职高数学知识点的总结

1、职高数学概念与公式初中基础知识:1 .相反数、绝对值、分数的运算；2 .因式分解：提公因式：xy-3x=(y-3)x十字相乘法如：3x25x2(3x1)(x2)配方法如：2x2x32(x1)2型48公式法：(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2x2-y2=(x-y)(x+y)3 .一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：(1)代入法(2)消元法6 .完全平方和(差)公式：a22abb2(ab)2a22abb2(ab)27 .平方差公式：a2b2(ab)(ab)8 .立方和(差)公式：a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)第一章集合1

2、 .构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2 .集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法(文氏图)。注：描述法x|x,x;另重点类型如：y|yx23x1,x(1,3元素元素性质取值范围3 .常用数集：N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、N(正整数集)、Z(正整数集)4 .元素与集合、集合与集合之间的关系：(1)元素与集合是“”与“”的关系。(2)集合与集合是“”“三”“”的关系。注：(1)空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。(做题时多考虑是否满足题意)(2)一个集合含有n个元素，则它的子集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个。5.集

3、合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)(1) ABx|xA且xB：A与B的公共元素(相同元素)组成的集合(2) ABx|xA或xB：A与B的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。（3）CuA：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。注：CU（AB）CUACUBCU（AB）CUACUB6 .逻辑联结词：且（）、或（）非（）如果那么（）量词：存在（）任意（）真值表：pq：其中一个为假则为假，全部为真才为真;pq：其中一个为真则为真，全部为假才为假;p:与p的真假相反。（同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真

4、。）7 .命题的非（1）是不是都是不都是（至少有一个不是）（2） ,使得p成立对于,都有p成立。对于，都有p成立，使得p成立（3） （pq）pq（pq）pq8.充分必要条件p是q的条件p是条件，q是结论充分pqp是q的充分不必要条件（充分条件）不必要/、充分pqp是q的必要不充分条件（必要条件）必要充分pqp是q的充分必要条件（充要条件）必要/、充分pqp是q的既不充分也不必要条件不必要第二章不等式1.不等式的基本性质：注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如:J2010，2009与丁200912008（倒数法）等。（2）不等式两边同时乘以负数要变号！（3）

5、同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。2 .重要的不等式：(均值定理)(1) a2b22ab,当且仅当ab时，等号成立。(2) ab2ab(a,bR),当且仅当ab时，等号成立。(3) abc3Vabc(a,b,cR),当且仅当abc时，等号成立。注：ab(算术平均数)7ab(几何平均数)23 .一元一次不等式的解法4 .一元二次不等式的解法(1)保证二次项系数为正(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法)，目的是求根：(3)定解：(口诀)大于两根之外，大于大的，小于小的；小于两根之间注：若0或0,用配方的方法确定不等式的解集。5 .绝对值不等式的解法|x|aa

6、xa若a0,则1I5|x|axa或xa6 .分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1 .映射：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：f:AB0注：理解原象与象及其应用。(1) A中每一个元素必有惟一的象；(2)对于A中的不同的元素，在B中可以有相同的象；(3)允许B中元素没有原象。2 .函数：(1)定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。(2)函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法

7、可以使大部分题目变得更简单。3 .函数的三要素：定义域、值域、对应法则(1) 定义域的求法：使函数(的解析式)有意义的x的取值范围主要依据： 分母不能为0 偶次根式的被开方式0 特殊函数定义域0yx,x0yax,(a0且a1),xRylogax,(a0且a1),x0ytanx,xk,(kZ)2(2) 值域的求法：y的取值范围正比例函数：ykx和一次函数：ykxb的值域为R二次函数：yax2bxc的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像1反比例函数：y1的值域为y|y0xyax的值域为y|y-cxdcymxn的值域求法:判别式法axbxc另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、

8、数形结合法、函数的单调性等等(3)解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。4 .函数图像的变换(1)平移向右平移y f(x)Wy f(x a)y f(xa个单位y f(x a)一、向上平移 y f(x)Wy f(x) a向下平移y f(x)Wy f (x) a(2)翻折沿x轴f(x)上、下对折y f (x)保留x轴上方图像f(x)下方翻折到上方y | f(x) |一、保留y轴右边图像yf(x)右边翻折到左边yf(|x|)5 .函数的奇偶性：(1)定义域关于原点对称(2)若f(x)f(x)奇若f(x)f(x)偶注：若奇函数在x0处有意义，则f(0)0常值函数f(x)a(a0

9、)为偶函数f(x)0既是奇函数又是偶函数6 .函数的单调性：对于为、X2a,b且XiX2,若f(Xi)f(X2)，称f(x)在a,b上为增函数f(Xi)f(X2)，称f(x)在a,b上为减函数增函数：x值越大，函数值越大；X值越小，函数值越小。减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。复合函数的单调性：h(x)f(g(x)f(x)与g(x)同增或同减时复合函数h(x)为增函数；f(x)与g(x)相异时(一增一减)复合函数h(x)为减函数。注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。7 .二次函数：(1)二次函数的三种解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(

10、x)a(xk)2h(a0),其中(k,h)为顶点两根式：f (x) a(x x1)(x x2)(a 0),其中xX2是f(x) 0的两根(2)图像与性质：二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质:开口 a 0 开口向上a 0对称轴：x 2a开口向下顶点坐标:b2a4ac b2)4a0有两交点与x轴的交点:有1交点 无交点一元二次方程根与系数的关系：(韦达定理)bXiX2一acXiX2一af(x)ax2bxc为偶函数的充要条件为b0二次函数(二次函数恒大(小)于0)a0f(x)0图像包于x轴上万0a0f(x)0图像包于x轴下方0若二次函数对任意X都有f(tx)f(tx),则其对称轴是xto若

11、二次函数f(x)0的两根X1、X2i .若两根x1、x2一正一负，则x1x20ii .若两根x1、x2同正(同负)00若同正，则xix20若同负，则xix20x1x20x1x20iii .若两根xx2位于(a,b)内，则利用画图像的办法。00若a0,则f(a)0若a0,则f(a)0f(b)0f(b)0注：若二次函数f(x)0的两根xx2;xi位于(a,b)内，x2位于(c,d)内，同样利用画图像的办法。8.反函数：(1)函数yf(x)有反函数的条件x与y是一一对应的关系(2)求yf(x)的反函数的一般步骤：确定原函数的值域，也就是反函数的定义域由原函数的解析式，求出x将x,y对换得到反函数的解

12、析式，并注明其定义域。(3) 原函数与反函数之间的关系原函数的定义域是反函数的值域原函数的值域是反函数的定义域二者的图像关于直线yx对称原函数过点(a,b),则反函数必过点(b,a)原函数与反函数的单调性一致第四章指数函数与对数函数1 .指数幕的性质与运算：(1)根式的性质：n为任意正整数，(a)n当n为奇数时，a；当n为偶数时，|a|零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。(2)零次幕：a01(a0)(3)负数指数幕:(4)分数指数幕:n1aamonncma.a(a0,nN(a0,m,n且n1)(5)实数指数幕的运算法则:(a0,m,nR)Dam(am)nmna(ab)n2.幕运算时，注

13、意将小数指数、个数的n次方。根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的3.-a当幕函数yxaf当0时,0时,xa在xa在(0,)上单调递增(0,)上单调递减4.指数与对数的互化abNlogaNb(a0且a1)(N0)对数基本性质：logaa1loga1alogaNNlogaaNNlogab与logba互为倒数logablogbalogablogbannlogamblogabm5.对数的基本运算:loga(MN)lOgaMlogaN,M,logalogaMlogaNN6.换底公式：10ga卫(b0且blogba1)指数函数、对数函数的图像和性质7.性质(1) xR,y0(2) 图像经过(0

14、,1)点a1,yax为增函数；0a1,yax为减函数(1) xR,y0(2) 图像经过(1,0)点a1,ylogax在(0,)上为增函数；0a1,ylogax在(0,)上为减函数8 .利用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同事(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。9 .指数方程和对数方程(1)指数式和对数式互化(2)同底法(3)换元法(4)取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列止义土中一项与前一项之差为同一个常数土中一项与前一项之比为同一个常数a2a1a3a2anan1da2a3an,小q(q0)aa2an1注：

15、当公差d0时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0;当公比为1时，数列为常数列通项公式ana1(n1)dn1anaq推论(1) danamnm(2) anam(nm)d(3)若mnpq,则amanapaq/八nman(1) qamnm(2) anamq(3)若mnpq,贝Uamanapaq中项公式三个数a、b、c成等差数列，则有一ac2bacb2三个数a、b、c成等比数列，则有b2ac刖n项和公式n(aan)n(n1)Snna1dd22a1(1qn)aanq/1、Sn/q1/1q1q其它S2nl(2n1)an如：S77a44.特殊三角函数值:003006450460039002一象限s

16、in近2近2百2旦2亚2cos互2网2返2近2旦2tan0西313/、存在5.三角函数的符号判定：等差数列的连续n项之和仍成等差 数列等比数列的连续n项之和仍成等比数 列1.已知前n项和Sn的解析式，求通项a.S1(nn an c c /Sn Sn 1 (n1)2)1 .弧度和角度的互换：180o2 .扇形弧长公式和面积公式,，-1 ,L扇 | r, S扇2Lr第六章2| |r21o注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算3 .任意三角函数的定义：sin对边倒数csc1 sincos邻边倒数seccostan对边倒数cot1 tan三角函数 弧度 0.01745弧度, 1801 弧度(18)o5

17、7o18（记忆法：与S abc记忆法：S、C互为倒数记忆法：G S互为倒数-ah类似）(D(2)6.口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负）图像记忆法三角函数基本公式：tansincos1 cot（可用于化简、证明等）. 2 sin2 cos（1.可用于已知sin求cos ;或者反过来运用。2.注意1的运用）1 tan22 sec（可用于已知cos （或sin ）求tan或者反过来运用）7.诱导公式:（1）口诀：奇变偶不变，符号看象限。10.三角函数的图像与性质函数图像性质定义域值域同期奇偶性单调性ysinxxR1,1T2奇2k-,2k223，2k-,2k22JT；F11

18、1;必解释：指k 2（2）分类记忆去掉偶数倍（k Z）,若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变。(即 2k )将剩下的写成（一象限）、（二象限）、（四象限）再看象限定正负号（函数名称不变）；或写成- （一象限）、（二象限），再看象限定正负号（要变函数名称） 要特别注意以上公式中立余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余 或互补的关系。8.已知三角函数值求角(1)(2)(3)(4)9.确定角所在的象限求出函数值的绝对值对应的锐角 写出满足条件的02的角 加上周期（同终边的角的集合）和角、倍角公式：sin(sin cos cossin注意正负号相同cos(cos cos si

19、nsin注意正负号相反tan(tan tan1 tantantan tan tan( )(1 tan tan )sin 22sin coscos22 cos.22sin 2 costan 22 tan1 tan2tan 一 21 cossinsin1 cos（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x的系数提出来，再看是怎样平移的。(4) y a sin xb cos x类型,y a sin x22bcosx . a b sin(x )12.正弦定理:asin Absin BcsinC2R（R为ABC的外接圆半径）其他形式：(1) a 2Rsin Ab 2RsinBc 2Rsi

20、nC （注意理解记忆，可只记一个）13.余弦定理：a2b2c22bccosA.222八bcacosA2bc114 .二角形面积公式SabcabsinC215 .三角函数的应用中，注意同次、同角、1.A1bcsinAacsinB同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。如两边之各大于第三边、三内角和为1800,第一个内角都在（0,）之间等。第七章平面向量1.向量的概念(D定义：既有大小又有方向的量。(2)向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A,终点为B的向量表示为AB0(3)(4)向量的模（长度）：|AB|或|a|零向量：长度为0,方向任意。单位向量：长度为1的向量。向量相等：大小相等，方向相

21、同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。2 .向量的运算（1）图形法则加法：ABBCAC减法：ABACCA（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律3 .数乘向量：a（i）模为：iiai（2）方向：为正与a相同；为负与a相反。4 .AB的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。AB（xBxA,yByA）5 .向量共线（平行）：惟一实数，使得3bo（可证平行、三点共线问题等）6 .平面向量分解定理：如果1是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a,都存在惟一的一对实数ai,a2,使得aaeiazB。向量a在基e,e2下的坐标为（a1,a2）。17

22、.中点坐标公式：M为AB的中点，则OM（OAOB）28 .注意ABC中，（1）重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义（2）若D为BC边的中点，则AD1（ABAC）坐标：两点坐标相加除以22（3）若O为ABC的重心，则AOBOCO0；（重心坐标：三点坐标相加除以3）9 .向量的内积（数量积）：（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围0,。（2）内积公式：ab|a|b|cosa,b10 .向量内积的性质：-I-.，ab（1）cosa,b（夹角公式）（2）a，bab0|a|b|（3）aa|a|2或|a|Va

23、a（长度公式）11 .向量的直角坐标运算：(1)AB(XbXa，yBYa)a ( ai, a2)a b a1bla2b2(向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积)(aibi,a2 b2)(2)设a(&,a2),b(bb),则ab12 .向量平行、垂直的充要条件设 a (a1,a2),b (bb)，则 a /bia2b2(相对应坐标比值相等)a b a b 0a1bla2b2(两个向量垂直则它们的内积为 0)13 .长度公式:(1)向量长度公式：设a (a1,a2),则 |a | . aj2a2(2)两点间距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2,y?)则|AB|(x?x1)2(y2y1)214

24、.中点坐标公式：设线段AB中点为M,且A(x1，yjB(x2,y2)，M(x,y),则Xx2(中点坐标等于两端点坐标相加除以2)2yy22第八章平面解析几何1 .曲线C上的点与方程F(x,y)0之间的关系:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)0的解;(2)以方程F(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上。则曲线C叫做方程F(x,y)0的曲线，方程F(x,y)0叫做曲线C的方程。2 .求曲线方程的方法及步骤(1)设动点的坐标为(x,y)(2)写出动点在曲线上的充要条件；(3)用x,y的关系式表示这个条件列出的方程(4)化简方程(不需要的全部约掉)3 .两曲线的交点：联立方程组求解即

25、可。4 .直线(1)倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是0,)(2)斜率：彳K斜角为90的直线没有斜率；ktan(倾斜角的正切)注：当倾斜角增大时，斜率k也随着增大；当倾斜角减小时，斜率k也随着减小！已知直线l的方向向量为V(v1,v2),则klV2Vi经过两点Pi(Xi，yi),P2(X2，y2)的直线的斜率Ky2一y1(xx?)A直线AxByC0的斜率K-B(3)直线的方程两点式：工y2yiX2xi斜截式：ykxb 点斜式：yy0k(xx0) 截距式：二11a为l在x轴上的截距，b为l在y轴上的截距ab 一般式：AxByC0其中直线l的一个方

26、向向量为(B,A)注：(1)若直线l万程为3x4y50,则与l平行的直线可设为3x4yC0;与l垂直的直线可设为4x 3y C 0。(4)两条直线的位置关系斜截式：l1 : y k1x b1与l2li与 l2重合ki k2且bi b2 ,一般式：lAix Bix Cilj/l22曳鱼a2 b2 c2li l2AiA2 BiB2 0(5)两直线的夹角公式 定义：两直线相交有四个角，范围：0,一2斜截式：li : y kix bW l2:y k2x b2li / l2li l2ki k2i ,0 与 l2：A2x B2x C2 0li与l2重合8旦a2 b2其中不大于一的那个角2:y k2x b2

27、kik2 且 bib2li与l2相交 ki k2C2C2tan|旦旦|(可只记这个公式，如果是一般式方程可化成斜截式来解)ik1k2般式：li：AiXBiXCi0与12：A2XB2XC2|AAB1B2IcosA2Bi2.*B|(6)点到直线的距离点P(xo,yo)到直线Ax By C0的距离：d| Axo Byo C |22.A2B2两平行线Ax By Ci5.圆的方程0和AxBy C2 0的距离：d| Ci_C2 |A2B2(1)标准方程：(x a)2 (y b)2r2 ( r 0)其中圆心(a,b),半径r。(2)般方程：x2y2 Dx Ey F 0 ( D2 E2 4F 0)DE、业么.

28、D2E24F圆心(一，一)半径：r222ab(0,2)d和半径r比较。xrcos参数方程：(xa)2(yb)2r2的参数方程为yrcos(4)直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离dr相交；dr相切；dr相离(6)圆Oi与圆O2的位置关系：利用两圆心的距离d与两半径之和ri2及两半径之差ri上比较，再画个图像来判定。(总共五种：相离、外切、内切、相交、内含)(7)圆的切线方程:过圆x2y21上一点P(x,y)的圆的切线方程：xxyyr2过圆(xa)2(yb)2r2外一点P(x,y)的圆的切线方程：肯定有两条，设切线的斜率为k,写出切线方程(点斜式)，再利用圆心到直线的距离等于半

29、径列出方程解出k。6 .圆锥曲线的定义：动点到定点(焦点)的距离和到定直线(准线)的距离之比为常数e(离心率)的点的轨迹。当0ei时，为椭圆；当ei时，为双曲线；当ei时为抛物线。7 .椭圆几何定义动点与两定点(焦点)的跑离之和等于常数2a|PFi|IPF2I2a标准方程222y2i(焦点在x轴上)ab222y2i(焦点在y轴上)ba图像C片.-2-Xca,b,c的关系a2xy 4 1 (焦点在X轴上)a2 b2b2c2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心x轴：长轴长2a;y轴：短轴长2b;0（0,0）顶点坐标(a,0)(0,b)焦点坐标（c,0）焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上准

30、线方程2aXc离心率cbb2deJ1-1aa曲线范围axa,byb渐近线无中心在（xo，y）的方程/、2/、2”舟包用1中心O,（X0,y。）ab8 .双曲线动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a几何定义标准方程22%巳1 （焦点在y轴上）a b图像a,b, c的关系c2 a2 b2注意：通常题目会隐藏这个条件|PFi|PF2|2a对称轴与对称中心x轴：实轴长2a；y轴：虚轴长2b;0（0,0）顶点坐标(a,0)焦点坐标(c,0)焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上准线方程2ax一c离心率cbb2.e-J1-21aa曲线范围xa和xa,yR渐近线ybx(焦点在x轴上)y-x(焦点在

31、y轴上)ab中心在(孔0)的方程/、2/、21中心O(x0,y)ab注：1.等轴双曲线：(1)实轴长和虚轴长相等ab(2)离心率eJ2(3)渐近线yx2.(1)以ymx为渐近线的双曲线方程可设为(ymx)(ymx)(0)2 y b2222(2)与双曲线冬1有相同渐近线的双曲线可设为：事aba9.抛物线几何定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹| MF | d ( d为抛物线上一点M到准线的距离)标准方程2一，一、y2Px(p0)2一，一、y2px(p0)2一，一、x2py(p0)2一，一、x2py(p0)隹百八、八、坐标F,0)2F(7,0)2f(0，7)2F(0,92准线方程x艮2x

32、卫2y1y1顶点0(0,0)对称轴x轴y轴离心率e1注：(1)p的几何意义表示焦点到准线的距离(2) 掌握焦点在哪个轴上的判断方法(3) AB是抛物线y22Px(p0)的焦点弦，A(xi,yi),B(x2,y2),则弦长2P2|AB|xiX2pxx2；yiy2p4第九章立体几何1 .空间的基本要素：点、线、面2 .平面的基本性质1 1)三个公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。2 2)三个推论：经过一条直线和这条直线外的一点

33、，有且只有一个平面。经过两条相交直线，有且只有一个平面。经过两条平行直线，有且只有一个平面。3 .两条直线的位置关系：(1)相交：有且只有一个公共点，记作“abA”(2)平行：a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行b.平行于同一条直线的两条直线平行(3)异面：定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于一的角。注2意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的部分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离。4 .直线和平面的位置关系：(1)直线在平面内：