数学思维及能力培养

1、数学思维及能力培养数学思维及能力培养 引言：引言： 现代教育观现代教育观:数学教育的中心就是数学思维、数学数学教育的中心就是数学思维、数学品质、数学能力、数学素养的数学活动教学，这品质、数学能力、数学素养的数学活动教学，这四个方面是学生获取新知识、进行创造性学习和四个方面是学生获取新知识、进行创造性学习和发展智力的重要途径。发展智力的重要途径。 数学思维；数学品质；数学能力；数学素养数学思维；数学品质；数学能力；数学素养小学数学课程改革的新观念小学数学课程改革的新观念 每一个学生都可以学数学每一个学生都可以学数学 不同学生学不同的数学不同学生学不同的数学 注重兴趣、个性发展注重兴趣、个性发展

2、提供更丰富多彩的情景提供更丰富多彩的情景 留有探索思考的余地留有探索思考的余地 小学生的数学学习小学生的数学学习是一个复杂的心理活动过程，是一个复杂的心理活动过程，它既与学生的认识活动中的智力因素有关，也与它既与学生的认识活动中的智力因素有关，也与动机、兴趣、情感、意志、习惯、性格等非智力动机、兴趣、情感、意志、习惯、性格等非智力因素有关。因素有关。 小学生数学思维的培养提高小学生数学思维的培养提高需要一个长期培训过需要一个长期培训过程。程。 这一过程必须根据小学数学思维特点，思维品质、这一过程必须根据小学数学思维特点，思维品质、思维方法，结合教学过程，而如何将思维培训贯思维方法，结合教学过程

3、，而如何将思维培训贯穿于教学的各个方面，从而培养提高学生的数学穿于教学的各个方面，从而培养提高学生的数学思维能力，这正是教师们所要探究的。思维能力，这正是教师们所要探究的。数学思维数学思维一、数学思维概述一、数学思维概述二、数学思维的分类二、数学思维的分类三、数学思维方法与形式三、数学思维方法与形式 一、一、数学思维概述数学思维概述1、数学思维的含义数学思维的含义思维是人脑对客观事物的一般性、特殊性思维是人脑对客观事物的一般性、特殊性及规律性的一种间接地概括反应过程。及规律性的一种间接地概括反应过程。数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交

4、互作用并按照一数量关系、结构关系）交互作用并按照一般的思维规律认识数学般的思维规律认识数学本质和规律的本质和规律的理性理性活动。活动。 数学思维的特征数学思维的特征思维的概括性思维的概括性思维的相似性思维的相似性思维的问题性思维的问题性概括性概括性 数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，所以数学思维的概括性比一般量关系及其规律，所以数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，数学思维的概括性与数学知思维的概括性更强，数学思维的概括性与数学知识的抽象性互为表里、互为因果。数学思维方法、识的抽象性互为表里、互为因果。数学思维方法、思维模式的

5、形成是数学思维概括水平的重要体现思维模式的形成是数学思维概括水平的重要体现 概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。 相似性相似性 数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的比数学思维中到处渗透着异中求同、同中辨异的比较、分析过程。数学思维中的联想、类比、归纳较、分析过程。数学思维中的联想、类比、归纳和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数和猜想等都是运用相似性探求数学规律、发现数学结

6、论的主导方法。对相似因素和相似关系的认学结论的主导方法。对相似因素和相似关系的认识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提识能加深理解数学对象的内部联系和规律性，提高思维的深刻性，发展思维的创造性。因此，相高思维的深刻性，发展思维的创造性。因此，相似性是数学思维的一个重要特征。似性是数学思维的一个重要特征。 问题性问题性 数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展的。问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。表现为不断地提出问题、分都是由问题引起的。表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，因此，

7、问题性是数学思维目析问题和解决问题，因此，问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。这一特点在数学思维方面的表现比任何思中心。这一特点在数学思维方面的表现比任何思维都要突出。维都要突出。二、数学思维的分类二、数学思维的分类 数学思维的类型可以从不同的角度，按不同的方数学思维的类型可以从不同的角度，按不同的方式进行划分式进行划分 （一）（一）逻辑思维、形象思维、直觉思维。逻辑思维、形象思维、直觉思维。 ( (思维形式思维形式) ) 数学逻辑思维数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、

8、综合、抽象、概括、（完全）本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑表达的思维方式。逻辑表达的思维方式。 数学形象思维数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思性和想象性为主要特征，其

9、思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。考、模糊判别的合情推理的倾向。 数学直觉思维数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉直觉”思维思维是以相当多的无意识是以相当多的无意识“成分成分”，思维过程更分散、，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。迅速和省略为特征的。 （二）集中思维和发散思维（二）集中思维和发散思维( (思维指向

10、思维指向) ) 集中思维集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。 发散思维发散思维则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时，我们是沿现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时，我们是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新远景，有时着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新

11、远景，有时去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态型思维的特征。型思维的特征。 （三）再现性思维和创造性思维（三）再现性思维和创造性思维（智力品质）（智力品质） 再现性思维再现性思维是一种整理性的一般思维活动，是指根据原有是一种整理性的一般思维活动，是指根据原有的经验和已经掌握的解题方法、策略，在类似的情境中直的经验和已经掌握的解题方

12、法、策略，在类似的情境中直接解决问题的思维形式。接解决问题的思维形式。 创造性思维创造性思维是再现性思维的发展，再现性思维是创造性思是再现性思维的发展，再现性思维是创造性思维的基础。创造性思维是一种开放型和动态型较强的思维维的基础。创造性思维是一种开放型和动态型较强的思维活动，在强烈的创新意识的指导下，把头脑中的已有信息活动，在强烈的创新意识的指导下，把头脑中的已有信息重新加工，产生具有进步意义的重新加工，产生具有进步意义的新设想、新方法新设想、新方法的思维。的思维。 是人类心理非常复杂的高级思维过程，是人类心理非常复杂的高级思维过程，三、三、数学思维的方法与形式数学思维的方法与形式 思维方法

13、思维方法:(1):(1)观察与比较观察与比较 (2)(2)分析与综合分析与综合 (3)(3)抽象与概括抽象与概括 (4)(4)判断与推理判断与推理 思维的形式：思维的形式：概念、判断、推理。概念、判断、推理。 思维形式通过各种思维方法来实现。思维形式通过各种思维方法来实现。（一）观察与比较（一）观察与比较 1 1、观察：、观察：是指人们对周围客观世界的各个事物和现是指人们对周围客观世界的各个事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物存在的自然联系象，在其自然条件下，按照客观事物存在的自然联系的实际情况，加以有目的的感知，从而来确定或研究的实际情况，加以有目的的感知，从而来确定或研究它们的性质或关

14、系的一种思维活动。它们的性质或关系的一种思维活动。 观察具有两个特征：观察具有两个特征： （）观察的双重性（）观察的双重性： 观察不仅仅指利用各种感觉器官对客观事物进行的感观察不仅仅指利用各种感觉器官对客观事物进行的感知活动，还包括对客观事物的领会和理解（思维）。知活动，还包括对客观事物的领会和理解（思维）。在整个观察活动中，观察和思维是同步进行的，为思在整个观察活动中，观察和思维是同步进行的，为思维提供了依据，思维又进一步为感知提供了新目标。维提供了依据，思维又进一步为感知提供了新目标。 （）观察的客观性。（）观察的客观性。 人的观察具有主观性，人的知觉有一种趋向于稳定人的观察具有主观性，人

15、的知觉有一种趋向于稳定性，完整性和对称性的倾向。性，完整性和对称性的倾向。 要保证观察的客观性，就应掌握一定的观察方法，要保证观察的客观性，就应掌握一定的观察方法，根据观察的任务和对象的特点，观察顺序：整体根据观察的任务和对象的特点，观察顺序：整体部分部分整体；部分整体；部分整体整体部分两种方法。部分两种方法。 2 2、比较：、比较：是借以认出对象和现象的一种逻辑方法。是借以认出对象和现象的一种逻辑方法。（）先比较事物的不同因素，再发展到比较事物的相（）先比较事物的不同因素，再发展到比较事物的相同因素。同因素。（）先比较事物差异性较大的属性，再发展到比较事（）先比较事物差异性较大的属性，再发展

16、到比较事物差异性较小的属性。物差异性较小的属性。（）遵循从感知比较发展到表象比较，再发展到概念（）遵循从感知比较发展到表象比较，再发展到概念比较这一规律。比较这一规律。 （二）（二）分析与综合分析与综合分析：分析：是指在头脑中将对象和现象分解成个别是指在头脑中将对象和现象分解成个别部分，从中找出它的属性、特征等，单独来部分，从中找出它的属性、特征等，单独来考察的思维活动。考察的思维活动。综合：综合：是将分析了的各个部分结合起来，从整是将分析了的各个部分结合起来，从整体来考察对象和现象的思维活动。体来考察对象和现象的思维活动。（三）抽象与概括（三）抽象与概括抽象：抽象：简单的说，就是指发展事物的

17、本质属性，放弃简单的说，就是指发展事物的本质属性，放弃 非本质属性的思维过程。非本质属性的思维过程。概括：概括：简单的说，就是指从个别单独的属性，推广到简单的说，就是指从个别单独的属性，推广到 同类事物的属性的思维过程。同类事物的属性的思维过程。（四）判断与推理（四）判断与推理、判断：、判断：就是一个由理解到结论的思维过程，它是反就是一个由理解到结论的思维过程，它是反映事物和现象某些本质属性的思维过程映事物和现象某些本质属性的思维过程。2 2、推理：、推理：就是从一种判断作出另一种判断的思维就是从一种判断作出另一种判断的思维 过程过程归纳推理：特殊归纳推理：特殊-一般一般演绎推理：一般演绎推理

18、：一般-特殊特殊类比推理：特殊类比推理：特殊-特殊特殊数学思维品质数学思维品质 （1 1）数学思维品质概述）数学思维品质概述 思维品质思维品质是人的思维的个性特征。思维品质反映是人的思维的个性特征。思维品质反映了每个个体智力或思维水平的差异，了每个个体智力或思维水平的差异， 深刻性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性、深刻性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性、 深刻性深刻性分清问题实质的程度。分清问题实质的程度。 灵活性灵活性知识运用自如或变通流畅的程度。知识运用自如或变通流畅的程度。 敏捷性敏捷性反应速度及熟练程度。反应速度及熟练程度。 批判性批判性对思维过程和结果分析评价的深刻程度对思维过程和结

19、果分析评价的深刻程度 独创性独创性创新程度，是智力发展的高级表现。创新程度，是智力发展的高级表现。（2）数学思维品质的培养数学思维品质的培养 沟通知识间的内在联系，培养思维的深刻性沟通知识间的内在联系，培养思维的深刻性 开拓解题思路，培养思维的灵活性开拓解题思路，培养思维的灵活性 强化技能训练，培养思维的敏捷性强化技能训练，培养思维的敏捷性 不断总结反思，培养思维的批判不断总结反思，培养思维的批判 倡导探究求新。培养思维的独创性性倡导探究求新。培养思维的独创性性数学思维能力数学思维能力 能力能力是一个人的个性心理特征。是一个人的个性心理特征。 数学思维能力数学思维能力是人们在感性认识的基础上，

20、是人们在感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等基运用比较、分析、综合、归纳、演绎等基本方法去形成概念并进行推理和判断的能本方法去形成概念并进行推理和判断的能力，力， 数学能力的核心是数学思维能力数学能力的核心是数学思维能力1 1、常规数学思维能力：、常规数学思维能力： (1)(1)数形感觉与判断；数形感觉与判断； (2) (2) 数据收集与分析；数据收集与分析； (3)(3)几何直观和空间想象几何直观和空间想象 (4)(4)数学表示与数学建模；数学表示与数学建模； (5)(5)数学运算与数学变换数学运算与数学变换 (6)(6)归纳猜想与合情推理；归纳猜想与合情推理； (7)(7)

21、逻辑思考与演绎证明逻辑思考与演绎证明 (8)(8)数学联结与数学洞察；数学联结与数学洞察； (9)(9)数学计算和算法设计（数学计算和算法设计（10)10)理性思维与构建体系。理性思维与构建体系。 广博的数学通史广博的数学通史 准确的数学语言准确的数学语言 良好的数学技能良好的数学技能 周密的数学思维周密的数学思维 敏锐的数量意识敏锐的数量意识 解决问题的数学技术解决问题的数学技术2 2、小学数学思维能力的特点、小学数学思维能力的特点 直观形象思维能力强直观形象思维能力强 抽象概括能力弱抽象概括能力弱 有效思维时间短有效思维时间短 思维浅显、缺乏灵活性思维浅显、缺乏灵活性 小学数学思维发展的阶

22、段小学数学思维发展的阶段直观思维阶段直观思维阶段具体形象思维阶段具体形象思维阶段抽象逻辑思维阶段抽象逻辑思维阶段 小学生的思维是以直观、具体形象思维为小学生的思维是以直观、具体形象思维为主，向抽象逻辑思维为主的主，向抽象逻辑思维为主的过渡过渡阶段。阶段。表现在：数学思维是逐步发展的；表现在：数学思维是逐步发展的； 兼而有之的兼而有之的; 相互渗透相互渗透; 相互补充的。相互补充的。3、数学思维能力的培养、数学思维能力的培养 培养学生的听力培养学生的听力 培养学生的观察能力培养学生的观察能力 培养学生的想象力培养学生的想象力 培养学生的语言及符号的表达能力培养学生的语言及符号的表达能力 培养学生

23、的实践操作能力培养学生的实践操作能力 培养学生的创新能力培养学生的创新能力4 4、创新能力的培养、创新能力的培养 （1 1）创新能力）创新能力创新能力是指产生新思想、发现和创造新事物的能力。创新能力是指产生新思想、发现和创造新事物的能力。也是一种心理品质。与一般能力的区别在于它的新颖也是一种心理品质。与一般能力的区别在于它的新颖性和独创性。性和独创性。行为表现有三个特征：行为表现有三个特征：l变通性：思维的随机应变，举一反三，因而能产生超变通性：思维的随机应变，举一反三，因而能产生超常的构想，构建出不平凡的新思路新观念。常的构想，构建出不平凡的新思路新观念。l流畅性：反映既多又快。流畅性：反映

24、既多又快。l独特性：对事物有不寻常的见解。独特性：对事物有不寻常的见解。例题 小明家距学校小明家距学校30003000米，小丹家距学校米，小丹家距学校40004000米，米， 1 1）你能确定两家相距多远吗？）你能确定两家相距多远吗？ 2 2）最远）最远 最近可能是多少？最近可能是多少？ 3 3）若小明家在学校的正东，小丹家在学校的正）若小明家在学校的正东，小丹家在学校的正南南 ，两家相距多远，两家相距多远（2 2）在培养过程中要重视的几个要点）在培养过程中要重视的几个要点努力营造一种气氛，使每个儿童感受尊重。努力营造一种气氛，使每个儿童感受尊重。鼓励儿童进行创造性尝试，帮助他们获得自己鼓励儿

25、童进行创造性尝试，帮助他们获得自己去创造的勇气和信心；去创造的勇气和信心；对于儿童的新奇念头、想象力和别出心裁的想对于儿童的新奇念头、想象力和别出心裁的想法、做法进行称赞和鼓励；法、做法进行称赞和鼓励；避免在评价学生中迷信权威的做法。避免在评价学生中迷信权威的做法。数学素养数学素养 1 1、数学学习兴趣、数学学习兴趣 兴趣是一种带有情感色彩的认识倾向。它以认识兴趣是一种带有情感色彩的认识倾向。它以认识和探索某种事物的需要为基础，是推动人去认识和探索某种事物的需要为基础，是推动人去认识事物，探求真理的一种重要动机。事物，探求真理的一种重要动机。联系实际，唤起兴趣联系实际，唤起兴趣探索规律，引发兴

26、趣探索规律，引发兴趣质疑问难，激发兴趣质疑问难，激发兴趣手脑并用，促进兴趣手脑并用，促进兴趣体验愉悦，稳定兴趣体验愉悦，稳定兴趣课外活动，发展兴趣课外活动，发展兴趣2、数学美及其培养、数学美及其培养 数学不但拥有真理，而且拥有至高无尚的美。数学不但拥有真理，而且拥有至高无尚的美。 美的精髓在于它是普遍真理，无往而不在，数学美的精髓在于它是普遍真理，无往而不在，数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性性, ,数学结构的系统性、协调性、对称性，数学命数学结构的系统性、协调性、对称性，数学命题与数学模型的概适性、普遍性，以及数学美在题与数学模型的概适

27、性、普遍性，以及数学美在各个领域、在大自然的渗透，说明数学的无处不各个领域、在大自然的渗透，说明数学的无处不在无奇不有。在无奇不有。数学美的类型数学美的类型 1. 1. 简洁美简洁美 数学问题的简洁；数学符号的简洁数学问题的简洁；数学符号的简洁 数学语言的简洁；数学概念的简洁，数学语言的简洁；数学概念的简洁， 数学证明的简洁，数学证明的简洁， 2 2对称美对称美 对称美体现在生活中、艺术中、数学中。对称美体现在生活中、艺术中、数学中。3.3.和谐美和谐美 客观世界中的万事万物运行有序、和谐统一，因客观世界中的万事万物运行有序、和谐统一，因此，作为客观世界的数与形构成的数学也以其和此，作为客观世界的数与形构成的数学也以其和谐有序而令人陶醉。这种美在数学中处处可见，谐有序而令人陶醉。这种美在数学中处处可见，数学中的数学中的“五朵金花五朵金花” ” 和谐的和谐的统一在一个简洁的等式中统一在一个简洁的等式中 4.4.奇异美奇异美 数学中的奇异美是吸引众多人喜好数学的原因之数学中的奇异美是吸引众多人喜好数学的原因之一，是培养兴趣、素养的重要奇异促使人去了解一，是培养兴趣、素养的重要奇异促使人去了解它、研究它，欣赏它，从而感悟到其中的美。它、研究它，欣赏它，从而感悟到其中的美。3、数感及其培养、数感及其培养