18导数与极值解析

1、A基础达标1 .设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=1为f(x)的极大值点D.x=1为f(x)的极小值点解析：选D.求导得f'x)=ex+xex=ex(x+1),令f'x)=0,解得x=-1,易知x=1是函数f(x)的极小值点.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'x)，且函数y=f'x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值

2、f(2)和极小值f(2)解析：选D.由题图可知，当x<2时，f'x)>0;当一2<x<1时，f'x)<0;当1<x<2时，f'x)<0;当x>2时，fx)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值.3.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e)上的极大值为()A,eB,1C.1-eD.01解析：选B.函数f(x)的定义域为(0,+8),f，x)=一1.令f'(x)=0,得x=1.当x(0,1)时，f'x0>0,x当x£(1,e)时，f'x)&

3、lt;0,故f(x)在x=1处取得极大值f(1)=ln11=0-1=1.4 .已知函数f(x)=2x3+ax2+36x24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3,+8)C.(2,+8)D.(8,3)解析：选B.因为f'x)=6x2+2ax+36,且在x=2处有极值，所以f(2)0,24+4a+36=0,a=15,所以f'x)=6x230x+36=6(x-2)(x3),由f'x)>0得x<2或x>3.故f(x)的递增区间为(一8,2)和(3,+8).5 .已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实

4、数a的取值范围是()A.1<a<2B.3<a<6C.a<3或a>6D.a<1或a>2解析：选C.由题意知fx)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不相等的根，所以A>0,解得a>6或a<3.故选C.f(x)=号弓的极小值为(x2+2)2解析：f'x)=2(x2+2)一”(2奸D一2(x+2)(x1)(x2+2)2.令f'x)<0,得x<2或x>1;令f'x)>0,得一2<x<1.1所以f(x)在(8,2),(1,+8)上是减函数，在(-2,1)上是增函数，所以f(x)

5、极小值=f(2)=2.,1答案：一27. 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点，则常数a=解析：因为f'x)=：+2bx+1,a+2b+1=0,由题意得a-+4b+1=0.2.2所以a=.3,2答案：一238. 已知关于x的函数f(x)=1x3+bx2+cx+bc,如果函数f(x)在x=1处取极值一3,则b=解析：f'x)=x2+2bx+c,由1 f(1)=1+2b+c=0,4f(1)=Z+b+c+bc=3b=1,c=3.b=1,解得或c=1若b=1,c=1,贝Uf'x)=x2+2x-1=-(x-1)2<0,此时f(x)没有极值；若b=

6、1,c=3,贝Ufx)=x22x+3=(x+3)(x1),当一3<x<1时，f'x)>0,当x>1时，f'x)<0,所以当x=1时，f(x)有极大值一4.3故b=1,c=3即为所求.答案：一139. 求下列函数的极值.1(1)f(x)=-x3-x23x+3;33(2)f(x)=一+3lnx.x解：(1)f'x)=x22x-3.令f'x)=0,得xi=3,x2=1,当x变化时，f'x),f(x)的变化情况如表所示:x(8,-1)-1(-1，3)3(3,+8)f'x)+0一0+f(x)极大值14"3"

7、极小值-6所以f(x)极大值=孚f(x)极小值=6.33函数f(x)=+3lnx的正义域为(0,+°°),x3x3令f'x)=0得x=1.当x变化时，f'x),f(x)的变化情况如表所示:x(0,1)1(1,+8)f'x)一0+f(x)极小值3因此当x=1时，f(x)有极小值，并且f(1)=3.110. 已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值成.求a,b的值；(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值.解：(1)因为f(x)=ax2+blnx,所以f'x)=2ax+b.又函数f(x)在x=1处有极值1.x2f(1)=0,2a+b=

8、0,1故1即1可得a=,b=-1.(2)由(1)可知f(x)=；x2-lnx.其定义域为(0,+8).1X+1X1且fx)=x一一=xx令f'x)=0,贝tx=1(舍去)或x=1.当x变化时，f'x),f(x)的变化情况如表：x(0,1)1(1,+°°)f'x)一0+f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8),且函数在定义域上只有极小值f(1)1=2，而无极大值.B能力提升11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'x),且函数f(x)在x=2处取得极小值，贝炳数y=xf'x)的图象可能是(

9、)解析：选C.因为f(x)在x=2处取得极小值，所以当xv2时，f(x)单调递减，即fx)v0;当x>-2时，f(x)单调递增，即fxO>0.所以当xv2时，y=xf'x)>0;当x=2时，y=xf'x)=0;当一2vxv0时，y=xf'x)v0；当x=0时，y=xf'x)=0;当x>0时，y=xf'x)>0.结合选项中图象知选C.12. 若函数f(x)=x3-3ax+1在区间(0,1)内有极小值，贝Ua的取值范围为解析：f'x)=3x23a.当a<0时，在区间(0,1)上无极值.当a>0时,令f'

10、;x)>0,解得x>血或x<-山.令f'x)<0,解得qa<x<由.若f(x)在(0,1)内有极小值，贝U0<.；a<1.解得0<a<1.答案：(0,1)13. 已知函数f(x)=16x320ax2+8a2x-a3,其中a乒0,求f(x)的极值.解：因为f(x)=16x320ax2+8a2xa3,其中a丰0,所以f'x)=48x2-40ax+8a2=8(6x25ax+a2)=8(2xa)(3x-a),令f'x)=0,得x=*x2=|.2 3当a>0时，a<a,贝u随着x的变化，f'xo,f(

11、x)的变化情况如下表：3 2xaOO，3i3aa3，2|2a,2,+°°f'x)+0一0+f(x)极大值极小值所以当x=3时，函数f(x)取得极大值f3=27；当x=&时，函数f(x)取得极小值f|=0.当a<0时，a<3,贝u随着x的变化，f'xO,f(x)的变化情况如下表:x81，2|22 la3 la|3i1,+83f'x)+0一0+f(x)极大值极小值所以当x=2时，函数f(x)取得极大值fa=0;当x=a时，函数f(x)取得极小值f；=舞.332/综上，当a>0时，函数f(x)在x=W处取得极大值a,在x=a处取得

12、极小值0;32/2当a<0时，函数f(x)在x=a处取得极大值0,在x=a处取得极小值如.232/14. (选做题)已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2,xR).(1) 当a=1时，求f(x)的单调区间；(2) 是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.解：(1)f(x)=(x2+x+1)ex,fx)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex,当f'x)>0时，解得x<2或x>1,当f'x)<0时，解得一2<x<1,所以函数f(x)的单调增区间为(一8,2),(1,+8)；单调减区间为(一2,1).(2)令fx)=(2x+a)ex+(x2+ax+a