《信与系统》综合复习

1、信号与系统综合复习资料一、简答题1 、 y(t) e t x(0) f (t )f (t) df (t)其 中x(0) 是 初始 状 态，dtf (t )为激励， y(t )为全响应， 试回答该系统是否是线性的2、已知描述LTI 连续系统的框图如图所示，请写出描述系统的微分方程。3、若信号 f (t ) 的最高频率为20KHz，则信号 f 2 (t )f (2t )f (3t ) 的最高频率为 _KHz； 若 对 信 号 f 2 (t ) 进 行 抽 样 ， 则 奈 奎 斯 特 频 率fs 为_KHz。4、设系统的激励为f (t ) ，系统的零状态响应yzs (t) 与激励之间的关系为：yzs

2、(t)f (t )，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。5、已知信号f k2 cosksink，判断该信号是否为周期信号，如果48是，请求其周期，并说明理由。6、已知 f1 kk+1 , k 0,1,2 ， f2 k1, k0,1,2,30 , else0, else设 f kf1 kf2 k ，求 f k 。7、设系统的激励为 f (t ) ，系统的零状态响应yzs (t) 与激励之间的关系为：yzs( k) f ( k) * f (k1) ，判断该系统是否是线性的，并说明理由。8、已知描述LTI 离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。1,2rad / s9、已知 f (t)

3、的频谱函数 F ( j )，对 f (2t) 进行均匀抽样的奈0,2rad / s奎斯特抽样间隔TN 为： _s 。10 、 若 信 号 f (t ) 的 最 高 频 率 为20KHz， 则 信 号 f (2t ) 的 最 高 频 率 为_KHz； 若 对 信 号f (2t ) 进 行 抽 样 ， 则 奈 奎 斯 特 频 率fs 为_KHz。11 、 已 知 描 述 系 统 的 微 分 方 程 为y (t )sin ty (t )f (t)其 中f (t )为激励， y(t )为响应，试判断此系统是否为线性的12、已知信号f (k )sinkcos 3k，判断该信号是否为周期信号；若是则62求

4、该信号的周期，并说明理由。二、作图题1、已知 f1 (k) 和 f 2 ( k) 的波形如图所示，求f 1 (k ) * f 2 ( k) .321-012-0122、已知f1t 、f 2t 的波形如下图，求ftf1tf2t（可直接画出图形）3、已知信号f (k)的波形如图所示，画出信号f ( k2)( k2) 的波形。f ( k1-20 23k4、已知函数f1(t)和f 2 (t )波形如图所示，画出f1 (t) * f 2 (t) 波形图。三、综合题1、 某线性时不变系统在下述f1(t), f 2 (t) 两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励f1(t )(t)时，系统的全响应y1t3

5、e 2tt ；当激励f 2tt 时，系统的全响应y2t2ett ；试求该系统的单位冲激响应h t，写出描述该系统的微分方程。2、 已知某线性时不变连续系统的阶跃响应为g(t)(1.5e3t0.5et)(t)；当系统的激励为f (t )(2t) (t) ，系统的初始值为y(0 )3, y (0 )9, 求系统的完全响应。3、 某 LTI 连续系统， 已知当激励为f (t )(t) 时，其零状态响应y zs (t )e 2t (t) 。求：（ 1）当输入为冲激函数 (t ) 时的零状态响应；（ 2）当输入为斜升函数 t (t) 时的零状态响应。4、 描述某 LTI 连续系统的微分方程为已知输入 f

6、tt,初始状态y 02,y01；求系统的零输入响应y(t) 、零状态响应 yzs(t ) 和全响应y(t )。zi5、 某一 LTI 连续系统，已知：x 01f1 t2 ty1 tt当起始状态， 输入时，其全响应为；x 02f 2 tty2 t3e2tt当起始状态， 输 入时，其全响应为，求该系统的冲激响应。6、 已知某 LTI 连续系统的系统函数H ss2s1，求：s23s2（1）系统的冲激响应h t ；（2）当激励 f (t)(t ) ，初始状态 y(0 )1 , y 01 时系统的零输入响应yzi t和零状态响应 yzst 。7、某 LTI 系统在下述 f1 (t), f2 (t) 两种

7、输入情况下，初始状态都相同，已知当激励 f1 (t )(t )时，系统的全响应y1 (t)(t)e t (t) ；当激励 f 2 tt 时，系统的全响应y2 (t )3e t (t) ；求：当激励为f3 (t )e 2 t (t ) 时系统的全响应。8、 已知某 LTI系统的冲激响应 h(t)(t )( e t3e 2t )(t ) ，求（ 1）系统的系统函数H (s) ；（ 2）求当激励fte 3 tty(0 )1y 01时系统的零输入响应yzi t和零状态响应yzs t 。参考答案一、简答题1、 y(t ) e t x( 0)f (t ) f (t) df (t )dt其中 x(0)是初始

8、状态，f (t)为激励 ， y(t )为全响应， 试回答该系统是否是线性的解：由于无法区分零输入响应和零状态响应，因而系统为非线性的。2、已知描述LTI 连续系统的框图如图所示，请写出描述系统的微分方程。解：由于输入输入之间无直接联系，设中间变量x(t) 如图所示 , 则各积分器的的输入信号分别如图所示。由加法器的输入输出列些方程：左边加法器：x (t)f (t )2x(t ) 3x (t )（ 1）右边加法器：y(t )x (t )2x (t )（ 2）由（ 1）式整理得到：x (t)3x (t)2x(t)f (t)（3）消去中间变量 x(t ) :2 y(t)2 x(t)2x (t)(4)

9、3 y (t )3 x (t )2 x (t )(5)y (t) x(t )2x (t )(6)将(4)(5)(6) 左右两边同时相加可得：整理可得到：3、 若信号 f (t ) 的最高频率为20KHz，则信号f 2 (t )f (2t)f (3t) 的最高频率为_KHz； 若 对 信 号f 2 (t ) 进 行 抽 样 ， 则 奈 奎 斯 特 频 率fs 为_KHz。解：本题目主要考查的是取样定理的条件：因而：f 2 (t)f ( 2t ) 的最高频率为40KHz， f (3t) 的最高频率为f ( 2t )f (3t ) 的最高频率为两个分信号最高频率，为60KHz60KHz，若对信号f

10、2(t)进行抽样，奈奎斯特频率f s2 f 2m120 KHz4、设系统的激励为f (t)，系统的零状态响应y zs (t) 与激励之间的关系为：yzs(t)f (t )，判断该系统是否是时不变的，并说明理由。解：设f1(t)f (tt0 )，若系统为时不变的，则必有结论yzs1yzs (tt0 )。根据题意，由f1(t)作用于系统的零状态响应为：yzs1(t)f 1(tt 0 )，根据信号的基本运算，yzs1 (t)f1(tt0 )f (tt 0 )，很明显，yzs1yzs(tt 0 ) ，因而系统为时变的。5、 已知信号f k2 cosksink，判断该信号是否为周期信号，如果是，48请求

11、其周期，并说明理由。解：设f1 ( k)2 cos( k) ，则其周期T18 ；4设 f 2( k)sin(k 8) ，则其周期T216 ； T1 和 T2 的最小公倍数为16，因而f (k) 为周期信号，其周期为16.6、 已知 f1kk+1, k 0,1,2 ， f2 k1, k 0,1,2,30 , else0, else设 f kf1 kf2k ，求 f k。1, k03, k1解：根据列表法，6, k2,3f (k )45, k3, k50, else7、设系统的激励为f (t) ，系统的零状态响应y zs (t) 与激励之间的关系为：yzs( k)f ( k) * f (k1) ，

12、判断该系统是否是线性的，并说明理由。解：系统为非线性的。因为表达式中出现了f (k) 的二次方。8、 已知描述 LTI 离散系统的框图如图所示，请写出描述系统的差分方程。解：该系统是一个二阶离散系统。由于有两个加法器，因而输入与输出之间的联系被割断，必须设定中间变量，x(k ) , 位置如图所示，各个延迟单元的输入如图所示，根据加法器列写方程：左边加法器： f ( k) 2 x(k - 2) 3x(k 1)x(k)整理可得： x(k ) 3x(k 1)2x( k - 2) f(k )（1）右边加法器： y(k) x(k)2x(k 1)（2）由（ 1）（ 2）两式，消去中间变量可得：1,2rad

13、 / s9、已知 f (t) 的频谱函数 F ( j )2rad，对 f (2t) 进行均匀抽样的奈奎斯0,/ s特抽样间隔 TN 为： _s 。答案：410、已知描述系统的微分方程为y (t)sin ty (t)f (t ) 其中 f (t)为激励， y(t)为响应，试判断此系统是否为线性的解：系统为线性的。因为微分方程是关于y(t ) f (t ) 及其导数的一次式。11、 已知信号 f (k)sin k cos 3 k ，判断该信号是否为周期信号；若是则求62该信号的周期，并说明理由。解：解：设 f1 (k) sink ，其周期为 T112 ；364 ；设 f 2 ( k) sink ，

14、其周期为 T223二者的最小公倍数为12，因而信号为周期信号，其周期为 T12 .12 、 若 信 号 f (t) 的 最 高 频 率 为 20KHz， 则 信 号 f (2t)的最高频率为_KHz； 若 对 信 号f (2t ) 进 行 抽 样 ， 则 奈 奎 斯 特 频 率fs 为_KHz。解：答案为 40， 80;二、作图题1、已知 f1 (k) 和 f2 (k) 的波形如图所示，求f1 (k ) * f 2 ( k) .321-012-012解：根据f1 (k ) 、 f 2 (k) 的图形可知，它们为有限长序列，可分别表示为：则： f1 (k ) * f 2 (k ) (k 2)(

15、k 2) 3 (k) 2 (k 1)(k 2)由冲激序列函数的性质可得到：1图形如图所示：-0123453,k2,35, k1表达式为：f (k )6, k0,1,21, k40, 其他2、已知 f1 t 、f 2 t 的波形如下图，求ftf1 tf2 t（可直接画出图形）解：解：本题可以利用图解的方法，也可以利用卷积公式法来进行计算。卷积公式法：f1 (t )(t)(t2)利用阶跃函数的性质对上面的式子进行化简：根据上面的表达式，可以画出图形：101233、已知信号f (k) 的波形如图所示，画出信号f ( k2)( k2) 的波形。f ( k1-20 23kf ( k 1解：-20 23

16、kf ( k+2) 1左移 2个单位-4-01k110123k0234k1翻转-0k再根据信号乘积，可以得到f (k2)(k2) 的波形：1-220k4、已知函数f1 (t )和f 2 (t )波形如图所示，画出f1 (t ) * f 2(t)波形图。解：从图上可以看出，f 2(t)(t2)(t2)所以f1(t) *f 2 (t)f1(t2)f1 (t2)即:分别将 f1 (t) 分别向左和向右移动两个单位的和信号。三、综合题1、 某线性时不变系统在下述f1(t), f 2 (t) 两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励 f1(t)(t ) 时，系统的全响应 y t 3e 2t t ；当激

17、励 f2tt 时，系1统的全响应 y2 t2e tt ；试求该系统的单位冲激响应h t ，写出描述该系统的微分方程。解：解：该题目主要考察的知识点：线性时不变系统的性质，单位冲激响应的定义，零输入响应和零状态响应的定义，以及单位冲激响应与零状态响应的关系。（1）由于系统为线性时不变的，因而满足分解特性。即 y(t) y zi (t ) yzs (t ) 。所以： y(t ) yzi (t ) h(t) * f (t)根据已知条件可列写方程：由于系统在f1(t ), f2 (t ) 两种输入情况下，初始状态都相同，因而根据零输入响应的定义，yzi1(t)yzi 2(t)yzi(t)又由于f1(t

18、)(t )，f2tt，则由线性时不变系统的微积分特性可得：yzs1 (t)y zs2 (t)yzs (t )所以上述方程可写为：求解该方程组，直接利用时域求解比较繁琐一些，我们可以利用s 域分析方法求解：将上述方程组转换到s 域：Y1 (s)Yzi (s)H (s)Y2 (s)Yzi (s)H (s) （1）s解方程组（ 1）可得： Y1 (s) Y2 (s) H ( s)(11 )s所以取 H (s) 的拉普拉斯反变换可得系统的单位冲激响应h(t ) ：Y (s)s根据 H (s) 的定义，可得： H (s)2)(s1)F (s) (s所以 :(s 2)(s1)Y( s) sF (s) 即：

19、取拉普拉斯反变换可得描述系统的微分方程为：2、 已知某线性时不变连续系统的阶跃响应为g(t)(1.5e 3t0.5e t ) (t) ；当系统的激励为 f (t)(2 t ) (t ) ，系统的初始值为y(0)3, y (0 )9, 求系统的完全响应。解：由于系统的阶跃响应为g (t )(1.5e 3t0.5e t ) (t ) ，根据阶跃响应与冲激响应h(t) 的关系可得：4.50.5s2将其转化到 s 域，可得： H ( s) 13s1s23s 4s则描述系统的方程为：y (t)4 y (t )3 y(t )f(t)并将已知输入转化到s 域:21F ( s)s2s则，系统的零状态响应的象函

20、数为：Yzs (s)2s21s( s1)( s 3)( s 1)( s 3)整理可得：Yzs( s)11512 s 12 s 3取拉式反变换可得： yzs(t )(0.5e t2.5e 3t )(t )从而： yzs(0)2, yzs(0)5所以： yzi (0)yzi (0)y(0)yzs(0) 321,yzi (0)yzi (0)y (0 )yzs(0)9( 5)4因为描述系统的微分方程为：y (t)4 y (t)3y(t)f(t)所以 Yzi (s)syzi (0)yzi (0)4 yzi (0 )s83.52.5(s1)(s3)(s1)(s 3)s1s 3所以 yzi (t )(3.5

21、e t2.5e 3t )(t )所以系统的全响应为：3、 某 LTI 连续系统， 已知当激励为f (t )(t) 时，其零状态响应y zs (t )e 2t (t) 。求：（ 1）当输入为冲激函数(t ) 时的零状态响应；（ 2）当输入为斜升函数t (t ) 时的零状态响应。解：根据零状态响应的定义由：转换到 s 域，可得： Yzs (s)F (s)H (s)将已知的输入输出转换到s 域，并代入，可得：Yzs( s)1s2s21，所以 h(t)(t ) 2e2t(t )H (s)1s2s2F ( s)s所以当输入为(t )()()()22 t ()时， yzsth ttet当输入为斜升函数 t

22、 (t ) 时的零状态响应yzs(t)f (t) * h(t )t (t ) * h(t )1s11 111转换到 s 域： Yzs (s)s2s(s2)2 s2s2s2所以 yzs (t)( 11 e 2t ) (t )224、 描述某 LTI 连续系统的微分方程为已知输入 ftt, 初始状态 y 02, y 01；求系统的零输入响应yzi (t ) 、零状态响应yzs(t ) 和全响应 y(t ) 。解：对微分方程取拉普拉斯变换，有整理得5、某一 LTI 连续系统，已知：当起始状态x 01f1 t2 ty1 tt，输入时，其全响应为x 02f2 tty2 t3e 2tt当起始状态，输入时，

23、其全响应为求该系统的冲激响应。解：该系统考察的是LTI 系统的性质：线性性质。设由 x 01单独作用于系统所引起的零输入响应为：yzi (t ) ；则由 x 02 单独作用于系统所引起的零输入响应为：2 yzi (t ) ；设系统的单位冲激响应为h(t ) ，根据已知可列写方程：将输入输出代入：将方程转换到s 域，可得：解之得： H (s)1(s2)所以()e2t()h tt6、 已知某 LTI连续系统的系统函数H ss2s1 ，求：s23s2（1）系统的冲激响应h t ；，（2）当激励 f (t)(t ) ，初始状态y(0 )1 , y 01时系统的零输入响应yzi t和零状态响应yzs t

24、 。解：（ 1）因为 H ss2s112s1，利用部分分式展开，可得：s23s 2s23s2取拉普拉斯逆变换，可得：()()(et32 t )()h ttet（2）因为 H ss2s1，根据 H (s) ： HsY(s)s2s 1s23s 2F (s) s23s 2则描述系统的微分方程可写为：y (t )3y (t )2y(t)f(t)f (t) f (t )yzi t 满足方程：yzi (t)3yzi (t )2yzi (t )0yzi (0 )y(0 )yzi (0 ), yzi (0 )y (0 )yzi ( 0 )将方程转换到s 域，可得：整理可得：将初始状态代入可得：取拉普拉斯逆变换，可得系统的零输入响应为：yzi(t)( 2e2t3t ) (t)eyzs(t)h(t ) * f (t ) ，所以：整理可得：取拉普拉斯逆变换可得系统的零状态响应为：yzs (t ) ( 1e t3 e 2t ) (t )227、 某 LTI系统在下述 f1 (t),f2 (t) 两种输入情况下，初始状态都相同，已知当激励 f1(t)(t) 时，系统的全响应y1 (t)(t ) e t (t) ；当激励 f 2 tt 时，系统的全响应y2()3t () ；tet求：当激励为 f 3 (t)e 2 t (t ) 时