18-19第2章§221向量的加法

1、也从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法学习目标：1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量.（重点）2.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算.（难点）自主预习探新知向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量求和的法则三角形法则*已知向重a,b,在半面内任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,则向量AC叫作a与b的也，i己作a+b，即a+b=AB+BC一AC平行四边形法则已知向量a,b,作AB=a,AD=b,再作平行aD的bC=b,连接DC,则四边形ABCD为平行四边形，向量AC叫作向量a与b的巨，表小为AC=a+b向量

2、加法的运算律交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c)思考：根据图2-2-1中的四边形ABCD,验证向量加法是否满足结合律.（注：扇=a,BC=b,CD=c)图2-2-1提小：AD=AC+CD=(AB+BC)+CD,.AD=(a+b)+c,X/AD=AB+BD=AB+(BC+cb),.=a+(b+c),，.(a+b)+c=a+(b+c).基础自测1. 判断(正确的打,错误的打“x”)(1) 两向量的和，可能是一个数量.()两向量相加，就是两向量的模相加.()(3)CD+DE=CE.()矩形ABCD中,BA+BC=BD.()答案(1)X(2)X(3)V/作用在同一物体上的两个力Fi

3、=60N,F2=60N,当它们的夹角为120时，这两个力的合力大小为()A. 30NB.60NC.90ND.120NB如图2-2-2,D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是()图2-2-2A. FD+DA+Dt=0B. AD+BE+CF=0C. FD+DE+AD=ABD. AD+EC+FD=BD解析FD+DA+DE=FA+DE=0,一一一一一一AD+BE+CF=AD+DF+FA=0,一一一一一一一一FD+DE+AD=FE+AD=AD+DB=AB,点_点AD+EC+FD=AD+0=AD=DB丰BD.故选D.答案D已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=2,则AB+B

4、C+AC的模等丁【导学号：64012094】解析AB+BC+aC|=|2aC|=2|aC|=2而.答案2如合作探究玫重难1性里1LJ向量加法法则的应用，例U(1)如图2-2-3，用向量加法的三角形法则作出a+b;(2) 如图2-2-3，用向量加法的平行四边形法则作出a+b.图2-2-3解(1)在平面内任取一点O,作61=a,扇=b,再作向量OB,则OB=a+b.(2)在平面内任取一点。，作0A=a,OB=b,再作平行OB的aC=b,连接一._.一，_，-_.一，TBC,贝U四边形OACB为平行四边形，OC=a+b.规律方法用三角形法则求和向量，关键是抓住首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向

5、第二个向量的终点，平行四边形法则注意其起点”且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用.跟踪训练1.已知向量a,b,c,如图2-2-4,求作a+b+c.图2-2-4解在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,BC=c,如图，则由向量加法的三角形法则，得OB=a+b,OC=a+b+c.膜犊j向量加法及其运算律例化简下列各式：(1) BC+AB;DB+CD+BC;T一(3) AB+DF+CD+BC+FA.【导学号：64012095思路探究所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解.解(1)

6、BC+AB=AB+BC=AC.一一一一一、一一一一DB+CD+BC=(DB+BC)+CD=DC+CD=0或DB+CD+BC=(DB+一一一一一一一CD)+BC=(CD+DB)+BC=CB+BC=0.(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA一一一一一=AD+DF+FA=AF+FA=0.规律方法向量加法运算律的应用原则及注意点应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量首尾相接”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.(1) 注意点： 三角形法则强调首尾相接”，平行四边形法则强调起点相同”; 向量的和仍是向量； 利用相等向量转化，达到首尾相

7、连”的目的.跟踪训练如图2-2-5:在平行四边形ABCD中图2-2-5(1) AB+AD=:(2) AC+CD+DOAB+AD+CD=;T=(3) AC+BA+DA=.解析(1)由平行四边形法则知AB+AD=AC一一一一一一(2) AC+CD+DO=AD+DO=AO.(3) AB+AD+CD=AC+CD=AD.(4).BA=CD,AC+BA+DA=AC+CD+DA=AD+DA=0.答案(1)AC(2)AO(3)AD0俱聚_.j向量加法的实际应用探究问题1. 如何计算两个向量的和?提示：两个向量相加其和仍是一个向量.计算两个向量的和需利用三角形法则或平行四边形法则，在使用三角形法则时，应注意“首

8、尾相连”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.2. 共线的两向量相加，其结果怎样？提示：（1）向量a与b同向（如图所示），即向量a+b与a（或b）方向相同，且|a+b|=|a|+|b|.（2）向量a与b反向（如图所示），且|a|例61在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min,如果船从岸边出发沿垂直丁水流的航线到达对岸，求船行进的方向.【导学号：64012096】实际问题转化为三角形中求角度问题.解作出图形，如图.船速v船与岸的方向成思路探究速度是向量，因此需要作出股的速度与水流速度的示意图，把由图可知v水+v船=v实际，结合已知条件，四边形为平行

9、四边形,在RtAACD中,|CD|=AB|=v水=10m/min,|AD|=|v船|=20m/min,|CD|101.cosa=20=2.a=60,从而船与水流方向成120的角.故船行进的方向是与水流的方向成120的角的方向.母题探究1. (变结论)若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少?解由题意可知AC=乎而=萼x20=1/3(m/min)=353(km/h),贝U经过3小时，该船的实际航程是3X誓=(km).DC(变结论)若例3的条件不变，改为若船沿垂直丁水流的方3屹际/|向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当丁河岸的火角)./解如图所示,扁|=|bC|=v船|=20m/mi

10、n,”咻B|AB|=|v水|=10m/min，贝UtanZBAC=2,即为所求.规律方法应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1) 表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.(2) 还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.当堂达标固双基1.已知四边形ABCD是菱形，贝U下列等式中成立的是()tA.AB+BC=CAB.AB+AC=BCC.AC+BA=ADD.AC+AD=DCc由加法的平行四边形法则可知AB+AD=AC,即(一ba)+AD=AC,所，、-TTT以AC+BA=AD.一、一，一一-T2.正万形ABCD的边长为1,则AB+AD|为()A.1B.也C.3D.2也B在正方形ABCD中，AB=1,易知AC=也,所以|Al+AD|=|AC|=也.2. 化简AE+EB+BC等于()A.ABB.BA-TC.0D.AC一一一一一一DAE+EB+BC=AB+BC=AC.、.一r一3. 根据图2-2-6填仝，其中a=DC,b=CO,c=OB,d=BA.图2-2-6(1) a+b+c=；(2) b+d+c=.一T点TT解析(1)a+b+c=DC+CO+OB=DB.一一一(2)b+d+c=CO+BA+O