最新一线三等角型相似初三压轴题

1、精品文档中考热点5三等角型相似三角形等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。精品文档典型例题AD【例1】如图，等边 ABC中，边长为6, D是BC上动点，/ EDF=60°(1)求证： BDEA CFD(2)当 BD=1, FC=3 时，求 BE【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/B=/C=/EDF=60再用外角可证/ BED=Z CDF ,可证 BDE与 CFD相似排出相似比便可 求得线段BE的长度解：(1)ABC是等边三角形，/ EDF=

2、60° ./ B=ZC=Z EDF =60° / EDC= / EDF + / FDC = / B+ / BED ./ BED = Z FDC . BDEACFD(2) BDEACFDFC CD =BD BE BD=1 , FC=3, CD=5BE=5BD=CD的条件3点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。例2如图，等腰 ABC中，AB=AC, D是BC中点，/ EDF = /B,求证： BDEA DFE【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D成为了 BC的中点，所以 BDE与 CFD相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及可证得 解：BDE和

3、 DFE相似 AB=AC, / EDF = Z B ./ B=ZC=Z EDF / EDC= / EDF + / FDC = / B+ / BED ./ BED = Z FDC . BDEACFDBE CD BEDE又 BD=CDBDDFDE 目口 BE即一DF DEBDDF. / EDF = Z B . BDEA DFE点评：三等角型相似中若点 D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D是底边中点则有三对相似三角形， BDE与 CFD相似后若得BD DE力口上BD=CD可证得 CFD与4DFE相似CF DF【例3】如图，在 ABC中，AB=AC=5cm, BC=8,点P为BC边

4、上一动点(不与点 B、C重合)，过点P 作射线PM交AC于点M,使/ APM = Z B;(1)求证： ABPA PCM ;(2)设BP=x, CM=y.求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域.(3)当 APM为等腰三角形时，求PB的长.【思路分析】 第(1) (2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。对 APM进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与ABPA PCM相关的结论解：(1)(2) AB=AC, / APM = /B，/APM=/B=/C . / APC=Z APM+Z MPC=ZB+Z BAP ./ BAP=Z MPCABPA PCM(3)ABBPPCMC y - -x2

5、8x (0 :二 x :二 8) 55当AP=PM时PM PC=.-.PC=AB=5PA ABBP=3当AP =AM时 . / APM=Z B=ZC/ PAM=Z BAC即点P与点B重合P不与点B、C重合，舍去当MP=AM时 ./ MAP=Z MPA . MAPA ABCMP AB 5AP BCPM PCPA AB39BP=-885-5即88 -x点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角 型相似这类问题中可将等腰的条件转化至ABP和 PCM中简化运算。【例4】(1)在AABC中，AB = AC =5, BC=8,点P、Q分别在射P BP=x,

6、 CM=y, CP=8-x线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持ZAPQ =NABC .若点P在线段CB上（如图10）,且BP = 6,求线段CQ的长；若BP=x, CQ = y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5 （如图12）,点P、Q分别在直线 CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持ZAPQ =90*.当CQ =1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅 在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见 的，虽然图形改变，但是方法不

7、变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式 后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问 题。解：(1) ZAPQ +ZCPQ =/B +/BAP , ZAPQ =/ABC ,. BAP =/CQP .又 AB = AC,/B=/C.AQCP s MBP.,CQ CP .BP AB.AB = AC=5, BC=8, BP=6, CP=86=2,CQ12（2）若点P在线段CB上，由（1）知CQ CPBP ABBP=x, BC=8, CP = BC -BP=8-x,又 CQ = y , AB =5, =8x ,即 y = -1 x2 +8x.x 5551 2 8故所求的函数关

8、系式为 y = x2+ x, (0<x<8).55若点P在线段CB的延长线上，如图11. ZAPQ =/APB +/CPQ ,/ABC =NAPB +NPAB,/APQ=/ABC, ./CPQ/PAB又.ZABP =1800/ABC ,“CQ =180 J/ACB ,2ABC=/ACB,ABPC ./ABP =/PCQ . . . AQCP s ”BA. . 史CQ(2). BP = x, CP = BC+ BP =8+x , AB=5,当点P在线段BC上,CQ 二y，1 x2二一x5P在线段BC的延长线上，则点P在线段CB的延长线上，则点9x(x 0).5Q在线段DC的延长线上,

9、Q在线段DC的延长线上,bp_5 3.5BP 2BP - -5 3 5BP 一2点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似 的，还是可以沿用原来的方法求解。强化训练:1.如图，在 ABC中，AB = AC =8, BC =10, D是BC边上的一个动点，点ZADE =/C.求证： ABDA DCE;(2)如果BD=x, AE =y，求y与x的函数解析式，并写出自变量当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由.E在AC边上，且2.已知：

10、如图，在 ABC中，AB = AC=5, BC = 6,点D在边AB 上，DE _LAB,点E在边BC上.又点F在边AC上，且/DEF =/B. 求证： FCEA EBD;(2)当点D在线段AB上运动时，是否有可能使 S注ce =4S作bd .如果有可能，那么求出 BD的长.如果不可能请说明理由.CE3. 如图，在 ABC 中，AB=AC=5, BC=6, P 是 BC 上一点，且 BP=2, 将一个大小与/ B相等的角的顶点放在 P点，然后将这个角绕 P点 转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为 D、E。(1)求证 BPDACEP(2)是否存在这样的位置， PDE为直角三角形？若存

11、在，求出BD的长；若不存在，说明理由。P4. 如图，在 ABC中，AB=AC=5, BC=6 , P是BC上的一个动点(与B、CApf= y2(1)分别求y1、y2关于x的函数关系式(2) PEF能为直角三角形吗？若能，求出5. 如图，在 ABC 中，AB=AC=5, BC=6 , /、重合)，PELAB 与 E, PFLBC 交 ACBPCCP的长，若不能，请说明理由。P是BC上的一个动点(与B、CA与F,设PC=x, APEF的面积/不重合),PEXAB 与 E, PFXBC 交 AC 与 F ,设 PC=x,记 PE= y1,/为y(1)写出图中的相似三角形不必证明；(2)求y与x的函数

12、关系式，并写出 x的取值范围；(3)若 PEF为等腰三角形，求 PC的长。6.已知在等腰三角形 ABC中，AB = BC =4, AC =6 ,C重合)，连结DE ,过点D作射线DF，使NECF 干占HEBPCD是AC的中点，E是BC上的动点(不与B、=，射线DF交射线EB于点F ,交射线ABH.(1)求证：ACEDsAADH;(2)设 EC =x,BF =y .用含x的代数式表示BH ；求y关于x的函数解析式，并写出 x的定义域.7.已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD =(1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=Z A. ACdA=5, AB=DC =

13、 2.APD求证； ABPA DPC求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D /、重合)，且满足 点E,同时交直线 DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP=x, CQ=y,求y关- 定义域；当CE= 1时，写出AP的长(不必写出解题过程).8. 已知：如图，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, /B =90=，AB =8 ,BC/ BPE=/A, PE交直线BC于于x的函数解析式，并写出函数的4 AD=12, tanC= , AM / DC, 3E、F分别是线段 AD、AM上的动点(点 E与A、D不重合)且 /FEM =/AMB ,设DE =x , MF =

14、y .(1)求证：AM =DM ;(2)求y与x的函数关系式并写出定义域；(3)若点E在边AD上移动时，止FM为等腰三角形，求9. 已知在梯形 ABCD 中，AD/BC, ADV BC,且 BC =6, AB=DC=4,点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且 BP=2.求证： BEPsCPD；(2)如果点P在BC边上移动(点 P与点B、C不重合)，且满足/ EPF = /C, PF交直线CD于点F, 同时交直线 AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=x, DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的 9定义域；当S囱F =Saep时，求BP的长.(第25

15、题图)(备用图)10.如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=CD = BC=4, AD=2.点 M 为边 BC 的中点，以 M为顶点作/ EMF = ZB,射线ME交边AB于点E,射线MF 交边CD于点F,连结EF.(1)指出图中所有与 BEM相似的三角形，并加以证明；(2)设BE=x, CF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；答案:1. 解：(1) 1 AB=AC-.Z B=/C./ADC = /ADE+/CDE = /B+/ BAD，/ BAD=ZCDE /.A ABDA DCE(2) ABDA DCECEBDCDAB2.3.4. BD=x, AE=y, DC =10x，

16、810 - x 8 - y（3） AB=AC, D 是 BC 的中点，ADBC，/ DAE+ /ADE=90 °.ADE是直角三角形-x 84 AE（0 :二 x ：二 10）DE解：（1） 1 AB=AC . B=/C/BED+/DEF = /C+/EFC=90° 又: /DEF = N B，/ BED = /EFCFCEA EBD55（2） BD=x, BE= - x , EC=6x33 FCEA EBD.-. SgEC =（S.bed36x = 一11ECBD3BD不存在6-5x）2 若年CE=4Sa .（一）2”解：（1） 1 AB=AC-.Z B= Z C. /

17、DPC = / DPE+ / EPC=/ B+ZBDP / EPC = / BDP /.A ABDADCE（2）/ DPE = Z B¥90°若/ PDE=90 ,在 RtAABH 和 RtA PDE 中cos/ ABH =cosZ DPE=12PC=4 BD =51811BH PDPDBDAB PEPEPC若/ PED=90 在 RtAABH 和 RtAPDEcos/ ABH =cosZ PED=20 匚PC=4 BD =>53BH PEPDBDAB PD（舍去）一， 一 12综上所述，BD的长为5PEPC一,、4“、424解：（1） y =一（6x） =-x +一

18、、y555. / FPE=/ B#90°若/ PFE=90° ,在 RtAABH 和 RtAPFE 中BHcos/ ABH =cosZ FPE=ABPFPEy2Vi4 x3424x5517若/ PEF=90° ,在 RtAABH 和 RtAPFE 中yl5y? 一 35.解：（1） PC=x.'.PEBA EPCPF(3)当 PE=PF 时,x-x31 5 . y = PF2即yx2 75当PE=EF时,PHPF22、，,=x , cos/ 3EPH=cosB,108当FE=PF时,PM1 EP2= 2(6.x),5综上所述，PC的长分别为x10843(6

19、 - x)54321(6-x) cosZ FPM =cosB, -4 x3BHPF 3cos/ ABH =cosZ FPE= =ABPE 54-x3424x6.解：(1) AB = BC,/A=/C ./CDE +/EDF =/A+/H 又/EDF =/A, . /CDE =/H aACEDMDH 一CE CDADAH(2): ACEDs AADH , . . CE = " D 是 AC 的中点，AC=6,AD =CD =3,又. CE =x, AB当H点在线段AB的延长线上时,当H点在线段AB上时，-3 4 - BH过点D作DG II AB,交BC于点G3 4 BH3.， BHBH

20、9=4 xDG CG CD 1AB BC AC 2'DG= 2,BG二2当H点在线段AB的延长线上时,BHBFGDGF， y18 -8x 八 90 : x :二一9-2x .4当H点在线段AB上时，叫GDBFGF，8x-18 9, y = - - x ： 49 -2x 47.解：（1）证明：ZABP= 180。A- /APB, /DPC=180 -Z BPC-Z APB,ZBPC=ZA, . ZABP=Z DPC.在梯形 ABCD 中，AD/ BC, AB=CD,2A=/D.AABPA DPC.AB解：设 AP=x,则 DP=5-x,由ABPsDPC,得 APPDDC解得Xi=1, &

21、amp; = 4,则AP的长为1或4.（2）解：类似（1），易得 ABPADPQ, AB APPD DQ，得y =1<X< 4.AP=2 或 AP=3- <5 .即-="x 28.证明：（1）过点M作MG _L AD交AD AM/DC/AMB =/C ZB=90 ,AB =83 BM8 八BM = 6ABtan . AMB =tanC =BM AD/BC ,AB/MG AG=BM=6. AD=12AG=GD MGM 省 ADGM . - AM=DM(2)/FEM= NAMBNAM B=NAF E'. MEM s AEFM /.+=EM FM AM =£62 +82 =10 EM =y82 +(x-6)2，1082 (x -6)2,82(x -6)2y =x2 6x+10定义域为：0 <x <12 105(3) ZEFM =/MAE +/AEF a/FEM . . EM w FM，若AEFM为等腰三角形，贝U EF=EM或EF = FM11当 EF = EM 时,12-X =10/. X=2当 EF=FM 时 /FME =/FEM =/MAE . AE=EM，12-x 9. 证明：（1）二.在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=DC,，/B=/C_ EB B