最新教案：函数的单调性与最值(含解析)

1、函数的单调性与最值、函数的单调性1 .单调函数的定义增函数减函数设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值Xi, 当Xi<X2时，都有f（Xi）<f（X2）,那么就说函 当Xi<X2时，都有f（Xi）>f（X2）,那么就说函数f（X）在区间D上是增函数数f（X）在区间D上是减函数2 .单调区间的定义若函数y=f（X）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f（X）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（X）的单调区间.二、函数的最值前提设函数y = f（X）的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意x C I,都有f（X

2、）WM ；存在Xo I,使得f（xo） = M对于任意x C I,都有f(x) M ;存在X0 e I,使得f(Xo)= M结论M为最大值M为最小值基础自测1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）3A . y=X+ 1B . y= - xC. y=1D. y=X|X|X解析：选D 由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除B、C,由y=X|X|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选 D.2.函数y= （2k+ 1）x+ b在（一°°, +oo ）上是减函数，则（）1 1A. k>2B.k<21一.1C. k> 2D .k< 2 解析：选

3、D 函数y=（2k+ 1）X + b是减函数,1则 2k+1<0,即 k<1.3.函数 f(x)=1 xd的最大值是(1X)4A.55B.4Cl4D.3解析：选 D .1 1 x(1 x)=x2 x+ 1 = x1 2 3、3 八-,2 + ->-, /. 0<2j 4 4'1 x1 xJ3.；f(x)max =4. f(x)=x2 2x(xC 2,4)的单调增区间为解析：函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为1,4 , f(x)max=f(2)=f(4)=8.答案：1,4 8 x的取值范围是5.已知函数f(x)为R上的减函数，若 m<n,则f(m).f

4、(n);若 ff,则实数解析：由题意知f(m)>f(n);1rr-一 >1 ,即 |x|<1，且 xw 0. x ''故1<x<1 且 xw 0.答案：> (1,0) U (0,1)函数单调性的判断1 ,例1证明函数f(x)=2x在(一00, 0)上是增函数. x自主解答设x1, x2是区间(8, 0)上的任意两个自变量的值，且x1<x2.1.1则 f(x1)=2x1x，f(x2) = 2x2-x-,f(x1) - f(x2) = (2x1-1)-=2(x1-x2)+，t)=(x1x2) 2+x1x2由于 x1<x2<0,所

5、以 x1x2<0,2+荔>0,因此 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故f(x)在( 8, 0)上是增函数.变式练习2X ,1.判断函数g(x)=一；在(1, +8)上的单倜性.x 1解：任取 xn X2 (1 , + oo),且 X1 <X2,nr 2X1l 2X2则 g(X1)-g(X2)=77X1 1 X2 1_2£1ZXJ_X1 - 1 X2- 1 由于 1<X1<X2,所以 X1一 X2<0,(X1 1)(X2 1)>0,因此 g(X1) g(X2)<0 ,即 g(X1)<g(X2).故

6、g(X)在(1 , + 8)上是增函数.题型2求函数的单调区间例2设函数y=f(X)在(一00, +oo )内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=f(x)华广k, k, f(X / k,取函数f(x)=2f.当k=1时，函数fk(x)的单调递增区间为(A.(巴 0)B. (0,)D. (1 , +OO ) 11自王解答由 f(x)>2,得一1<x<1.由 f(x)W2,得 XW 1 或 x>1.2 : x>1, 11所以 f2(x)= 2 2, - 1<x<1,、2X, X< - 1.故f2(x)的单调递增区间为(8, 1).答案C变式

7、练习2.函数f(x)= |x2X的单调减区间是()A. 1,2B. -1,0C. 0,2D. 2, +oo )解析：选A由于 f(x)=|x 2X =x2 2x, x> 2, 1x2 + 2x, x<2.结合图象可知函数的单调减区间是1,2.题型3单调性的应用例3 若f(x)为R上的增函数，则满足f(2 m)<f(m2)的实数 m的取值范围是(2)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3, +8),则a =.自主解答(1)，f(x)在R上为增函数，2 m<m21. m2+ m 2>0. . m>1 或 m< 2.a2x a, x<, 2一,

8、1 ，一a、一(2)由f(x)=可得函数f(x)的单倜递增区间为-2, 十0°j,故3 =、2x+ a, x> -a,2,解得 a= 6.答案(1)( 8, 2) U (1 , +8 ) (2)6变式练习13. (1)函数f(x) =在2,3上的取小值为 ,取大值为 .x 111一一1 ，"1 (2)已知函数 f(x)=£x(a>0,x>0),若 f(x)在 2, 2 上的值域为-,2l4Ua=.111斛析： f (x)= - ：<0,，f(x)在2,3上为减函数，f(x)min = f(3) = -一； = 2,(x 113 1 2-、-

9、±-.f(x)max=2_1=1.1 1.11 (2)由反比例函数的性质知函数f(x) = a-x(a>0, x>0)在，2 上单倜递增，2斛付a=5.答案：(1)1 1 (2)225课后练习A组1.下列函数中，在区间A. y=ln(x+ 2)C.V= Q)(0, + 8)上为增函数的是(B. y= Ux+ 1一 .1D. y=x+ x解析：选A 选项A的函数y= ln(x+ 2)的增区间为(一2, 十°°),所以在(0,十8)上一 定是增函数.2 .若函数 f(x)=4x2mx+ 5在2, 十°o)上递增，在(一,2上递减，则 f(1)=(

10、)A. 7B. 1C. 17D. 25解析：选D 依题意，知函数图象的对称轴为x=8- = £ = 一 2，即m=16,从而f(x) = 4x2+16x+ 5, f(1)=4+16+5=25.3,若函数y = ax与y= 一 ,在(0, + 00 )上都是减函数，则y = ax2 + bx在(0, +°° )上是()xA .增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增b .解析：选 B y= ax 与 y=-在(0, 十°° )上都是减函数，a<0, b<0, /. y=ax2+bx x的对称轴方程x=-;b-<0 ,. y=ax

11、2+bx在(0, + 8)上为减函数. 2a4 . “函数f(x)在a, b上为单调函数”是“函数 f(x)在a, b上有最大值和最小值”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f(x)在a, b上为单调递增(减)函数，则在a, b上一定存在最小(大) 值f(a),最大(小)值f(b).所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x) = x2-2x+3在0,2存在最大值和最小值，但该函数在0,2不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在a, b上单调”是“函数 f(x)在a, b上有最大值和最小值”的充分不必要条件.5

12、.已知奇函数f(x)对任意的正实数 Xi, x2(x产x2),恒有(Xi x2)(f(x1) f(x2)>0,则一定 正确的是()A. f(4)>f( 6)B. f(4)<f(6)C. f(4)>f( 6)D, f(4)<f(6)解析：选 C由(Xi X2)(f(X1)f(X2)>0 知 f(x)在(0, +8)上递增,所以 f(4)<f(6)? f( 4)>f(-6).6.定义在 R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x) + f(y),当x<0时,f(x)>0 ,则函数f(x)在a, b上有()B.最大值f(b)A.最小值f(a

13、)C.最小值f(b)解析：选C f(x)是定义在R上的函数，且f(x + y) = f(x) + f(y),.f(0) = 0,令 y=-x,则有 f(x)+f( x) = f(0)=0.，f(X)= f(X). . f(X)是 R 上的奇函数.设xi <x2,则 x1 一x2<0, . f(xi) f(x2) = f(xi)+ f( x2)= f(x1一 x2)>0.f(x)在R上是减函数.f(x)在a, b有最小值f(b).7 .函数y=(x3)|x|的递增区间是 解析：y=(x3)|x|x2 + 3x, x>0,作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0, 31x2

14、一 3x, xW 0.答案:8 .若函数y=|2x1,在（00, m上单调递减，则 m的取值范围是 解析：画出图象易知y=|2x1的递减区间是（一8, 0,依题意应有m< 0.答案：( 8, 0ax-l- 19,若f(x)=axH在区间(一2, +8)上是增函数，则a的取值范围是 x+ 2解析：设 xi>x2> 2,则 f(xi)>f(x2),工axi + 1ax2+ 1而毋)-f(x2) = R- 7T72ax1 + x2 2 ax2 - x1凶+2 02+2仅1 x2f2a11一=”+2直+2)>0,则 L/日 1得 a>2.答案:1+82,10.求下列

15、函数的单调区间：(1)y= - x2 + 2|x|+ 1;(2)y= a1 2x x2(a>0 且 aw 1).解：（1）由于y=-x2+ 2x+ 1 , x>0, 1x22x+ 1 , x<0,-fx 1 2+2, x> 0,即 y-(x+ 1 2+2, x<0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(一8, 1和0,1,单调递减区间为1,0和1, +°°).(2)令 g(x) = 1 2xx2= (x+ 1)2 + 2,所以g(x)在(00, 1)上单调递增，在( 1, + 8)上单调递减.当a>1时，函数y= a1 2xx2的增区间是

16、(一°°, 1),减区间是(一1,+8)；当0<a<1时，函数 y= a1 2xx2的增区间是(-1, + 00),减区间是(一8, 1).一，x11.已知 f(x)=xa(xw a).若a=2,试证f(x)在(一8, 2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1, +8)内单调递减，求a的取值范围.解：(1)证明：设 x1<x2<2,则 f(x1)- f(x2) = x1x2 2x1 2 x2 2_2 (x1 一 x2 )(x1 + 2 jx2+ 2 j.1 (x1+ 2)(x2+ 2)>0 , x1 x2<0,f(x1)<

17、;f(x2), f(x)在(一 00, 2)内单调递增.(2)设 1<x1<x2,贝Ux1x2f(x1) - f(x2)="-' / x1 a x2 a=ax2 x1(x1 a jx2 a )''' a>0 , x2 x1 >0,要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1- a)(x2- a)>0恒成立，a< 1.综上所述，a的取值范围为(0,1.12.已知函数f(x)=a2x+b 3x,其中常数a, b满足ab0.若ab>0,判断函数f(x)的单调性；(2)若ab<0,求f(x+1)>f(

18、x)时x的取值范围.解：(1)当 a>0, b>0 时，任意 x1, x2 R, x1<x2,则 f(x1)一 f(x2)=a(2x1一 2x2)+b(3x1一 3x2).-2x1<2x2, a>0? a(2x1 - 2x2)<0 ,3x1<3x2, b>0? b(3x1 - 3x2)<0 , f(Xl)-f(X2)<0 ,函数f(x)在R上是增函数.同理，当a<0, b<0时，函数f(x)在R上是减函数.(2)f(x+ 1) f(x) = a 2x+ 2b 3x>0,当 a<0, b>0 时,但&quo

19、t;x> a- > 2b，贝U x>logi.5 , 2b j；同理，当 a>0, b<0 时，。)< Ta, 2 2b则 x<logi.5 -a.,2bB组1 .设函数f(x)定义在实数集上，f(2 x)=f(x),且当x>1时，f(x)=ln x,则有(A. fg;f(2)<fg)B.嗫*2)喧C-f5fgz(2)D. f(2)<fg;<)解析：选C 由f(2 x)=f(x)可知，f(x)的图象关于直线 x=1对称，当x>1时，f(x)=ln 所以芦六3x,可知当x> 1时f(x)为增函数，所以当x<1时f

20、(x)为减函数，因为- 1 < 1- 1 <|2- 1|, 232 .已知函数y = Hx +>/xZ3的最大值为M,最小值为m,则那的值为()11A.4B.2C.李巧解析：选C 显然函数的定义域是 3,1且y>0,故y2=4 + 2比1xjfx+3尸4 + 28x22x+ 3 =4+2寸(x+ 1 2+4，根据根式内的二次函数， 可得 4< y2W8,故 2WyW22, 即 m = 2, M=242,所以 MJ=乎.3.函数f(x)的定义域为(0, +8),且对一切x>0, y>0都有j= f(x)-f(y),当x>1时, 有 f(x)>

21、0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)=2,求f(x)在1,16上的值域.解：;当x>0, y>0时,f y i= f(x) f(y)，.令 x=y>0,则 f(1) = f(x)-f(x)=0.(2)设 xi, X26(0, + 8),且 X1 <X2,则 f(x2)f(xi) = ft )- x2>xi>0. . >1 , ,.f(x20.1- f(x2)>f(xi),即f(x)在(0, +川上是增函数.(3)由(2)知f(x)在1,16上是增函数. f(x)min =f(1)=0, f(x)max= f(16),. f(4) = 2,由 f§f(x)-f(y),知吟 /= f(16)-f(4),. f(16) = 2f(4)= 4,f(x)在1,16上的值域为0,4.4.定义在 R上的函数f(x)满足：对任意实数m, n,总有f(m+ n)= f(m) f(n),且当x>0时，0<f(x)&l