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文档简介

1、3个平方项2正，1负引例：对二次形),(321xxxf212xx312xx326xx若做线性变换：33321232113yxyyyxyyyx可得标准型：232221321622),(yyyyyyg若做线性变换：333212321121321zxzzzxzzzx可得标准型：2322213216212),(zzzzzzg不唯一对二次型),(21nxxxfAXX若r(A)=r ,做线性变换非奇异 X=CY,得标准型nyyyg,21) 0(2222211jkkiiiiiiiyyyYY 2222211nnyyy因为A r ()=r(A)=rr=k标准型中含非零平方项的个数由r(A)确定即：对二次型),(

2、21nxxxfAXX设r(A)=r ,则存在线性变换非奇异 X=CY,化为标准型将),(21nxxxf)0(,222221121irrnyyyyyyg02222)()(11111jprpprpppppiiiiiiiiiyyyy再做非奇异线性变换：niririiiizyzyzdyzdynrrr1111111标准型：的又一),(21nxxxf221221prpppzzzz唯一再做非奇异线性变换: 例如:对),(321xxxf212xx312xx326xx做非奇异线性变换33321232113yxyyyxyyyx可得标准型:的又一标准型：得),(321xxxf232221321622),(yyyyy

3、yg233211612121zyzyzy232221zzz221221prpppzzzz的二次型称为规范型定义5.5 形如规范型定理5.5 任一个二次型，经过适当的非奇 异线性变换，总可以化为规范型， 且规范型是唯一的。证明略会求 【例1】求二次型 为规范型32212221321442),(xxxxxxxxxf解：二次型矩阵为020212022AA的特征方程为20212022EA241=0解得A的特征值为：4, , 1212,3直接展开的标准型为：于是),(321xxxf23222124yyy的标准型为：),(321xxxf23222124yyy作非奇异线性变换：3321zy 11zy 2221zy 的规范型：则得),(321xxxf232221zzz定义5.6 在二次型 的规范型中， 正平方项的个数p称为 的正惯性指数；负平方项的个数r-p 称为 的负惯性指数； 它们的差p-(r-p)=2p-r 称为 的符号差。),(21nxxxf),(21nxxxf),(21nxxxf),(21nxxxf例如：),(321xxxf212xx3

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