) 3(1 i ) 2 (1 i) (1 i )2 (1 i ) 2i (1 i ) 2i (1 i) 2i 23丿 1 (1 i )2(1 i) 22i ( 2i )4i4i【答案方法一:原式(1)_223 i)(3)22i 3i5方法二(技巧解法)原式(1 i) 22(一 2.3考点4共轭复数的有关计算【高清课堂:数系的扩充和复数的概念401749 例题 2 例 5. X, yR，复数(3x 2 y) 5xi与复数(y 2)i18的共轭复数相等，求x, y.【思路点拨先将 (y 2) i 18

16、的共轭复数要正确写出，再由复数相等的充要条件可得方程组，解之 即可求结果，【解析(y 2)i1818(2 y)i3x 2 y 18 x-218 - ( y - 2)i(3x 2 y) 5xi/2 - y 5xy12【总结升华以z、z的概念与性质为根底，结合复数代数形式的四那么运算，解决有关应用问题.举一反三：【变式1 (2021 上海)假设复数 z=1+2 i，其中i是虚数单位，那么(z 1 ) z=z【答案6复数z = 1 + 2i，其中i是虚数单位，那么 z 1 z 1 2i -1 2iz1 2i=(1 + 2i)(1 - 2i) + 1=1 - 4i2 + 1=2 + 4=6.故答案为：

17、6z【变式2设z的共轭复数是z , z z 4, z z 8，那么一=z【答案设za bi ( a, bR )，那么za bi ,；z z 2a4 ,且 z za2b28,当a 2 , b 2时，2 2i i ； z 2 2iz当 a 2 , b 2 时，2 i i .z 2 2i类型四.复数的几何意义例6.如下图，复平面内的正方形ABCD 的三个顶点 A (1 , 2) , B ( 2, 1),C ( 1, 2)，求D点对应的复数。【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。【解析】解法一：设D ( x, y)，那么ADuuur uuurODuuurOA (x

18、, y)(1,2)1, y 2) oxuuur uuur uuurBC OC OB (1,2)(2,1)(1, 3) ouuur uuur 因为AD BC ,( x 1, y 2) = ( 1, 3), D点对应的复数为 2 i o 解法二：T A, C关于原点对称，二O为正方形ABCD的中心。设D (x, y)，贝U B , D关于O点对称，即0，得0二D点对应的复数为2 i。【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法那么的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介， 现量之间的转化，进而求相关问题.举一反三:【变式1】假设在复平面上的Y ABCDuuur中，AC对应的复数为6+8i,uuurBD对应的复数