对勾函数详细分析报告

1、实用标准文案对勾函数的性质及应用一.对勾函数y =ax+B （a A0,b A0）的图像与性 质： x1 .定义域：（-8, 0） U （0, +OO）2 . 值域：（-8-，abU Vab,+ °°）3 .奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 f（x） f（-x） =04 .图像在一、三象限，当x>0时，y=ax+b22,ab当 x 一且仅当x=归取等号），即f（x）在x=也时，取最小值2<ab aa由奇函数性质知：当 x<0时，f （x）在x= _怛时，取最大值-2JOB ,a5 .单调性：增区间为（叵 +

2、3C）,（_ 但），减区间是（0, !）,（ _ ；b ,0）a, ', ' a, aa精彩文档1、 对勾函数的变形形式类型一：函数y =ax+b （a <0,b <0）的图像与性质 x1 .定义域：（3,0）=（0,收）2 .值域：（-oo-VabU Vab,+ °°）3 .奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状4 .图像在二、四象限，当x<0时，f （x）在x= Jb时，取 a最小值2 jab；当x>0时，f （x）在x=_但时，取最大 '.a值 - 2 . ab5 .单调性：增区间为（0, ：b）,（但0）减区

3、间是（ a' a当工> D,=& / T）I工十由卜父T金瓦当且仅治川-& C 口= 丁（冷 a斤 + ：工当天一 A取所以得到顶点矍标K事2向金酬南类型二：斜勾函数y=ax+b（ab<0） xa A0,b c0作图如下1.定义域：（-00,0） =（0,） 2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值5.单调性：增区间为（-8,0）, （0, +°°）.a <Qb >0作图如下: 1.定义域：(-°o,0) u (0, F) 2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无

4、最小值.5.单调性：减区间为(-8,0), (0, +8).2类型三：函数 f(x)=ax +bx+c(ac0)。x此类函数可变形为f(x)=ax +c +b，可由对勾函数y = ax十£上下平移得到 xx练习1.函数f(x)=x +x+1的对称中心为 x类型四：函数 f(x)=x+a(a>0,k00)x ka .a此类函数可变形为f(x)=(x+k+)-k,则f(x)可由对勾函数 y = x + 左右平移，上下平移得到x kx练习1.作函数f(x)=x+与f(x)="3+x的草图 x -2x 22 .求函数f(x)=x+1在(2,2)上的最低点坐标2x -4x 3

5、.求函数f(x)=x+的单调区间及对称中心ax2 bxabx -xx -1类型五：函数f (x) =1(a #0,b >0)。此类函数定义域为 R,且可变形为f(x) = x ba.若a >0 ,图像如下: 11. te乂域：（oo,+3c）2. 值域：a ，a ,2、b3.奇偶性：奇函数.4.图像在一、三象限.当x>0时，f (x)在x=jb时，取最大值 _乙，当x<02. b时，f (x)在x= - Jb时，取最小值2.b5.单调性：减区间为(Jb7+00 ) , ( °0,Jb )；增区间 _ _ ' ： r是-Vb, >?,b,4一，f

6、(x) =F练习1.函数x +1的在区间2,收)上的值域为 b.若a <0,作出函数图像：111 .定义域：(3,y)2.值域：q，一0,a ,一=2 .b2,b3.奇偶性：奇函数.4.图像在一、三象限.当XA0时，f (x)在XNb时，取最小值a 、2 b当x<0时，f(x)在x= - Jb时，取最大值2. b5.单调性：增区间为( 匹+a) , ( _s,_Jb);减区间是-Vb,Jb2x-练习1.如a+1 =二xw(1,2),则的取值范围是 x 4222 2.类型六：函数 f(x)=ax +bx+c可变形为 f(x)=(xRt=a(x+m)+,+s(at>0),x mx

7、 mx m则f(x)可由对勾函数y=ax十工左右平移，上下平移得到xx2 x 11(填“左”、“右”)平移单位,练习1.函数f(x)=由对勾函数 y=x+一向x 1x(填“上”、"下”)平移单位.22.已知x>-1 ,求函数f(x) =x +7x+10的最小值;x 123.已知x <1 ,求函数f(x) =x +9x-9的最大值 x-1类型七：函数f(x)= 2x+m (a-0) ax2 bx c4,七叼则f(x)的最大值为 练习1.求函数f(x)= x-1在区间(1,收)上的最大值；若区间改为x2 x 222.求函数f(x)=x2 2x 3在区间0,十无)上的最大值x

8、a b -a b -af(x);: x a (b -a 0)x ax ax x 2类型八：函数f(x) = x-b .此类函数可变形为标准形式:x -a练习1.求函数f(x)=2%的最小值；x -12 .求函数f(x) ：x，5.的值域;x 13 .求函数f(x)=工=2的值域x 3 一22 . _ 2 .类型九：函数f(x)=43(a>0)。此类函数可变形为标准形式：f(x)=(、x；a)=tbza=；x2+a+bTa (b_a小 222x ax ax a练习1.求函数f(x)_ x2+5的最小值;X2 42.求函数f (x) =Wx上的值域X2 17三、关于求函数y=x+1(x>

9、;0)最小值的十种解法 x1 .均值不等式-1 八，1-，一丁 x >0,，y =x+至2 ,当且仅当x =,即x=1的时候不等式取到“二"。二当x = 1的时候, xxymin = 22. 法1 2y=x x - yx 1 =0x若y的最小值存在，则 = y2 -4 A 0必需存在，即y占2或y E 2 (舍)找到使y=2时，存在相应的x即可。通过观察当 x=1的时候，ymin =23.单调性定义设 0 :二 x1：二 x2,11f x1 - f x2 = x1 -x 2 一 一 二 x1 -x2 x1 x21 - 二 x1x1x2 -1-x2 xx2当对于任意的x1,x2

10、,只有x1 ,x2 W (0,1 时，f(X A f (x20 ,二此日f (x )单调递增;当对于任意的x1,x2,只有%双2W(1,依时，f(x )-fh2 )<0 ,此时f(x )单调递减。二当x =1取到最小值，ymin = f (1 )=24 .复合函数的单调性y =x 1xt =G + 在(0,十g弹调递增，y=t2+2在(叫0 )单调递减；在0, )单调递增 又 x0,1H tw (笛,0) xW 1,+望)=tw h+皿) 二原函数在(0,1)上单调递减；在1,依)上 单调递增即当x =1取到最小值，ymin = f (1 ) = 25 .求一阶导1 1,一一,.一y=x

11、+ =y =1 - 当 x = (0,1 )时，y <0 ,函数单倜递减；当 x= 1,")时，y A0 ,函 xx数单调递增。二当x =1取到最小值，ymin = f(1 ) = 26 .三角代换令x=tana ,共则Lot” 2 xy = x 1 =tan：三-cot - =2-0 一二 2 0 I0,二xsin2：,2,H n一，.一、-，,一，,.当 口= 一，即2豆=一时，(sin 2a »ax= 1 , ymin = 2 ,显然此时x = 142a cos日的几何意义为a在b上7.向量1.1.一 f 1 I-,y=x+-=x1+1=a，b, a= x, ,

12、b=(1,1)x xx Jf rf I ff |a b = a b cos6 J2 a cos61_根据图象，a为起点在原点，终点在 y =- (x>0 )图象上的一个向量, x的投影， 显然当a = b时，a cos8取得最小值。此时， x = 1 , ymin = J2 22 = 28 .图象相减r 1 j-1 I,即y表本函数y = < x '-1 x和y =两者之间的距离x求ymin,即为求两曲线竖直距离的最小值1平移直线y = x ,显然当y =x与y =相切时，两曲线竖直距离最小。x1 1 ,y =-关于直线y = -x轴对称，右y = x与y =-在x :&g

13、t; 1处有一父点，根据对称性,xx1在0 < x < 1处也必有一个父点，即此时 y =x与y = _上相交。显然不是距离最小的情x况。所以，切点一定为（1,1）点。 此时，x=1, ymin =29 .平面几何11依据直角二角形射影定理，设 AE =x, EB =，则AB = AD =x + xx显然，x 1-为菱形的一条边，只用当 AD -L AB ,即AD为直线AB和CD之 x间的距离时，x +1取得最小值。即四边形 ABCD为矩形。 x，一，1此时，x =-,即 x = 1, ymin = 2x10.对应法则设 f x min =tf X2 )二 X 3X2丁 X w (

14、0, + ), x 0 (0,),对应法则也相同. f X2 Lin 二t1 221fx=x f x=x - 2 xx丁左边的最小值=右边的最小值当x = P = x2,即x=1时取到最小值，且 ymin = 22二 t =t +2= t = 1 (舍)或 t =2对勾函数练习:1 .若x>l.求y = x +的最小值.11.若 J < a wl屋 在t w (0,2上恒成立，则a的取值范围是 x -1t2 9t22x2 -2x 2 116x2 .若x>1.求丫 =的最小值12.求函数f(x)=x+十二一(x>1 )的最值。x -1x x 1x - x 13.右 x>1.求y =的取小值x -1, 一,、2x13.当xw (0,1)时，求f(x)=r一的值域4x 1a,、八 2 ,一，一4.右 x>0.求y=3x+一的最小值 x，、一2114.求f(x)=x + x +的值域x x 35.已知函数(x 1,二)x2 2x ay 二x1 一，(1)求2 =时，求f (x)的最小值2(2)若