初中二次函数知识点归纳总结

1、初中二次函数知识点归纳总结初中二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总二次函数知识点一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =+（a b c ,是常数,0a ?）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数0a ?，而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数2y ax bx c =+ 的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数 是2. a b c ,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.二、二 次函数的基本形式1.二次函数基本形式:2y ax =的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口

2、越小。2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。3.()2y a x h =- 的性质：左加右减。4.()2y a x h k =-+ 的性质：三、二次函数图象的平移a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上()00, y 轴0x 时,y随x的增大而增大;0x 时,y随x的增大减小;0x =时,y 有最小值0. 0a 向下()00,y轴0x 时,y随x的增大而减小；0x 时,y随x的增大而增大;0x =时,y有最大值0.a的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上()0c ,y轴0x 时,y随x的增大而增大；0x 时,y随x的增大而减小;0x =时,y有最小值c .0a 向下()0

3、c ,y轴0x 时,y随x的增大而减小；0x 时,y随x的增大而增大;0x =时,y有最大值c .a的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上()0h , X=h x h 时,y 随x的增大而增大；x h 时,y随x的增大而减小;x h =时,y有最小值0.0a 向下()0h ,X=hx h 时,y随x的增大而减小；x h 时,y随x的增大而增大;x h =时,y有最大值0.a的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上（）h k , X=h x h >时,y 随x的增大而增大;x h <时,y随x的增大而减小;x h =时,y有最小值k .0a <向下（

4、）h k ,X=hx h >时,y随x的增大而减小；x h <时,y随x的增大而增大;x h =时,y有最大值k .1 .平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式（）2y a x h k =-+,确定其顶点坐标（）h k ,;保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到（）h k ,处，具体平移方法如下：向右（h >0）或左（h <0）平移|k|个单 位向上（k >0）【或下（k <0）】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)平移因个单位向上(k >0)【

5、或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22 .平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移;k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：c bx ax y +=2 沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位,c bx ax y +=2变成m c bx ax y +=2( 或 m c bx ax y -+=2)c bx ax y +=2 沿x轴平移：向左(右)平移 m个单位,c bx ax y +=2 变成 c m x b m x

6、 a y +=)()(2( 或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+ 与 2y ax bx c =+ 的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+ 与 2y ax bx c =+ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前 者，即22424b ac b y a x a a -? =+ ? ? ?,其 2424b ac b h k a a -=-=,.五、二次函数2y ax bx c =+ 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =+化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶

7、点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x轴的交点()10x ,()20x ,( 若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点,与x轴的交点， 与y轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =+ 的性质1 .当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-,顶点坐标为 2424b ac b a a ?-?,.当2b x a <-时,y随x的增大而减小；当2b x a >-时,y随x 的增大而增大；当2bx

8、 a =-时,y 有最小值244ac b a-.2 .当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ? ? - ? ? ?当2bx a <-时,y随x的增大而增大；当2b x a >-时,y随x的增大而减小；当2b x a =-时,y有最大值244ac b a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =+（a ,b ,c 为常数,0a #）; 2. 顶点式：2()y a x h k =-+(a ,h ,k为常数,0a #）;3.两根式：12()()y a x x x x =-(0a ?,1x ,2x是抛

9、物线与 x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点 即240b ac - n时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的 关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =+,a作为二次项系数，显然0a丰. 当0a >时，抛物线开口向上,a的值越大，开口越小，反之a的 值越小，开口越大； 当0a <时，抛物线开口向下,a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口 方

10、向,a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. 在 0a >的前提下，当0b >Bt,02ba-<,即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b =时,02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b <Bt,02ba ->,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b 训,02ba->,即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b = Bt,02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b <Bt,02ba-<,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.总结起来，在a确定的前提

11、下,b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴abx 2-=在y轴左边则0>ab ,在y轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左 同右异”总结：3. 常数项c当0c >时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c =时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴 交点的纵坐标为0;当0c <时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之,只要a b c ,都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确 定：根据已知条件确定二次函数解析式 ，通常利用待定系数法

12、.用待定 系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1 .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2 .已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3 .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4 .已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2y ax bx c =+关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-;（）2y a x h k =-+ 关于x轴对称后，得到的解析式是（）2y a x h k =-

13、;2.关于y轴对称2y ax bx c =+ 关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+ 关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =+;3.关于原点对称2y ax bx c =+关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-;()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4.关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180 )2y ax bx c =+关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =-+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后

14、，得到的解析式是()2y a x h k =-+. 5. 关于点()m n ,对称 （）2y a x h k =-+ 关于点（）m n ,对称后，得到的解析式是（）222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.求抛物线的对 称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形 式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开 口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1 .二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交

15、点情况）：一元二次方程20ax bx c += 是二次函数2y ax bx c =+ 当函数值0y =时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240b ac ?=-时，图象与x轴交于两点（）（）1200A x B x ,12（）x x 丰,其白令 12x x ,是一一元二次方程（）200ax bx c a += #的两根.这两点间的距离2214b acAB x x a.当0?=时，图象与x轴只有一个交点；当0? <时，图象与x轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 0y >2'当0a <时，图象落在x轴的下方，无论x为任何

16、实数，都有0y <.2 .抛物线2y ax bx c =+ 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,）c ;3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式 转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数 2y ax bx c =+a ,b ,c 的符号，或由二次函数 a ,b ,c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一 点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一 个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2（0

17、）a x bx c a + 小本身就是所含字母 x的二次函数；下面以0a > 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=x 22y=2x 2y=x 2y=-2x 2y= -x 2y=-x 220? >抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根?=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根? <抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根y=2x 2-4y=2x 2+2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-

18、3)2y=-2x 2H一1、函数的应用二次函数应用？ ？ ？ ？ ？刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1 .考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题，如：已知以x为自变量的二次函数2)2(22-+-=m m x m y 的图像经过原点，则m的值是2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y+=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是()y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B CD3 .考

19、查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率 很高，习题类型有档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3),(4,6) 两点，对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式。4.考查用配方法求抛物线的顶点 坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线 2y ax bx c =+(a?0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-32(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对 称轴和顶点坐标.5 .考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2【例题经典】由抛物线的位置确

20、定系数的符号例1 (1)二次函数2y ax bx c =+的图像如图1,则点),(ac b M在() A .第一象限B .第二象限 C .第三象限D .第四象限(2)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a #0)的图象如图2所示，？则下 列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当 y=-2时,x的值只能取0.其正确的个数是()A .1个B .2个C.3个D.4个(1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a ,b ,c 之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(x 1,0),且1<x 1<2,

21、与y轴的正半轴的交点在点(0 ,2)的下方.下列结论：a<b<0;2a+c>0;4a+c<0;2a -b+1>0 ,其正确结论的 个数为()A 1个B. 2 个C. 3 个D .4 个答案:D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2, 且二次函数y=ax 2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D .(3,2)答案:C例4、(烟台市)如图(单位:m ),等腰三角形ABC以2米/秒的速 度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三

22、角形与正 方形重叠部分的面积为y m 2.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2,3.5时,y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52. (1)用配方法求它的顶点坐标和 对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B ,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主 要考查二次函数与一元二次方程的关系.例6.已知：二次函数y=ax 2-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4,10),交 x轴于)0,(1x A ,)0,(2x B两点)(21x x <

23、;,交y轴负半轴于C点，且满足 3AO=OB .(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M , 使锐角/ MCO> A CO给存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不 存在，请你说明理由.(1)解:如图:抛物线交x轴于点A(x 1,0),B(x2,O),则 x 1 - x 2=3<0,又. x 1<x 2, . x 2>O ,x 1<O , < 30A=OB ,. x 2= -3x 1. x 1 x 2= -3x 12=- 3. /.X 12=1.x 1<0, .x 1= -1. . . .x 2=3. 点A(-1,O),P(4

24、,10)代入解析式得解得a=2 b=3.二次函数的解析式为 y-2x 2-4x-6.(2)存在点 M 使/ MC0« ACO .(2)解:点A关于y轴的对称点A ' (1,O), 直线 A ,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,- 6),(5,24).符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5日1 / MCO>ACO .例7、“已知函数c bx x y +=221的图象经过点A (c ,-2),求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目的矩形框部分是

25、一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论现有的信息，你能否求出题的二次函数解析式？ 若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。(2)请你根据已有的信息，在原题的矩形框，填加一个适当的条件， 把原题补充完整。点评：对于第(1)小题，要根据已知和结论现有信息求出题的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A (c ,- 2) ”，就可以列出两个方程了 ，而解析式只有两个未知数，所以能够求出题的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的 一个交点的坐标等。解