2022年17.勾股定理中考考点归纳---教师版

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学问点一：勾股定理17. 勾股定理学问点22217.勾股定理中考考点归纳- 老师版假如直角三角形的两直角边长分别为：a， b，斜边长为c ，那么 a b c 即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释： （ 1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理；（ 2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角；22222222222（ 3）懂得勾股定理的一些变式：c学问点二：用面积证明勾股定理=a +b ,a =c -b ， b =c -a ， c =a+b -2ab学问点三：勾股定理的作用，所以；方

2、法一： 将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形；图（ 1）中，所以；1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题；4利用勾股定理，作出长为的线段；学问点四：勾股数2221. 满意不定方程x +y =z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以方法二： 将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形；图（ 2）中，所以；方法三： 将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1 和（ 3） 2 所示的两个外形相同的正方形；x,y,z为三边长的三角形肯定是直角三角形；2. 熟识以下勾股数，对解题是会有帮忙的：3

3、、4、 5 5、12、13； 8、 15、17； 7、24、 25； 10、24、 26； 9、40、413. 假如 a,b,c是勾股数，当t>0 时，以 at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角 形；勾股定理考查类型类型一：勾股定理的直接用法1. 在 Rt ABC中， C=90°1 已知 a=6， c=10 ，求 b； 2 已知 a=40， b=9，求 c； 3 已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 :写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中，留意勾股定理的变形使用； 解析： 1在 ABC中， C=90°， a=6， c=10,b=2在 A

4、BC中， C=90°， a=40，b=9,c=3在 ABC中， C=90°， c=25，b=15,a=2. 如直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积；思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积；解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x， 4x，依据题意得：222（ 3x） +（ 4x） 20在（ 3） 1 中，甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,在（ 3） 2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）,所以，甲的面积

5、=乙和丙的面积和，即：.方法四： 如图（ 4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形；化简得 x 2 16；2直角三角形的面积× 3x × 4x6x 96总结升华： 直角三角形边的有关运算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解；【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积；【答案 】如图，等边ABC，作 AD BC于 D1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -就： BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互

6、重合） ABAC BC 2（等边三角形各边都相等） BD1在直角三角形ABD中， AB2 AD2+BD2，即： AD2 AB2 BD2 4 13 ADS ABCBC· AD注：等边三角形面积公式：如等边三角形边长为a，就其面积为a；【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积；【答案 】设此直角三角形两直角边长分别是x， y，依据题意得：由（ 1）得： x+y 7，（ x+y） 2 49， x2+2xy+y 2 49 3 3 2 ，得： xy 12217.勾股定理中考考点归纳- 老师版的长，进而求出BC的长 .解析 ：作于 D，就因，（的两个锐角互余）（在

7、中，假如一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理，在中，.依据勾股定理，在中，.总结升华 ：（1）利用勾股定理运算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也常常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.（2） 有一些题目的图形较复杂，但中心思想仍是化为直角三角形来解决；如：不规就图形的面积，可转化为特别图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方 法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和；类型三：勾股定理的实际应用直角三角形的面积是xy × 12 6（ cm ）【变式 3】如直角三角形的三边长分别是n+1， n+2， n+3，求 n；2222思

8、路点拨： 第一要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解； 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1） +（n+2） （ n+3）化简得： n 4n± 2，但当 n 2 时， n+1 1<0， n2总结升华：留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪 条是直角边哪条是斜边的情形下，第一要先确定斜边，直角边；类型二：勾股定理的构造应用3. 如图，已知：在中，.求： BC的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，就有，再由勾股定理运算出AD、DC2（一）用勾股定理求两点之间的距离问题4. 如下

9、列图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点动身，沿北偏东60°方向走了到达 B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点；（ 1）求 A、C 两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地 A 的什么方向；思路点拨： 把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解；解析 ：（ 1）过 B 点作 BE/AD DAB= ABE=60° 30° + CBA+ ABE=180° CBA=90° 即 ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m， AB=由勾股定理可得：所以（ 2）在 Rt ABC中，BC=500m， AC=1

10、000m CAB=30°精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - - DAB=60° DAC=30°即点 C 在点 A 的北偏东30°的方向17.勾股定理中考考点归纳- 老师版总结升华 ：此题是一道实际问题，从已知条件动身判定出ABC是直角三角形是解决问题的 关键；此题涉及平行线的性质和勾股定理等学问；（二）用勾股定理求最短问题5. 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网

11、改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合 架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮忙运算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理运算线路长，然后进行比较，得出结论解析 ：设正方形的边长为1，就图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为AB+BC+CD 3， AB+BC+CD 3图（ 3）中，在Rt ABC中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长EF 交 BC于 H，就 FH BC，BH CH由 FBH及勾股定理得： EA ED FBFC EF 1 2FH 1此图中总线路的

12、长为4EA+EF3 2.828>2.732图（ 4）的连接线路最短，即图（ 4）的架设方案最省电线总结升华： 在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学学问进行计算，比较从中选出最优设计此题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质类型四：利用勾股定理作长为的线段6. 作长为、的线段；思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作；（ 1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB为斜边；（ 2）以 AB为一条直角边，作另始终角边为1 的直角；斜边为；（ 3）顺次这样做下去，最终做到直

13、角三角形，这样斜边、的长度就是、；总结升华： （1）以上作法依据勾股定理均可证明是正确的；（ 2）取单位长时可自定；一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可；类型五：逆命题与勾股定理逆定理7. 写出以下原命题的逆命题并判定是否正确（ 1）原命题：猫有四只脚（正确）（ 2）原命题：对顶角相等（正确）（ 3）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）（ 4）原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系；解析： 1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命

14、题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确） 总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备；经典题型精析类型一：勾股定理的逆定理的基本用法8. 以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8， 15，17B、4， 5， 6C、5，8， 10D、8， 39， 40解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定，222222对数据较大的可以用c a +b 的变形： b c a （ c a）（ c+a）来判定；例如：对于挑选D， 82（ 40+39）×（ 40 39），以 8，39， 40 为边长不能组

15、成直角三角形；同理可以判定其它选项；【答案】： A9. 四边形 ABCD中， B=90°， AB=3，BC=4， CD=12， AD=13，求四边形ABCD的面积；解：连结AC B=90°， AB=3， BC=4222作法 ：如下列图 AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=5AC2+CD2=169， AD2=169222AC+CD=AD3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - - ACD=90°（勾股定理逆定理

16、）17.勾股定理中考考点归纳- 老师版S 四边形 ABCD=S ABC+S ACD=AB· BC+AC· CD=36类型二：勾股定理的应用10. 如图，大路 MN和大路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN 30°，点 A 处有一所中学， AP 160m；假设拖拉机行驶时，四周 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在大路 MN上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（ 1）要判定拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A 到大路的距离是否小于100m, 小于 1

17、00m就受影响，大于100m就不受影响，故作垂线段AB并运算其长度； （ 2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A 的影响所行驶的路程；因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校，行至哪一点后终止影响学校；解析 ：作 AB MN，垂足为B；在 Rt ABP中， ABP90°， APB 30°， AP 160，解析：他们原先走的路为3+4 7m设走“捷径”的路长为xm，就 故少走的路长为7 5 2m又由于 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路；【答案】 4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角

18、形称为单位正三角形；（ 1）直接写出单位正三角形的高与面积；（ 2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（ 3）求出图中线段AC的长（可作帮助线） ； 100m ， ABAP 80； （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响；如图，假设拖拉机在大路MN上沿 PN方向行驶到点C 处学校开头受到影响，那么AC【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是；（ 2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24 个单位正三角形，因此其面积222由勾股定理得：BC 100 -80 36

19、00, BC 60；（ 3）过 A 作 AK BC于点 K（如下列图） ，就在 Rt ACK中，同理，拖拉机行驶到点D 处学校开头脱离影响，那么，AD 100m ， BD 60m, CD 120m ；拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/s t 120m÷ 5m/s 24s ；答：拖拉机在大路MN 上沿 PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒；总结升华 : 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法, 如图形缺少直角条件, 就可以通过作帮助垂线的方法 , 构造直角三角形以便利用勾股定理；【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了躲开拐角而走“捷径”，在花

20、园内走出 了一条“路” ；他们仅仅少走了 步路（假设2 步为 1m），却踩伤了花草；，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为 直角三角形问题来解决11. 如下列图， ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边 BC的中点， E、F 分别是 AB、AC边上的点，且DE DF，如 BE=12， CF=5求线段EF 的长；4精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -17.勾股定理中考考点归纳- 老师版所以；所以；设，就；思路点拨： 现已知 BE、CF，要求 EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化， 依据直角三角形的特点，三角形的中线有特别的性质，不妨先连接AD解：连接 AD由于 BAC=90°， AB=AC又由于 AD