均值不等式的应用精典讲解2份

1、百度文库-让每个人平等地提升自我1均值不等式应用均值不等式知识点：2 21. （ 1）若a,b R，则a2b22ab（2）若a,b R，则aba（当且仅当 a b 时取“=”）/ 22.若a,b R*，则ab（2） 若a,b R*，则a b 2 ab（当且仅当 a b 时取22若a,b R*，则ab口 （当且仅当 a b 时取“二”）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有

2、广泛的应用.应用：求最值例 1:求下列函数的值域(1) y 二 3x2+ 223.若 x0， 则x12（当且仅当 x1时取“:=”）；若 x 01，则 x -2（当且仅当 xxx时取“=”）若 x0，则1x 12 即 x -2 或 x1-2(当且仅当 ab 时取“二”）xxx3.若 ab0，则a b2（当且仅当a b 时取“二”）b a若 abb。，则b2即 b2或a b -2（当且仅当ab 时取“二”）14.若a,b R，则（心）22（当且仅当ab 时取“二”）百度文库-让每个人平等地提升自我2(2 )当 x0 时，y = x + - 21=2；1当 xv0 时，y = x +- =x(x

3、- ) 一2皿扩厂丫-8当；，即 x = 2 时取等号 当 x = 2 时，y x(8 2x)的最大值为 8。评注： 本题无法直接运用均值不等式求解， 但凑系数后可得到和为定值， 从而可利用均值不 等式求最大值。3变式：设0 x -，求函数24x(3 2x)的最大值。2x0 二y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)22x 3 2x2当且仅当2x3 2x,即x30,2时等号成立。技巧三：分离2x7x 10(x例 3.求y、x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有( 离。X3+7X + 10 (盃十1)十 5 伝十 1)十 4杯 4 七厂；=-丄_-=(尢中1)十*517

4、 + 11)的值域。当，1,即一 时，y 2( x 1)x + 1) 的项，再将其分45 9(当且仅当 x 二 1 时取“=x 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x + 1,化简原式在分离求最值。(t 1)27(t 1)+10 t25t 44t 5t-1| 时，y 2t 45 9(当 t=2 即 x = 1 时取“=”号)。百度文库-让每个人平等地提升自我x y4评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利A用不等式求最值。即化为y mg(x) B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运g(x)用均值不等式来求最值

5、。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数值条件求最值分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最的单调性。例:求函数 y羊丄的值域。x24解：令 X24t(t2)，t1(t 2) x24 tV 71因t 0,t - 1,t1因为y t1在区间t11解得 t1 不在区间t2,，故等号不成立，考虑单调性。1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故所以，所求函数的值域为52,练习.求下列函数的最小值,x23x 1 /并求取得最小值时，x的值.(1) y0) (2)y 2xx 3，x 3y12sin x , x sin x(0

6、,2.已知01,求函数yx(1 x)的最大值 ； 3. 0 x -，求函数y , x(2 3x)的最大3f(x)1.若实数满足b 2，则3a3b的最小值是百度文库-让每个人平等地提升自我x y5小值，解:3a和 3b都是正数，3a3b 2 3a3b2.3a b61 12，求 的最小值.并求 x,y 的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会 出错。192:已知x 0, y 0，且1，求 x y 的最小值当3a3b时等号成立，由 a b 2 及3a是 6.3b得 a b 1 即当 a b 1 时，3a3b的最小值变式：若log4x log4y百度文

7、库-让每个人平等地提升自我6错解：x 0,y0，且1 9 x yy1 -x y 2-2刃12 x yVxy错因：解法中两次连用均值不等式,在 x y 2 xy 等号成立条件是 x号成立条件是1 -即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式x y处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。2 2a + b ab0 得，Ovbv152比30 2b法：a b+1，百度文库-让每个人平等地提升自我8二 b+1,1vtv16,ab=2t+34t31二2 (t + * )+ 34vt + 法二:点评:16t/. ab 18由已知得：令 u= ab

8、 则 ab 18 当且仅当 t 二 4,即30ab=a+2bva+2b2 2 ab u2+22 u30飞本题考查不等式由已知不等式 ab a 2b关系，由此想到不等式-b= 3, a= 6 时，等号成立。30 ab2J2 ab5；2 u0，b0, ab (a+ b) = 1，求 a+ b 的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数，3x+ 2y = 10,求函数 W 3x + 2y的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+bw2，本题很简单3x+2yw2 C. 3x)2+(, 2y)2设法直接用基本不等式，应通过平方化

9、函数式为积的形=2 3x+ 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式,式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0, W= 3x+ 2y + 2 3x 2y=10+2 3x2yw10+( . 3x )2( 2y )2=10+(3x+ 2y) = 20, 20 = 2 5变式:求函数y15一2x(15)的最大值。百度文库-让每个人平等地提升自我29解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2G. 2x 12x)24 2、. (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0，所以0 y 2、2当且仅当2X 1=5 2X，即 X 3 时取等号。故 ymax2 2。评注：本题将解析

10、式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1.已知a, b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2ab bc ca1)正数 a，b，c 满足 a+ b+ c = 1，求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc111例 6:已知 a、b、c R，且 a b c 1。求证：一1一1一18a b c分析：不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又一12 bc，可由此变形入手。a a a a上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111迄|逅8。当且仅当 a b c1时取等号。a b ca b c3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式 x y m 恒成立的实数m的取值范围。x y19, xy9x9y,10y9x,解：令x y k,x 0, y 0,1，1.1x ykx kyk kx ky10312。 k 16 ，m ,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：-