带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法(2008.02.20)

1、带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法(2008.02.20)一.我圆心、画轨迹、找角度。数学模型：(1)已知圆的两条切线，作它们垂线，交点 为O ,即为圆心。(2)已知圆的一条切线，和过圆上的另一点 B,作过圆切线的垂线，再作弦的中垂线 交点即为圆心O。(3)偏向角补角的平分线，与另一条半径的交点宜线边界磁场例1.找到下面题中粒子的圆心， 画由轨迹。求从左边界或右边 界射由时与竖直方向夹角 巾以及粒子在磁场中经历的时间。(第3图作由粒子刚好不从右侧穿由磁场)-11 -图1'图2图3练1:已知B、+ q、m、0、d、a、V0。求从左边界穿由时经 历的时间。(1)刚好不从上边界穿由(2

2、)刚好不从下边界穿由(3)能从左边界穿由。练3.如图所示，在水平直线MN上方有一匀强磁场，磁感强度 为B,方向垂直向里。一带电粒子质量为 m、电量为q,从a从 b点离开磁点以与水平线mn成e角度射入匀强磁场中, 场。问：(1)带电粒子带何种电荷？(2)带电粒子在磁场中运动的时间为多少？从A点以界MN的方向，进入磁感强度为的匀强磁场中，如图所示。经过时间t到达位置P。试求直线AP与射入方向之间的夹练4.一个正粒子，质量为 m,电量为q, 速度V沿垂直于磁感线且垂直于磁场边测：AB、CD、EF为三条平行的边界线， AB、CD、相距L1, CD、EF相距L2,如图所示，AB、CD之间有垂直纸面向里

3、的匀强磁场，磁感强度为Bi, CD、EF之间也有垂直纸面向里的匀强磁场，磁惹感强度为 B20现从A点沿A方向垂直磁场 射入一带负电的粒子，该粒子质量为 m,带电量为-q,重力不 计，求：(1)若粒子运动到CD边时速度方向恰好与 CD边垂直，则 它从A点射入时速度V。为多少？(2)若已知粒子从A点射入时速度为u (u>V。)，则粒子运动 到CD边界时，速度方向与 CD边的夹角e为多少？EF边界时恰好不穿由磁场，则B2为多少？CD、EF之间磁场的磁感强度X(3)若已知粒子从 A点射入时速度为u (u>V。)粒子运动到.VA . 一* 署 X ,B'、'.' Li

4、K X M IC M K MEF2.如图所示，M、N、P是三个足够长的互相平行的边 界，M、N与N、P间距离分别为Li、L2,其间分别有 磁感强度为 B1、b2的匀强磁场区I与区n ,磁场方向 均垂直纸而向里。已知 B1WJ2。一个带正电的粒子，质 量为m,电量为q,以大小为V。的速度垂直于边界而 M射入MN间的磁场区，讨论粒子速度 V。应满足什么 条件，才可通过这两个磁场区，并从边界而P射由(不 计重力)？M N PI X X ；X Mm 匕 V , Xq <0 <A.：I iX X Ex XL- LiL2>练3. (2005江苏)如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平

5、行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为 d 的匀强磁场区域，磁感强度大小均为 B,方向分别垂直于纸面向外 和向里。磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与Si、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立 x轴，M板左侧电子枪发射出的热 电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为m,电荷量为e,初速度可以忽略。(1)当两金属板电势差为 Uo时，求从小孔S2射出的电子速度 V。(2)求金属板间电势差 U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域。荧光屏O(3)若电子能够穿过磁场区域而打 到荧光屏上，试在图上定性画出电 子运动的轨迹 。(4)求电子打到荧光屏上的位置坐 标x和金属板间电势差U的函数关

6、 系。练4.如图所示，abcd是一边长为L的正方形，它是磁感强度 为B的匀强磁场横截面的边界线。 一带电粒子从ad边的中点 O与ad边成0 =30角且垂直于磁场方向射入。若该带电粒子 所带的电荷量为q,质量为m(重力不计)则该带电粒子在磁场 中飞行时间最长是多少？若要带则粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须满足什么条件？arriI O0Id圆形边界磁场一.我圆心、画轨迹、找角度。数学模型：三个结论：(1) 一/W < K pc XK X 1( K W(2) (3例题1.电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现 的。电子经过电压为 U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场 区，如图所示。

7、磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O,半径为r。当不加时，电子束将通过 。点打到屏幕的中心 M点。 为了让电子束射到屏幕边缘 Po需加磁场，使电子束偏转一已 知角度9o此时磁场白磁感强度B应为多少？练1.如图所示，磁感强度 B的匀强磁场存在于半径为 R的光 滑的圆环内部。圆环 A处开一小孔，带电粒子经电压为 U的 电场加速后，沿着半径方向由小孔射入圆环。 粒子在环内和圆 环发生两次不损失能量的碰撞(碰撞过程中带电粒一子电量不变，圆环固定不动)后仍从A孔射由环处，(O ) 试求带电粒子的荷质比。17JA,练2.带电粒子的质量为 m,带电量为q,以速度Vo从。点处进入磁感强度为 B的匀强磁场，从磁

8、场射由经过 b点，射由方向与x轴成9= 30°,试求,(1)圆形磁场区域的最小半径(带电质点重力可忽略不计)(2)写出b点的坐标(3)计算由粒子在磁场中运动的时间拓展：如图所示，一带电质点，质量为 m,电量为q,以平行 b于ox轴的速度Vo从y轴上a点射入图中第一象限所示的区 域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度Vo射由，可在适当的地方加一个垂直于 xy平面、磁感强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内， 试求这圆形磁场区域的最小半径(带电质点重力可忽略不计)练3.（2005广东）如图所示，在一圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径

9、为A2A4为边界的两个半圆形区域I、n中，A2A4与A1A3的夹角为60°。一质量 为m,带电量为+q的粒子以某一速度从I区的边缘 Ai处沿与 A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心。进入n区，最后再从 A4处射由磁场。已知该 粒子从射入到射由磁场所用的时间为t,求I区和n区中磁感强度的大小（忽略粒子的重力）。多方向的带电粒子专题：1 .如图所示，在X轴上方（y至0）存在着垂直纸面向外的匀强 磁场，磁感应强度为B。在原点O有一离子源向各个方向发射 由质量为m、电量为q的正离子，速率都是 V0,对那些在xy 平面内运动的离子，在磁场中，可能

10、到达的最大x=, 最大y=.画由粒子能到达的区域图。练3.（2004广东、广西）如图所示，真空室内存在匀强磁 场，磁场方向垂直于图中纸而向里，磁感应强度大小 B=0.60T。磁场内有一块平面感光板 ab,板面与磁场方 向平行。在距ab的距离为L=16cm处有一个点状的a 放射源S,它向各个方向发射 口粒子。口粒子的速度都 是 v=3.0M06m/s。已知 口粒子 比荷 9 = 5.0Mi07C/kg。现 m只考虑在图纸平面中运动的口粒子，求ab上口粒子打中的区域的长度。2 .如图所示为一长度足够长，宽度 d=8.0cm的匀强磁场，磁 感强度B=0.33T,磁场方向垂直纸面向里。在磁场边界 aa

11、'上 有一放射源 S,它可沿纸面向各个方向射由初速度V0 =3 .2X06m/s的a粒子。已知a粒子的电量q=3.2 X019C,质量 m=6.6X1027Kg,试求a粒子从磁场的另一边界 bb'射由的长 度范围。练2. (99年全国高考)如图所示，虚线 MN是一垂直纸面的 平面与纸面的交线，在平面右侧的空间存在一磁感强度为 B的 匀强磁场，方向是垂直纸面向外。是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+ q,质量为m,速度为v的粒 子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中的 P点相遇，P到。的距离为L,不计重力及粒子间的相互作用，求:

12、(1)所考察的粒子在磁场中的轨道半径。N(2)这两个粒子从。点射入磁场中的时间间隔练3.核聚变反应需几百万度高温，为把高温条件下高速运动的 离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应)，通常采用磁约 束的方法(托卡马克装置)。如右图所示，环状均强磁场围成中 空区域，中空区域中的带电粒子的只要速度不是 很大，都不会穿由磁场外缘，设环状磁场的内半 径为Ri=0.5m,外半径为 R2=1.0m,磁场的感应 强度B=1.0T,方向垂直纸面向里，若被束缚带电 粒子的荷质比为9 =4xi04C/kg,中空区域内带电 m粒子具有各个方向的速度，试计算：(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大 速

13、度。(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。（07全国I 25）两平面荧光屏互相垂直放置于两屏 内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0,0<x<a的区域有垂 直于纸面向外的勾强磁场，两区域内的磁感应强度 大小均为Bo在。点外有一小孔，一束质量为 m、 带电量为q （q>0）的粒子沿x轴经孔射入磁场， 最后打在竖直和荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最值之间的各种数值。已 知最大的粒子在 0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比 2: 5,在磁场中运动的总时间为7T/12,其中T为该

14、粒子在福；感应强度试求两个荧为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。 光屏上亮线的范围（不计重力的影响）带电粒子在复合场中运动例1.（2004全国理综IV 24）空间存在方向垂直于纸面向里的匀强 磁场，磁感应强度为 B, 一带电量为+q、质量为m的粒子， 在P点以某一初速度开始运动，初速度方向（在图中纸面内） 如图中P点箭头所示。该粒子运动到图中Q点时速度方向与P 点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示。已知P、Q间的距 离为L。若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成 匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子在 P点时速度方向垂 直。在此电场作用下粒子也由 P点运动到Q点，不计重力。 求：（1）电

15、场强度大小（2）两种情况中粒子由P点运动到Q点所经历的时 , 间之差。一.拓展：1.如图所示，宽度为d=8cm的匀强磁场和匀强电场共存的区域 内，电场方向竖直向下，磁场的方向垂直纸面向里，一带电粒 子沿水平方向射入电磁场区域，恰好不发生偏转，若入射时撤去磁场，带电粒子穿过场区射由时，向上侧移了3.2cm。若入射时撤去电场，求带电粒子穿过场区时射由时的侧移（不计重力）- ii -16 -如图，xoy平面内的圆。'与y轴相切于坐标原点。在该圆形 区域内，有与y轴平行的匀强电场和垂直于圆面的匀强磁场 一个带电粒子（不计重力）从原点为。沿x轴进入场区，恰好作 匀速运动，穿过场区的时间为 To若

16、撤去磁场，只保留电场，其他条件不变，该带电粒子穿过场区的时间为To/2。若撤去电场，只保留磁场，其他条件不变，该带电粒子 穿过场区的时间。练2.（2004全国理综n 24）如图所示，在y>0的空间存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0空间中存在匀强磁场，磁场的 方向垂直xy平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m的带 正电的运动粒子，经过 y轴上y=h处的点P1时速率为V0,方 向沿x轴正方向，然后，经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场， 并经过y轴上y=-2h处的P3点。不计重力，求外电场强度的大小；（2）粒子到达P2时速度的大小和方向；Pi（3）磁感应强度的大小。J，tTT-

17、Up5o*«ft练3.如图所示的坐标中，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向 在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在 第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于 xy平面(纸面)向里的匀强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强汽 一相等的匀强电场。一质量为m、电量为 q*的带电质点，从 y轴上y=h处的Pi点以一 :： 定的的水平初速度沿 x轴负方向进入第二 同ill 象限。然后经过x轴上x=-2h处的P2点进入第三象限、带电质点恰好能做匀速圆周运动。之后经过y轴上y=-2h处的P3点进入第四象限。已知重力加速度为go求：(1)粒子到达P2点的速度

18、大小和方向；(2)第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；(3)带电质点在第四象限空间运动过程中最小的速度的大小和 方向。练4.如图所示中，整个空间内有水平向右的匀强电场，以竖直虚线NC为理想边界，其右侧有垂直纸面向里、磁感强度为B的匀强磁场。带有极短斜槽的光滑绝缘轨道 CD部分水平，斜 槽倾角a =45；质量为m、带电量+q的微粒自A点从静止开 始运动，刚好沿虚线 AC运动至斜槽上，假设微粒和斜槽发生 碰撞时有能量损失，但可以认为碰撞前后微粒的水平分速度保 持不变，由于 C处斜槽极短使微粒即以该水平速度进入水平 光滑绝缘轨道CD部分，之后在D处离开沿图示曲线轨道 DP 运动。求(1)AD之

19、间的水平距离d;（2）微粒离开D点后继续运动过程中达最大速度时，速度和竖直方向的夹角是多少度（只需写生结果，不丹 一需说明原因）。-?x x x x x x x A ' ;上. *练5.如图所示，在坐标的第I象限内有一匀强磁场区域， 磁感 强度为B, y轴是磁场左侧的边界，直线 OA是磁场的右侧边 界。在第n象限y>0的区域，有一束带电量为q的负粒子（重力不计）垂直y轴射入磁场，一/螺* * ） 粒子的质量为m,粒子在各入射点的速度与三1产x入射点的y轴坐标值成正比，即 v=by, （b是常数，且b>0）o要求粒子穿过磁场区域后，与晶二都垂直于x轴射由，求：直线OA与x轴的

20、 ©1夹角9多大？（用题中已知物理量符号表示）练6.如图所示，坐标空间中有场强为 E的匀强电场和磁感应强 度为B的匀强磁场，y轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场 区域的右边界，现有一质量为 m,电荷量为-q的带电粒子从 电场中坐标位置（-1,0）处，以初速度V0沿x轴正方向开始运动。 试求：使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中, 满足的条件？磁场霄度:B i :练7.如图所示，在X轴的方向上有垂直于 XY平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B,在X轴的下方有沿Y负方向的电场,场强为Eo 一质量为m,电量为-q粒子从坐标原点。方Y轴 的正方向射由。射由之后，第三次到达 X轴时，它与乂

21、0点的距离为Lo求此粒子射由时的速度 计）v和运动的总路程练8.某空间存在一个变化的电磁场， 电场的方向向右，即图中 由B到C的方向，电场的大小为图中所示的 E t图，磁感强 度为图C所示的B-t图象。在A点从t=1s （即1s末）开始 每隔2s有一相同的带电粒子（不计重力）沿 AB的方向（垂 直于BC）以速度 V射由，恰能击中 C点。若AC = 2BC,且 粒子在AC间运动时间小于1s,求：（1）图中Eo和Bo的比值;（2）磁场的方向（3）若第一个粒子击中C的时刻已知为（1 + t） s,那么第 二个粒子击中C的时刻是多少？- 16 -带电粒子在磁场中动量变化 APMaBd问题的讨论和应用带

22、电粒子在磁场中的运动， 是电磁学中典型问题之一， 除 了运用基本的动力学规律和功能关系外， 可运用两个基本观点 推理论证由较为简便的方法，对分析问题带来方便。原理：如图所示，在某一区域内存在磁感应强度为 B,方向垂直 纸面向外的匀强磁场，一带电粒子电量为+ q、质量为m的粒 子在垂直与磁场的平面内从 M点到达N点时，假设带电粒子 只受磁场力的作用，其速度和受力如图（不计其它力和重力）：X X X XX X；丸 X训I IX x刈Xmv 1/X* O h X例1.如图所75, 一质量为m,带电量为q的带电粒子（重力不 能忽略），以速度V。从上面竖直向下进入宽度为 d的水平向里 的匀强磁场区域中，

23、磁感应强度为 B,试求粒子飞由磁场的方 向？练1.如图所示，当极板足够长的平行板电容器的负极板被一定 波长的光所照射时，负极板上有电子从各外方向射由来，电子脱离极板时的速率极小，可以忽略不计，设电容器两极板间的 距离为d,极板间的电势差为U,两极板间有垂直纸面向里的 匀强磁场，为使这些电子不能到达正极板， 磁感强度B至少多练2.如图所示，与竖直面垂直的均匀磁场磁感强度为 B,高为d, 一质量为m,带电量为q的小颗粒从距离磁场上边缘高为h处从静止开始自由下落而进入磁场，试求粒子从磁由来时的速度大小和方向？练3.如图所示，在竖直向下白足够宽的xoy平面的下方，存在着许多沿y方向等宽的区域，每个区区

24、域的宽度为2d,每个区域又分为两个小区域，上区域内既无电场，又无磁场，宽度为d,下区域内有垂直xoy平面的匀强磁场和号直向上的匀强 电场，有一带电量为+q,质量为m的带电粒曲仁丁£战诉嫡从静止开始自由下落.1Tq 20.0 10 "C,d=10cm, m=1.1 xi0-11kg,试求当粒可带电粒子不能从该区域的下方由来？”速度选择器、流量计、等离子发电机(1)速度选择器：如图是一个速度选择器的示意图，速率不 同的带电粒子水平地进入场区， 路径不发生偏转的粒子条件是 Eq=Bqv,即v= E,能通过速度选择器的带电-B；：.-： 一粒子，其速度必为E,它与带多少电和电性、B

25、质量都无关。(2)磁流体发电机：如右图是磁流体发电机，具原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到A、B板上，产生电势差，设 A、B 平行金属板的面积为S,相距为L,等离子气体 的电阻率为p,喷入气体速度为v,板间磁场的 磁感应强度为B,板外电阻为R,当等离子气 体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电 荷最多，板间电势差最大，即为电源电动势，此时，离子受力 平衡：£场4=34丫，£场=3丫，电动势E= E场L=Blv ,电源内电 阻r=p L,故R中的电阻I= E = BLv = BLvSSR rL RS plR p S(3)电磁流量计：

26、电磁流量计原理可以解释为：如图所示， 一圆形导管直径为d,用非磁性材料制成，其中有可以导电的 液体向左流动，导电流体中的自由电荷(正负离子)在洛伦兹 力作用下横向偏转，a、b间由现电势差。当自由电荷所受电 场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定。由 Bqu=Eq=Uqd M M 工 可得v=:1 ,3 :；-Bd：上流量 Q=Sv= U-=型U.4 Bd 4B例题1. (2003年辽宁综合)如图所示，a、b是位于真空平行 金属板，a板带正电，b板带负电，两板间的 gL,电场为匀强电场，电场强为 E。同时在两之，* x +30'-间的空间中加匀强磁场，磁场方向垂直于纸 ,面向里

27、，磁感应强度 Bo 一束电子以大小为V0的速度从左边S处沿图中虚线方向入射，虚线平行于两板， 要想使电子两板间能沿虚线运动，则V。、E、B之间的关系应该是A.v产E/BB.v0= B/EC.v0= e/bD.v0=b/e例题2. （2000全国）如图所示，厚度为h、宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感强度为 B的均匀磁场中，当电流通过导体板时，在导体板的上侧面 A和下侧面A 之间会产生电势差这种现象称为霍尔效 应，实际表明，当磁场不太强时，电势差 U、电流I和B的关系为：u =k0,式中 d的比例系数K称为霍尔系数。霍尔效应可解释如下；外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧， 在导体板

28、的 另一侧会由现多余的正电荷， 从而形成横向电场，横向电场对 电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力。 当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。设电流I是由电子的定向流动而形成的，电子的平均定向速度为v,电量为e,回答下列问题：（1）达到稳定状态时，导体板上侧面 A的电势 下侧面A'的电势（填高于、低于或等于）（2）电子所受的洛伦兹力的大小为 。（3）当导体板上下两侧之间的电势差为 U时，电子所受静电 力的大小为。（4）由静电力和洛伦兹力平衡的条件，证明霍欠系数为K=ne其中n代表导体单位体积中电子的个数。例题3. （2001全国）电磁流量计广泛应用于测量可导

29、电流体 （如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面积的流体的体积），为了简化，假设流量计是如右图所示的横截面 为长方形的一段管道，具中空部分的长、宽、高分别为图中的 a、b、c,流量计的两端与输送流体的管道相连（图中虚线） ， 图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感应强度 B的匀强磁场，磁场方向垂直于 前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时， 在管外将流量计 上、下两表面分别与一串接了电阻 R E-的电流表的两端连接，I表示测得的电 /0流值，已知流体的电阻率为 p,不计电 一J a 凸 流表 的内阻，则可求得流量为1 /c、A. 一(bR p-)B

30、.C. 1(cR pa)B bD.颉 Pbc) b aBa-25 -例题4. （2002全国）右图所示是测量带电粒子质量的仪器工作 原理示意图，设法使某有机化合的气态分子导入如右图所示的 容器A中，使它受到电子束轰击，失去一个电子变成为正一价 的分子离子，分子离子从狭缝 Si以很小的速度进入电压为 U 的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝S3射入磁感应强度为B的匀强磁场，形成垂直于纸面且平行狭缝S3的细线，若测得细线到狭缝 与的距离为do（1）导由分子离子的质量 m的表达式。（2）根据分子离子的质量数 M可以推测有机化合物的结构简 式，若某种含C, H和卤素的化合物的质量数 M为48,写出 其结构简式